Что значит
![$\dim(U\cap V)=2$ $\dim(U\cap V)=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/5/565f9d9f41ca727ab9b1635c293ef32c82.png)
?
Это необязательно означает, что из набора
![$u_i$ $u_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/4/194516c014804d683d1ab5a74f8c564782.png)
два вектора можно выразить через
![$v_1, v_2, v_3$ $v_1, v_2, v_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/d/81df1f65e694c6f86479da5d4da9db6082.png)
, а один нельзя, т.е., например,
![$u_1\notin V, u_2\in V, u_3\in V$ $u_1\notin V, u_2\in V, u_3\in V$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/0/95079e8de291cfdc19715e6910a8e08a82.png)
.
Нет. Это так только в частном случае.
В общем случае это означает, что из
![$u_1, u_2, u_3$ $u_1, u_2, u_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/9/a495e2103772d3a7b416cff3f132c03882.png)
можно построить две ненулевые линейные комбинации, которые можно также построить из
![$v_1, v_2, v_3$ $v_1, v_2, v_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/d/81df1f65e694c6f86479da5d4da9db6082.png)
. И они независимы.
Т.е. существуют линейно независимые векторы
![$a, b$ $a, b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/8/5f8c6707c3c404791835c4d82736cf4f82.png)
, такие, что
![$a\in U, a\in V$ $a\in U, a\in V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/6/e963ebaa273f0128d6f10f26bba2a0f082.png)
![$b\in U, b\in V$ $b\in U, b\in V$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/0/c70e09932bd93498bef676e514e465fa82.png)
Линейная оболочка этой пары и есть пересечение подпространств
![$U$ $U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/a/6bac6ec50c01592407695ef84f45723282.png)
и
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
.
Вектор
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
Вы нашли, а
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
не нашли. Я Вам ниже его предъявлю.
Пусть мы уже проверили, что
![$\dim U=\dim V =3$ $\dim U=\dim V =3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/3272b3e489afc12bf6b85360b71eef5582.png)
. Тогда тот факт, что
![$\dim (U\cap V)=2$ $\dim (U\cap V)=2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/f/85f35cc2da3779b55e8dd7d5bd010f6f82.png)
, а не
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
, проявляется, например, в том, что
![$\dim(U+V)=4$ $\dim(U+V)=4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/5/11537ba204aaa8871f065a5583da912982.png)
, а не
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
. Это значит, что из совокупности всех данных векторов можно построить две комбинации, «независимо» равные нулю. Вот они:
![$u_1 - 2u_2 + u_3 - v_1 + v_3 = 0$ $u_1 - 2u_2 + u_3 - v_1 + v_3 = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/4/28454f7867fa438136ede5178dcbe46282.png)
![$u_1 + \;\;u_2 - u_3 - v_1 + v_2 = 0$ $u_1 + \;\;u_2 - u_3 - v_1 + v_2 = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/4/fb40fd75e079853a3174de2bc409366482.png)
Убедитесь, что это так.
Теперь перенесем в каждой комбинации векторы
![$v_i$ $v_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7365802167fff585175c1750674d4282.png)
в правую часть, а
![$u_i$ $u_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/4/194516c014804d683d1ab5a74f8c564782.png)
пусть остаются в левой. Тогда в каждом равенстве комбинация
![$u_i$ $u_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/4/194516c014804d683d1ab5a74f8c564782.png)
и комбинация
![$v_i$ $v_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7365802167fff585175c1750674d4282.png)
будут равны друг другу и, следовательно, некоторому вектору, который нам и нужен:
![$u_1 - 2u_2 + u_3 = v_1 - v_3 = a =(0, 0, -2, 1, 1)$ $u_1 - 2u_2 + u_3 = v_1 - v_3 = a =(0, 0, -2, 1, 1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/2/4c26e3338e600f26d99c13d23c9bcfbc82.png)
![$u_1 + \;\;u_2 - u_3 = v_1- v_2 = b = (1, 6, 2, 6, 0)$ $u_1 + \;\;u_2 - u_3 = v_1- v_2 = b = (1, 6, 2, 6, 0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/4/9b444c68acb1b06911bef8bd50754b7082.png)
Убедитесь, что это так.
И последняя просьба. Подумайте, почему Ваш метод не выявил вектор
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
(очевидно принадлежащий
![$U\cap V$ $U\cap V$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/6/5d61e569446dbd7cb5a9888e7a2f625182.png)
и независимый от вектора
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
), и как надо построить процесс, чтобы гарантированно обнаруживать все такие векторы, а не только те, которые бросаются в глаза.