2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти центральный статический момент
Сообщение26.11.2013, 19:03 


26/11/13
12
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить.
Найти центральный статический момент части однородной логарифмической спирали:
$r=ae^{k \varphi }$ $(k > 0)$,
находящейся внутри круга $r=a$.
Буду благодарен вашей помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение26.11.2013, 21:02 


26/11/13
12
Вот как я решил, но не уверен в правильности:

$ & \text x=rcos\varphi   \\ $
$ & \text y=rsin\varphi  $

${M}_{x}=\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{a{e}^{k\varphi }}{r}^{2}sin\varphi dr$=$\frac{(1-{e}^{6\pi k}){a}^{3}}{3(9{k}^{2}+1)}$

${M}_{y}=\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{a{e}^{k\varphi }}{r}^{2}cos\varphi d\varphi$ =$\frac{({e}^{6\pi k}-1){a}^{3}k}{9{k}^{2}+1}$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.11.2013, 11:50 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

mrmishk0
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом, картинку удаляйте. Формулы достаточно окружать знаками доллара, тег math проставится сам автоматически.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Сколько витков спирали находится внутри круга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 17:00 


26/11/13
12
не знаю,но думаю что 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Выясните это.
Если Вы хорошист, Вам будет достаточно уравнения спирали.
Если нет, придется искать ответ в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 19:03 


26/11/13
12
Уравнение логарифмической спирали:
$r=ae^(k\varphi )$
внутри круга $r=a$ 0 витков так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
mrmishk0 в сообщении #793490 писал(а):
внутри круга $r=a$ 0 витков так?
Почему? Просто $\varphi$ отрицательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 20:00 


26/11/13
12
ну а сколько тогда, до меня не доходит

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
ну а Вы графики порисуйте там, что ли...
И второй вопрос, не связанный с первым. Ваша спираль как бы сделана из тонкой проволоки, т.е. одномерна. Откуда вдруг кратные интегралы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
mrmishk0 в сообщении #793505 писал(а):
ну а сколько тогда, до меня не доходит
Бесконечное число. У вас в интеграле почему-то $\varphi$ меняется от $0$ до $2\pi$. А на самом деле - от $-\infty$ до $0$.
Кстати, а что такое статический момент? В интернете нашла только для плоской фигуры, не для линии. :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 21:17 


26/11/13
12
$M_{x}=\int_{-\infty}^{0}(ae^(k\varphi) )^2sin(\varphi )d\varphi =\frac{a^2}{-k^2-1}$
Так? Или я опять что то не понял.
А насчет статического момента, я ничего не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение27.11.2013, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Для плоской фигуры статические моменты относительно осей $x$ и $y$ равны соответственно $\int\limits_S y dS$ и $\int\limits_S x dS$.
Значит, для кривой? :wink:

Отсутствие определения в интернете не должно быть помехой.
Напишите самое естественное определение для кривой, аналогичное тому, что я написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение28.11.2013, 18:59 


26/11/13
12
Статический момент кривой:
${S}_{x}=\varphi \int_{a}^{b}y\sqrt{1+({y'}_{x})^2}dx$
${S}_{y}=\varphi \int_{a}^{b}x\sqrt{1+({y'}_{x})^2}dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти центральный статический момент
Сообщение28.11.2013, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Почти правильно, только $\varphi$ не нужно.
Я (а также ИСН) намекал на такие общие формулы:
${S}_{x}=\int_{L}y\;dL$
${S}_{y}=\int_{L}x\;dL$
Они допускают интерпретацию, аналогичную двумерному варианту (длина кривой умножить на сдвиг центра масс).

Дальше Вы записываете $dL$ в удобной системе координат, в данном случае полярной:
$dL=\sqrt{r^2+(r_\varphi')^2} \, d\varphi$

И ставите нужные пределы интегрирования ($\varphi$ меняется от $-\infty$ до $0$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group