Плотность заряда вращающегося полукольца

[DewDrop]

Есть полукольцо равномерно заряженное зарядом q и радиуса R, которое вращают вокруг оси проходящей через его концы с частотой $ \omega $. Найти дипольный момент.
Как записать для такой системы плотность заряда? Для цилиндрической СК: $ \rho(r)= \delta(r-R) *\delta (z) $; $ \varphi \epsilon [-\pi/2; \pi/2] $. Но как учесть вращение кольца? Если решать через сферическую, то получается, что $ \rho(r)= A* \delta(r-R)* \delta (\phi - \omega t) $ ;$\vartheta \epsilon [0; \pi]$, но тогда придется интегрировать посложней и А находить из условия нормировки. Как лучше?

[Taus]

На первый взгляд приходит только сферическая система координат. В ней проще всего записывается.

[Munin]

Считаете дипольный момент для неподвижного полукольца. Это будет вектор. А потом вращаете этот вектор...

[DewDrop]

Munin в сообщении #791571 писал(а):

Считаете дипольный момент для неподвижного полукольца. Это будет вектор. А потом вращаете этот вектор...

У меня получился, что дипольный момент $d(\vec{r})=2qR/\pi * \vec{e_y} $. То есть теперь я должен умножить это на $cos(\omega t) + sin (\omega t) $ (В моем случае вращение в плоcкости X0Y). И еще вопрос, если я честно посчитаю в сферических у меня должно получиться тоже самое? Или разные системы координат дадут разные ответы?

[Munin]

DewDrop в сообщении #791782 писал(а):

То есть теперь я должен умножить это на $\cos(\omega t) + \sin (\omega t) $

На $\cos(\omega t)\vec{e}_y+\sin(\omega t)\vec{e}_x$ (или минус, или $x$ и $y$ в другом порядке, смотря по направлению вращения и начальному положению), причём вместо множителя $\vec{e}_y.$

Пара советов по записи формул в LaTeX:
1. Никогда не пишите умножение звёздочкой! В математике знак умножения обычно не ставится вообще. Если надо, чтобы умножаемые буквы не сливались, между ними можно поставить пробел командой \, . И в крайнем случае, можно поставить знак умножения точкой \cdot или крестиком \times .
2. Функции типа синуса и косинуса пишите как \sin и \cos - тогда они пишутся прямым шрифтом, и отдельно от последующих букв, так что можно не ставить скобочки: $\cos\omega t.$
3. Знак "принадлежит" пишется \in - будет $\theta\in[0,\pi].$
4. Между \vec{e}_y и \vec{e_y} есть разница, по тому, где располагается стрелочка: только над буквой $e,$ или надо всей подформулой $e_y.$

DewDrop в сообщении #791782 писал(а):

И еще вопрос, если я честно посчитаю в сферических у меня должно получиться тоже самое? Или разные системы координат дадут разные ответы?

У вас получится то же самое, но считать это в сферических координатах большое мучение, так что я бы не советовал.

[DewDrop]

Спасибо

[DewDrop]

Еще один вопрос возник: Частица зарядом q движется по поверхности цилиндра, совершая гармонические колебания вдоль его оси с амплитудой a и частотой $\omega$. Проекция этой частицы на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, равномерно вращается с той же частотой по окружности радиуса R (радиус цилиндра). Найти дипольный момент.
Здесь получается, если считать в Цилиндрической СК и без вращения, то дипольный момент имеет вид $ \ const \cdot \vec{e}_z$. ( за счет колебания вдоль оси Z). А теперь,если учесть вращение, то вместо $ \vec{e}_z $ я должен подставить $(\cos \omega t \ \vec{e}_x + \sin \omega t \ \vec{e}_y)$ ? Если так, то получается что дипольный момент по оси Z пропадает, в чем ошибка?
*В сферических получилось, что по все ортам есть ненулевой дипольный момент.

[Munin]

DewDrop в сообщении #792002 писал(а):

Здесь получается, если считать в Цилиндрической СК и без вращения, то дипольный момент имеет вид $ \ const \cdot \vec{e}_z$. ( за счет колебания вдоль оси Z).

Почему же? Пересчитывайте, это совершенно неправильно.

DewDrop в сообщении #792002 писал(а):

А теперь,если учесть вращение, то вместо $ \vec{e}_z $ я должен подставить $(\cos \omega t \ \vec{e}_x + \sin \omega t \ \vec{e}_y)$ ?

Нет, конечно, вместо $\vec{e}_x$ - но его у вас почему-то в формулу не входит.

DewDrop в сообщении #792002 писал(а):

Если так, то получается что дипольный момент по оси Z пропадает, в чем ошибка?

Здесь кроме вращения, есть и ещё одно движение частицы - колебательное по вертикали. Вам надо учесть и то, и другое. Подсказка: выразите радиус-вектор частицы как функцию от $t,$ разложив его на слагаемые, имеющие каждое по отдельности простую зависимость от $t.$

-- 24.11.2013 16:58:48 --

Слово $\mathrm{const}$ можно набрать так: \mathrm{const} .