Колмогоров-Фомин - не пойму чего-то

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

И опять вы говорите о том что у Колмогорова-Фомина должна быть обязательно ваша версия доказательства что В чему-то равно.

У них в последней фразе "в противном случае $B$ счетно, поскольку его члены $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ занумерованы числами $1, 2, \ldots$" пропущено слово "все" между "поскольку" и "его". Иначе можно сказать "${\mathbb R}$ счетно, поскольку его члены $1, 2, \ldots$ занумерованы числами $1, 2, \ldots$". Вот это "все" и должно означать, что множество выбранных элементов совпадает с В, а не просто является его подмножеством. И это утверждение не совсем тривиально, иначе Манкрз и Зорич не посвятили бы по абзацу каждый его доказательству.

zkutch писал(а):

А не думаете ли вы что если мы могли бы спросить авторов об этом доказательстве, то они не предложили бы совершенно оригинальную версию полного доказательства, отличную от всех рассмотренных?

Я считаю, что в главе под названием "Элементы теории множеств" стоило бы поместить версию доказательства, не вызывающую разногласий.

zkutch писал(а):

Но я бы не посчитал бы это за серьезное прегрешение, так как текст аксиомы выбора приведенный Someone говорит только о существовании функции, а не ее определении. То же самое можно сказать о замечании tolstopuz на данную тему.

Что именно "то же самое"? Я говорил о том, что при $M_1 = \{1\}, M_2 = \{2\}, M_3 = \{1,2\}$ выбрать из каждого из них по одному элементу в некотором смысле нельзя, причем четко определил, в каком смысле.

zkutch писал(а):

Более бросающим в глаза я бы посчитал что для множества индексов употребляется слово "некоторое" а для множеств Мальфа слово "некоторое произвольное". Т.е. можно брать их и пустыми?

О, действительно! А я и не заметил.

zkutch писал(а):

Таким образом, если договориться и математический жаргон "функция сопоставляет один элемент другому" обобшить и применять и в случае пустых множеств, то вся неловкость исчезает. Функция, о которой говорится в тексте аксиомы выбора, существует.

А не расскажете ли, существует функция выбора для $A = \{1\}, M_1 = \{\}$ или нет? Так как множества конечные, можно просто перебрать все возможные функции $\varphi$ и найти среди них подходящую.

zkutch писал(а):

то пустота множества индексов и пустота множеств Мальфа как раз и будет серьезная неточность в приведенном Someone тексте.

Пустота множества индексов не является проблемой. Выбрать ноль элементов можно из чего угодно.

[zkutch]

Уважаемый tolstopuz ваши рассуждения касательно текста Колмогорова-Фомина и вашего доказательства в общем мне кажутся верными, но формально согласиться с вами, к сожалению, не могу. Видите ли для согласия мне кажется необходимым иметь ДОКАЗАТЕЛЬСТВО того что не существует доказательства отличного от вашего варианта. Это, думаю, очень сложно, если вообще возможно. И разумеется это не тривиальное заявление, в полном согласии с Зоричем и Munkres, – разве могут быть тривиальными заявления в таких фундаментальных вопросах? Они только на первый вид тривиальны, а подберись поближе...

Теперь о частностях – вас очень правильно волнует вопрос пропущенного квантора всеобщности "все". Но давайте поставим вопрос вообще – если пропущен квантор по отношению к переменной что понимать в таком случае? Приходится покидать "наивную" теорию множеств и переходить в какую-нибудь формальную аксиоматическую теорию. Там уже имеются понятия свободных и связанных переменных и, соответственно, взникают формулы зависящие от параметров и предложения (например Колмогоров, Драгалин Введение в мат. логику, 1982, стр. 60-62). Для получения же истинности надо рассмотреть оценку для выбранной модели (там же 73 стр.). Простите за неточность следющего высказывания - не имея квантора, переменная превращается в параметр, не имея значений параметра не имеем и истинности формулы. Хотя я встречал и другие подходы.
Вы правильно поймете меня если подумаете, что я подталкиваю такого человека как вы к более глубокому ознакомлению с основаниями математики. Разве, например, фундаментальное понятие множества так уж интуитивно очевидно и просто как кажется из введений в большинство математических книг?

