Согласованная система базисов

[DoubleBubble]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, понять, что от меня требуется в задаче.

Условие: В пространстве $\mathbb{R}^5$ даны два набора векторов: $U=<u_1,u_2,u_3>,\; V=<v_1,v_2,v_3>$ (вектора конкретные, но это не важно).
Требуется найти согласованную систему базисов $U,\; V,\; U+V,\; U\cap V $.

Я не понимаю, что такое "согласованная систма базисов". Пытался найти ответ в сети, но Google тоже впал в ступор.

Спасибо.

[Someone]

DoubleBubble в сообщении #793735 писал(а):

Я не понимаю, что такое "согласованная систма базисов".

Видимо. определение нужно искать там, где Вы "нашли" задачу.
Могу высказать предположение, что требуется найти такой базис $U+V$, чтобы часть векторов это базиса давала базис $U$, часть — базис $V$, а часть — базис $U\cap V$.

[DoubleBubble]

Someone в сообщении #793736 писал(а):

Видимо. определение нужно искать там, где Вы "нашли" задачу.

Задачу я "нашел" на листочке, который мне выдали :)
То есть это не какое-то общепринятое определение, о котором я просто не слышал?

[svv]

Google прав, здесь надо впадать в ступор.
А пересечение $U$ и $V$ хоть непусто? Виден ли вектор, принадлежащий одновременно $U$ и $V$?

[DoubleBubble]

svv в сообщении #793739 писал(а):

Google прав, здесь надо впадать в ступор.
А пересечение $U$ и $V$ хоть непусто? Виден ли вектор, принадлежащий одновременно $U$ и $V$?

Сходу - нет, но если сделать преобразования, то - да, один общий вектор у них есть.

[svv]

Странно, что вопрос о «системе базисов». Ладно бы $U$ и $V$ были базисами, но ведь у Вас $\mathbb R^5$ (если не ошиблись), базис состоит из пяти векторов.

А как векторы заданы, компонентами? Для контроля: сколько компонент?

[DoubleBubble]

Нет, я не ошибся, векторы из $\mathbb{R}^5$.
Лучше уже, наверное, написать сами вектора :)

$U=\;<(2,5,2,5,2),\; (3,4,4,3,3),\; (4,3,4,2,5)>$
$V=\;<(2,4,3,4,4),\;(1,-2,1,-2,4),\;(2,4,5,3,3)>$

[svv]

OK, а какой вектор похож (так скажем) на общий?

[DoubleBubble]

Если вектора записать друг под другом и две полученные матрицы сделать трапециевидными, то вектора $(4,3,4,2,5)$ из $U$ и $(2,4,5,3,3)$ из $V$ будут иметь вид $(0,0,2,-1,-1)$.

[svv]

Понятно... Конечно, система из шести векторов в $\mathbb R^5$ обязательно будет линейно зависимой.

Не знаю, чем Вам можно помочь. Нужны пояснения от преподавателя, что требуется.

[svv]

Да, наверняка надо искать то, что сказал Someone.
Такие задачи на форуме разбирались.

[DoubleBubble]

svv в сообщении #793797 писал(а):

Да, наверняка надо искать то, что сказал Someone.
Такие задачи на форуме разбирались.

А что искать-то? :) "Согласованная система базисов" нигде не упоминалась (если верить Google), а что могло иметь ввиду не ясно, чтобы вводить запрос.

[DoubleBubble]

Спросил у преподавателя, что же такое "согласованная система базисов".
Объясняю так, как понял его, может вам станет ясно и вы уже скажете строже, что это такое.

В общем есть два базиса $U, V$ из $\mathbb{R}^5$ нужно найти согласованную систему базисов для подпространств $U, V, U+V, U \cap V$.
Из них одни подпространства содержат другие. Я так понимаю, что
$\\(U\cap V)\subseteq U\\(U\cap V)\subseteq V\\U\subseteq (U+V)\\V\subseteq (U+V)$
Так вот вектора из базиса $U\cap V$, должны входить в базис $U$ и в базис $V$. А вектора из их базисов, соответственно, в базис $U+V$.
Такие 4 базиса и будут согласованной системой.

[provincialka]

Именно это с самого начала говорил Someone
То есть надо найти базис пересечения, потом дополнить его до базисов $U$ и $V$, а потом. собрать все вектора вместе и дополнить до базиса в объединении. Но, конечно, решение неоднозначно.

[svv]

provincialka в сообщении #794351 писал(а):

собрать все вектора вместе и дополнить до базиса в объединении

Просто собрать. По формуле Грассмана
$\dim(U+V)=\dim(U) + \dim(V) -\dim(U \cap V)=$
$=\dim(U \cap V)+(\dim(U)-\dim(U \cap V))+(\dim(V)-\dim(U \cap V))$
Кстати, не зря у ТС вместо символа объединения — символ суммы.