Найти центральный статический момент

[mrmishk0]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить.
Найти центральный статический момент части однородной логарифмической спирали:
$r=ae^{k \varphi }$ $(k > 0)$,
находящейся внутри круга $r=a$.
Буду благодарен вашей помощи.

[mrmishk0]

Вот как я решил, но не уверен в правильности:

$ & \text x=rcos\varphi \\ $
$ & \text y=rsin\varphi $

${M}_{x}=\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{a{e}^{k\varphi }}{r}^{2}sin\varphi dr$=$\frac{(1-{e}^{6\pi k}){a}^{3}}{3(9{k}^{2}+1)}$

${M}_{y}=\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{a{e}^{k\varphi }}{r}^{2}cos\varphi d\varphi$ =$\frac{({e}^{6\pi k}-1){a}^{3}k}{9{k}^{2}+1}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

mrmishk0
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом, картинку удаляйте. Формулы достаточно окружать знаками доллара, тег math проставится сам автоматически.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[ИСН]

Сколько витков спирали находится внутри круга?

[mrmishk0]

не знаю,но думаю что 1

[svv]

Выясните это.
Если Вы хорошист, Вам будет достаточно уравнения спирали.
Если нет, придется искать ответ в явном виде.

[mrmishk0]

Уравнение логарифмической спирали:
$r=ae^(k\varphi )$
внутри круга $r=a$ 0 витков так?

[provincialka]

mrmishk0 в сообщении #793490 писал(а):

внутри круга $r=a$ 0 витков так?

Почему? Просто $\varphi$ отрицательное.

[mrmishk0]

ну а сколько тогда, до меня не доходит

[ИСН]

ну а Вы графики порисуйте там, что ли...
И второй вопрос, не связанный с первым. Ваша спираль как бы сделана из тонкой проволоки, т.е. одномерна. Откуда вдруг кратные интегралы?

[provincialka]

mrmishk0 в сообщении #793505 писал(а):

ну а сколько тогда, до меня не доходит

Бесконечное число. У вас в интеграле почему-то $\varphi$ меняется от $0$ до $2\pi$. А на самом деле - от $-\infty$ до $0$.
Кстати, а что такое статический момент? В интернете нашла только для плоской фигуры, не для линии.

[mrmishk0]

$M_{x}=\int_{-\infty}^{0}(ae^(k\varphi) )^2sin(\varphi )d\varphi =\frac{a^2}{-k^2-1}$
Так? Или я опять что то не понял.
А насчет статического момента, я ничего не нашел.

[svv]

Для плоской фигуры статические моменты относительно осей $x$ и $y$ равны соответственно $\int\limits_S y dS$ и $\int\limits_S x dS$.
Значит, для кривой?

Отсутствие определения в интернете не должно быть помехой.
Напишите самое естественное определение для кривой, аналогичное тому, что я написал.

[mrmishk0]

Статический момент кривой:
${S}_{x}=\varphi \int_{a}^{b}y\sqrt{1+({y'}_{x})^2}dx$
${S}_{y}=\varphi \int_{a}^{b}x\sqrt{1+({y'}_{x})^2}dx$

[svv]

Почти правильно, только $\varphi$ не нужно.
Я (а также ИСН) намекал на такие общие формулы:
${S}_{x}=\int_{L}y\;dL$
${S}_{y}=\int_{L}x\;dL$
Они допускают интерпретацию, аналогичную двумерному варианту (длина кривой умножить на сдвиг центра масс).

Дальше Вы записываете $dL$ в удобной системе координат, в данном случае полярной:
$dL=\sqrt{r^2+(r_\varphi')^2} \, d\varphi$

И ставите нужные пределы интегрирования ($\varphi$ меняется от $-\infty$ до $0$).