Вы совершенно правы в построеном вами примере М множеств для аксиомы выбора в форме для множества. Возможность этого дана в формулировке приведенной Someone - тут нет непересекаемости множеств как этого требует совершенно точно Munkres в своем варианте, и вы прекрасно это почувствовали. Но, надеюсь вы обратите внимание, что я говорил о варианте функции, когда упомянул ваше заявление – право на это мне, думаю, дает то что вы начали свое заявление с рассуждения для функции. Ваша формальная запись, "для каждого альфа множество пересечения образа А для функции фи с Мальфа содержит ровно один элемент" не является точной записью второго предложения текста Someone.
Посмотрите еще с этой стороны: если вы в лемме 9.2 стр. 59 у Munkres построите каждое множество В из множества Мальфа, разумеется для случая непустого А множества индексов и непустых Мальфа, то композиция отображения альфа в Мальфа с отображением построенным в лемме (choice function) и будет отображением требуемым во втором предложении текста Someone.
В приведенном вами примере построить функцию удовлетворяющую второму предложению текста Someone возможно. Вот составить множество требуемое в третьем предложении невозможно по вашему контрпримеру и тут, повторюсь, вы совершенно правы (критична непересекаемость).
Но хочу попросить вас обратить внимание и на то что у Колмогорова-Фомина курсивом выделено только второе предложение, как основной текст аксиомы выбора.

осталось три-четыре момента на которые хотелось бы вам ответить, но и так мое сообщение очень затянулось, за что позвольте попросить прощения.

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

Видите ли для согласия мне кажется необходимым иметь ДОКАЗАТЕЛЬСТВО того что не существует доказательства отличного от вашего варианта.

Вот мне и не нравится, что вместо чтения учебника и получения из него знаний приходится реконструировать доказательство, как заметки Ферма на полях для n=4.

zkutch писал(а):

Теперь о частностях – вас очень правильно волнует вопрос пропущенного квантора всеобщности "все". Но давайте поставим вопрос вообще

Сейчас обсуждается вполне конкретный вопрос: как дополнить доказательство Колмогорова-Фомина, чтобы не было разночтений. В варианте Someone (он же стандартный) на каждом шаге индуктивного построения выбирается элемент с наименьшим из оставшихся индексов, поэтому не составляет труда доказать, что эта процедура выберет все элементы. Теперь рассмотрим ваш способ:

zkutch писал(а):

если следовать авторскому тексту то они предлагают рассматривать ("пусть") сперва один ("первый") элемент В. для точности, разумеется, нужно сказать если он существует. Если такого элемента нет, то множество В пустое т.е. число его элементов 0. если есть такой элемент, то рассматриваем второй. Если второй элемент, отличный от первого, не существует то число элементов 1 и т.д. У найденных элементов есть их номера в нумерации А и далее следует рассуждение по наибольшему номеру.

Давайте попробуем таким способом доказать, что множество В натуральных чисел, больших 1, счетно. Рассмотрим ("пусть") сперва один ("первый") элемент В, скажем, 2. Такой элемент есть, рассматриваем второй, скажем, 4. За ним третий, скажем, 6. И так далее.
И какой мы из этого делаем вывод? Множество натуральных чисел, больших 1, счетно, поскольку его члены 2, 4, 6... занумерованы числами 1, 2, 3...? Слегка странный вывод, не находите?

zkutch писал(а):

Но, надеюсь вы обратите внимание, что я говорил о варианте функции, когда упомянул ваше заявление – право на это мне, думаю, дает то что вы начали свое заявление с рассуждения для функции.

Да, с функцией выбора там все хорошо, кроме замеченного вами отсутствия требования непустоты $M_{\alpha}$.

zkutch писал(а):

Ваша формальная запись, "для каждого альфа множество пересечения образа А для функции фи с Мальфа содержит ровно один элемент" не является точной записью второго предложения текста Someone.

Я и говорю, что понять фразу "выбрать из каждого множества по одному и только одному элементу" можно неоднозначно. В моем примере вроде бы выбираем один элемент, а выбираются оба.

[Someone]

Послушайте, спорщики, вы обсуждаете мой текст или текст А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина? Процитированный мной текст помещён на стр. 35 в книге

А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972.

Вот этот текст:

Цитата:

Пусть $A$ - некоторое множество индексов $\alpha$ и пусть для каждого $\alpha$ задано некоторое произвольное множество $M_{\alpha}$. Тогда, как утверждает аксиома выбора, можно построить функцию $\varphi$ на $A$, относящую каждому $\alpha\in A$ некоторый элемент $m_{\alpha}$ из соответствующего множества $M_{\alpha}$. Иными словами, можно составить некоторое множество, выбрав из каждого $M_{\alpha}$ по одному и только одному элементу.

Здесь, как легко заметить, имеются две различных формулировки аксиомы выбора. Первая формулировка включает первое и второе предложения. Вторая - первое и третье.

Существенным дефектом первой формулировки является отсутствие требования непустоты множеств $M_{\alpha}$, без чего определить функцию невозможно.
Существенным дефектом второй формулировки является отсутствие требований непустоты и попарной дизъюнктности множеств $M_{\alpha}$, без чего невозможно выбрать по одному и только одному элементу.

При отсутствии указанных требований обе формулировки являются просто неправильными ("неоднозначное" толкование выделенной фразы во второй формулировке - это от лукавого; все её понимают одинаково).

Менее существенным дефектом здесь является употребление оборота "иными словами", который подразумевает, что вторая формулировка является простой перефразировкой первой, в то время как на самом деле это не так, и требуются определённые усилия, чтобы убедиться, что обе формулировки после указанных дополнений равносильны.

Совершенно ясно, что эту книгу нельзя рассматривать как пособие по теории множеств, да она и написана с другими целями. Первые две её главы я ранее вообще не читал, а последующие использовал лишь изредка в справочных целях, поэтому обнаружение такого рода казусов для меня было сюрпризом.

P.S. Как я ранее говорил, практически невозможно написать сколько-нибудь большой и сложный текст, не наделав в нём некоторого количества ошибок и неточностей.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Послушайте, спорщики, вы обсуждаете мой текст или текст А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина?

Два отрывка в Колмогорове-Фомине: аксиому выбора и теорему о счетности подмножества счетного множества.

Someone писал(а):

Здесь, как легко заметить, имеются две различных формулировки аксиомы выбора. Первая формулировка включает первое и второе предложения. Вторая - первое и третье.

Я и говорю:

tolstopuz писал(а):

Проблема в том, что в одном абзаце смешаны две формулировки аксиомы выбора - через множество и через функцию.

Someone писал(а):

Существенным дефектом первой формулировки является отсутствие требования непустоты множеств $M_{\alpha}$, без чего определить функцию невозможно.

Ну да, zkutch это заметил:

zkutch писал(а):

Более бросающим в глаза я бы посчитал что для множества индексов употребляется слово "некоторое" а для множеств Мальфа слово "некоторое произвольное". Т.е. можно брать их и пустыми?

Я же умудрился это пропустить.

Someone писал(а):

Существенным дефектом второй формулировки является отсутствие требований непустоты и попарной дизъюнктности множеств $M_{\alpha}$, без чего невозможно выбрать по одному и только одному элементу.

А вот это я и пытаюсь объяснить zkutch, но он все же умудряется истолковать эти слова по-другому.

Someone писал(а):

Совершенно ясно, что эту книгу нельзя рассматривать как пособие по теории множеств, да она и написана с другими целями. Первые две её главы я ранее вообще не читал, а последующие использовал лишь изредка в справочных целях, поэтому обнаружение такого рода казусов для меня было сюрпризом.

То есть дальше все будет лучше? Ура!

Someone писал(а):

P.S. Как я ранее говорил, практически невозможно написать сколько-нибудь большой и сложный текст, не наделав в нём некоторого количества ошибок и неточностей.

В англоязычном сообществе составляют и коллекционируют списки исправлений к книгам, как авторские, так и сделанные энтузиастами. Вот, скажем:
http://www.math.mcmaster.ca/~ohagans/errata.php
Я и сам, когда читал алгебру Dummit&Foote, отправлял им опечатки, которые они включали в еррату на сайте. Надеюсь, мы к этому тоже когда-нибудь придем.

[Someone]

tolstopuz писал(а):

Someone писал(а):

Послушайте, спорщики, вы обсуждаете мой текст или текст А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина?

Два отрывка в Колмогорове-Фомине: аксиому выбора и теорему о счетности подмножества счетного множества.

А почему тогда вы оба время от времени упоминаете меня как автора? Например: http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=7704#7704 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=7863#7863. Я в 1972 году только-только поступил в аспирантуру, и поучаствовать в написании книги вместе с А.Н.Колмогоровым и С.В.Фоминым не успел.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

tolstopuz писал(а):

Someone писал(а):

Послушайте, спорщики, вы обсуждаете мой текст или текст А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина?

Два отрывка в Колмогорове-Фомине: аксиому выбора и теорему о счетности подмножества счетного множества.

А почему тогда вы оба время от времени упоминаете меня как автора?

Вы еще на первой странице расписали недостающее звено в доказательстве счетности, и, хотя оно совершенно стандартное, я временами ссылаюсь на него, так как это удобнее, чем отсылать к литературе. А вот zkutch действительно называет формулировку аксиомы выбора из Колмогорова-Фомина "текстом Someone". Но это надо уже у него спрашивать

[zkutch]

Ну я вижу что после моего вчерашнего сообщения была прямо ночь длинных подарков…

Все таки я рад что вы появились опять Someone.
Во-первых кто это мог бы обвинить вас в авторстве скандальнейшей аксиомы 20-го века, которой специально посвященно множество трудов (только я знаю 4 специальные монографии) - аксиомы выбора - предложенной Цермело еще в 1904 году? Я упоминаю вас только как автора цитаты, а не автора еще чего-нибудь. Но раз вам и это неприятно, не буду и этого.
Во-вторых, позвольте заметить, что указываемые вами неточности пустоты и дизъюнктности (я употребил термин непересекаемость, как можно увидеть) множеств уже находились в обсуждении до вашего сообщения, это тоже легко видеть просмотрев предыдущие сообщения.
В третьих, и, главное –

цитата из Someone : "Существенным дефектом первой формулировки является отсутствие требования непустоты множеств Мальфа, без чего определить функцию невозможно."

Итак, имея пустое множество прибытия (область значений, множество значений в других формулировках) вы считаете "определить функцию невозможно" . (!)

А имея пустое множество отправления (область определения в другой формулировке) вы считаете тоже "определить функцию невозможно" ? (!!)


касательно tolstopuz – это замечания я пишу для тех возможных читателей форума для которых после прочтения высказывания tolstopuz-а насчет " Слегка странный вывод" - относительно моего варианта доказательства, будет затруднительно самим разобраться в ситуации. Почему-то хочется надеется что вы сами tolstopuz, или уже поняли или поймете несостоятельность вашей аналогии.
Предложенная мной идея (если такую мелочь вообще позволительно назвать идеей) сначала рассмотреть только множество В, а не начинать рассмотрение множества А. В моем варианте доказательства рассматриваются все элементы В, тогда как в варианте Someone все элементы А. Я представляю квантор всеобщности к элементам В в рассуждении, а не квантор существования. Я думал это достаточно простая конструкция, но и она вызвала чувство "странности" - как по вашему, tolstopuz, продолжиться доказательство переходя на третий, на четвертый и потом на любой элемент В ?

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

А имея пустое множество отправления (область определения в другой формулировке) вы считаете тоже "определить функцию невозможно" ? (!!)

Областью определения является множество A, и ему никто не запрещал быть пустым.

zkutch писал(а):

В моем варианте доказательства рассматриваются все элементы В, тогда как в варианте Someone все элементы А. Я представляю квантор всеобщности к элементам В в рассуждении, а не квантор существования.

В вашем рассуждении этого нет. Ни _всех_ элементов B (вы только последовательно выбираете _какие-то_ элементы B), ни квантора всеобщности на элементах B. Перечитайте еще раз:

zkutch писал(а):

если следовать авторскому тексту то они предлагают рассматривать ("пусть") сперва один ("первый") элемент В. для точности, разумеется, нужно сказать если он существует. Если такого элемента нет, то множество В пустое т.е. число его элементов 0. если есть такой элемент, то рассматриваем второй. Если второй элемент, отличный от первого, не существует то число элементов 1 и т.д. У найденных элементов есть их номера в нумерации А и далее следует рассуждение по наибольшему номеру.

zkutch писал(а):

как по вашему, tolstopuz, продолжиться доказательство переходя на третий, на четвертый и потом на любой элемент В ?

Вы не доказали, что, если выбирать последовательно элементы B - первый, второй, третий, четвертый и так далее, выберутся _все_ элементы. Фактически это и есть утверждение теоремы, что B счетно, а вы пытаетесь воспользоваться им в доказательстве.

[Someone]

zkutch писал(а):

Все таки я рад что вы появились опять Someone.
Во-первых кто это мог бы обвинить вас в авторстве скандальнейшей аксиомы 20-го века, которой специально посвященно множество трудов (только я знаю 4 специальные монографии) - аксиомы выбора - предложенной Цермело еще в 1904 году?

Причём здесь аксиома выбора? Никто не приписывал мне авторство этой аксиомы.

zkutch писал(а):

Я упоминаю вас только как автора цитаты, а не автора еще чего-нибудь. Но раз вам и это неприятно, не буду и этого.

Извините, но Вы упоминаете меня не как автора цитаты, а как автора процитированного мной текста.

zkutch писал(а):

Во-вторых, позвольте заметить, что указываемые вами неточности пустоты и дизъюнктности (я употребил термин непересекаемость, как можно увидеть) множеств уже находились в обсуждении до вашего сообщения, это тоже легко видеть просмотрев предыдущие сообщения.

Я ущемил Ваши авторские права? Приношу извинения.

zkutch писал(а):

В третьих, и, главное –

цитата из Someone : "Существенным дефектом первой формулировки является отсутствие требования непустоты множеств Мальфа, без чего определить функцию невозможно."

Итак, имея пустое множество прибытия (область значений, множество значений в других формулировках) вы считаете "определить функцию невозможно" . (!)

А имея пустое множество отправления (область определения в другой формулировке) вы считаете тоже "определить функцию невозможно" ? (!!)

Не приписывайте мне всякие глупости, я их сам наделаю.

Если заданы множества $A$ и $B$, причём, $A\ne\varnothing$ и $B=\varnothing$, то отображение $f\colon A\to B$ определить невозможно. Во всех остальных случаях, в частности, и при $A=\varnothing$, это вполне возможно.

zkutch писал(а):

касательно tolstopuz – это замечания я пишу для тех возможных читателей форума для которых после прочтения высказывания tolstopuz-а насчет " Слегка странный вывод" - относительно моего варианта доказательства, будет затруднительно самим разобраться в ситуации.

Вы выражаетесь достаточно туманно и запутанно. Боюсь, после Ваших разъяснений недостаточно опытные читатели ещё больше запутаются.

[zkutch]

обычно у меня время есть только на один просмотр форума

для Someone

С вашего позволения, оставляя в стороне виражи по поводу цитирований, авторских прав и тому подобных, перехожу прямо к математике

"Во всех остальных случаях, в частности, и при А равным пустому множеству, это вполне возможно"

посмотрим эти остальные случаи – пустое множество представляет собой функциональный график. Берем любую функцию, у которой график пустой – она обязательно имеет в качестве области определения и в качестве области значений только пустое множество, области прибытия при этом возможно быть не пустым множеством. Если же и область прибытия пуста то получаем пустую тройку множеств и именно эту функцию, отличную от других возможных такого типа, называем по определению пустой функцией (о ней я уже писал).
Беря множества Мальфа пустыми, беря пустое множество индексов получаем функцию с пустым графиком и с пустой областью прибытия. Эту функцию и вполне можно определить как функцию выбора для данного случая, которая как раз и будет пустой функцией.

и тут как раз время вспомнить вашу фразу Someone

"Существенным дефектом первой формулировки является отсутствие требования непустоты множеств Мальфа, без чего определить функцию невозможно."

Но с пустым множеством индексов определить функцию и для пустых Мальфа оказалось возможным из вышеприведенного.



для tolstopuz

просмотрев ваше последнее заявление я понял, что вы не в моем доказательстве находите ошибку. Дело в том что то место у меня на которое вы указываете как на ошибочное, фактически, повторяет текст Колмогорова-Фомина. Более конкретно третье предложение доказательства. Вы опять не верите именно в текст Колмогорова-Фомина, несмотря на ваше-же заявления об очевидности.
Ну раз это место так мучает давайте его и разберем детально, а где я поставил "столбик" посмотрим потом.
попытаемся формализовать третье предложение: "пусть какие-то элементы принадлежат В". Как понимать это предложение? Пропущен квантор (как я уже писал) и на его место можно поставить либо квантор всеобщности либо существования. Но видите ли в аналогичных жаргонных выражениях "возьмем элемент из В", "рассмотрим элемент В" думаю не ошибусь, если скажу, что в подавляющем большинстве случаев понимаем именно слово "любой", "произвольный". "Пусть взят объект x который принадлежит В" я понимаю так как взят любой элемент. Не названа какая-нибудь процедура выбора некоторых элементов, а берутся все. То что берем сперва один, потом другой и так далее ничего не говорит о мощности множества.
Взгляните и с этой точки зрения: если приписать существование получается ошибка, если приписать всеобщность получается истина. Текст теоремы дает возможность правильного истолкования, теорема верна - так какой-же квантор приписывают авторы по вашему мнению?

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

"Существенным дефектом первой формулировки является отсутствие требования непустоты множеств Мальфа, без чего определить функцию невозможно."
Но с пустым множеством индексов определить функцию и для пустых Мальфа оказалось возможным из вышеприведенного.

При пустом множестве индексов мы имеем ровно ноль множеств $M_{\alpha}$, то есть о них истинно любое утверждение - что они пустые, что они непустые и даже что они зеленые. Так что их непустота в данном случае, как говорится, "is vacuosly true".

zkutch писал(а):

Не названа какая-нибудь процедура выбора некоторых элементов, а берутся все.

Вы жонглируете словами, пытаясь скрыть их смысл.

zkutch писал(а):

Но видите ли в аналогичных жаргонных выражениях "возьмем элемент из В", "рассмотрим элемент В" думаю не ошибусь, если скажу, что в подавляющем большинстве случаев понимаем именно слово "любой", "произвольный". "Пусть взят объект x который принадлежит В" я понимаю так как взят любой элемент. Не названа какая-нибудь процедура выбора некоторых элементов, а берутся все.

Это противоречит вашим же словам: "если есть такой элемент, то рассматриваем второй." Таки не все, а по очереди.

Цитата:

Пусть $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ --- те из них, которые входят в $B$.

Что такое $n_1, n_2, \ldots$? Где определение этой последовательности? Где доказательство того, что в эту последовательность входят _все_ индексы элементов B?

zkutch писал(а):

Вы опять не верите именно в текст Колмогорова-Фомина, несмотря на ваше-же заявления об очевидности.

Я не заявлял очевидности. Я предположил, что это очевидно _для_них_. Я реконструирую их пропущенные рассуждения в случае бесконечного B примерно так:

Пусть $C$ - множество индексов всех элементов $A$, входящих в $B$. Так как совершенно очевидно, что подмножество множества натуральных чисел счетно, то элементы множества $C$ можно расположить в последовательность $n_1, n_2, \ldots$. Тогда $B$ тоже счетно, поскольку его члены $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ занумерованы числами $1, 2, \ldots$

Но доказательство этого "совершенно очевидно" на самом деле длиннее, чем приведенного в книге следствия из него.

Есть общепринятый способ определения последовательности $n_i$: "Мы последовательно (в порядке возрастания) просматриваем натуральные числа. Встретив очередной элемент, принадлежащий множеству B, присваиваем ему наименьший ещё не занятый номер." Для этого способа очень просто дать доказательство того, что он переберет индексы _всех_ элементов B. Но на этот способ у Колмогорова-Фомина нет даже намека.

Вы все время уходите в сторону от обсуждаемого вопроса. Вы утверждаете, что в рассуждениях Колмогорова-Фомина нет ошибок, и уже в который раз пространно объясняете какие-то маленькие кусочки их доказательства, не показывая, как они соединяются в целое. Попробуйте лучше выдать связный текст, содержащий их доказательство и заполняющий пробелы: как определяется последовательность $n_i$ и как именно доказывается, что мы имеем право "приписать всеобщность" к утверждению, что элементы B занумерованы, чтобы "получилась истина". Без такого текста ваше утверждение о правильности доказательства Колмогорова-Фомина необосновано.

[zkutch]

в случае когда было заявлено что построить функцию невозможно функция построена.

Если это тривиально, то тем более не надо заявлять заведомо ложь и это не оправдаешь "зелеными" заявлениями насчет какой-то бессодержательности. Для вас может быть и заявление о существовании пустого множества тоже бессодержательная тривиальность, тогда это лично ваша проблема.

вообще чем меньше обращаю внимание на виражи невежливости, тем больше они попадаются. Может постараться обходиться без них?

"Это противоречит вашим же словам: "если есть такой элемент, то рассматриваем второй." Таки не все, а по очереди."

противоречия нет. Оно только вами заявляется. Взять все вполне возможно и указанным способом. Заявление же это нужно чтобы отсечь непустоту В.

Мой текст таков
Рассмотрим случай когда В непусто. Рассмотрим любой элемент В. У этого любого элемента есть его индекс в индексации А. Рассмотрим множество всех таких индексов. У этого множества или есть максимум или нет. И далее рассуждение по максимуму

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

Но с пустым множеством индексов определить функцию и для пустых Мальфа оказалось возможным из вышеприведенного.

zkutch писал(а):

в случае когда было заявлено что построить функцию невозможно функция построена.

В случае, если для какого-то $\alpha$, принадлежащему пустому множеству индексов $A = \emptyset$, задано пустое множество $M_{\alpha}$? Такой случай просто невозможен. Ну нет элементов в пустом множестве $A$.

zkutch писал(а):

Мой текст таков
Рассмотрим случай когда В непусто. Рассмотрим любой элемент В. У этого любого элемента есть его индекс в индексации А. Рассмотрим множество всех таких индексов. У этого множества или есть максимум или нет. И далее рассуждение по максимуму

Если максимум есть, то все понятно. Завершите доказательство того случая, когда максимума нет, то есть $B$ бесконечно. Вы получили бесконечное множество индексов, являющееся подмножеством $\mathbb{N}$, вам осталось только доказать, что оно счетно.

[zkutch]

"элементу из области определения ставится в соответствие элемент из области значений по определенному закону" – это жаргон для школьников или для понимающих профессионалов. Черт! В точном определении функции не "соответствует" что-то чему-то, а существуют множества с затребованными свойствами. Функция это тройка множеств. Вы умеете доказывать что тройка пустых множеств есть функция да или нет?


В тексте Колмогорова-Фомина была поставлена задача: восполнить переход между вторым и четвертым предложением доказательства. Т.е. речь шла о третьем предложении. В моем тексте пробел восполнен. Переход со второго предложения на третье не вызывает уже сомнений. Вроде цель достигнута, но теперь вы выкопали вопрос про вторую половину четвертого предложения. Извольте: раз это подмножество натуральных чисел то существует минимум. Приписываем ему номер первый и выбрасываем из множества. Остается опять подмножество натуральных чисел и т.д. Любой элемент когда-нибудь окажется минимумом и будет выбран.