Колмогоров-Фомин - не пойму чего-то

[tolstopuz]

Колмогоров-Фомин, седьмое (юбилейное) издание, страница 28:

1. \textit{Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.} \smallskip\textcs{Доказательство.} Пусть $A$ --- счетное множество, а $B$ --- его подмножество. Занумеруем элементы множества $A$: $a_1, \ldots, a_n, \ldots$ Пусть $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ --- те из них, которые входят в $B$. Если среди чисел $n_1, n_2, \ldots$ есть наибольшее, то $B$ конечно, в противном случае $B$ счетно, поскольку его члены $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ занумерованы числами $1, 2, \ldots$

Там дальше не будет таких ляпов или лучше выкинуть и сразу продираться через второй том Рудина?

[незваный гость]

Простите, а в чем проблема?

[tolstopuz]

tolstopuz писал(а):

Пусть $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ --- те из них, которые входят в $B$.

Вот здесь проблема. Мы пользуемся тем, что номера элементов $A$, входящих в $B$, можно перенумеровать, а это и есть утверждение теоремы.

Еще понятнее ошибка становится, если рассмотреть частный случай: $A = \mathbb{N}, a_i = i$:

1. \textit{Всякое подмножество \mathbb{N} конечно или счетно.} \smallskip\textcs{Доказательство.} Пусть $B$ --- подмножество \mathbb{N}. Множество \mathbb{N} состоит из элементов $1, \ldots, n, \ldots$ Пусть $n_1, n_2, \ldots$ --- те из них, которые входят в $B$.

Стоп. Мы же не доказали, что число элементов $B$ счетно. Как же мы можем считать, что счетное множество $\{n_1, n_2, \ldots\}$ равно $B$?

[Someone]

tolstopuz писал(а):

1. \textit{Всякое подмножество \mathbb{N} конечно или счетно.} \smallskip\textcs{Доказательство.} Пусть $B$ --- подмножество \mathbb{N}. Множество \mathbb{N} состоит из элементов $1, \ldots, n, \ldots$ Пусть $n_1, n_2, \ldots$ --- те из них, которые входят в $B$.

Стоп. Мы же не доказали, что число элементов $B$ счетно. Как же мы можем считать, что счетное множество $\{n_1, n_2, \ldots\}$ равно $B$?

Не понял проблемы. Мы последовательно (в порядке возрастания) просматриваем натуральные числа. Встретив очередной элемент, принадлежащий множеству $B$, присваиваем ему наименьший ещё не занятый номер. Просмотрев весь натуральный ряд, мы встретим все элементы множества $B$ и, следовательно, получим нумерацию элементов множества $B$ натуральными числами.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Не понял проблемы. Мы последовательно (в порядке возрастания) просматриваем натуральные числа. Встретив очередной элемент, принадлежащий множеству $B$, присваиваем ему наименьший ещё не занятый номер. Просмотрев весь натуральный ряд, мы встретим все элементы множества $B$ и, следовательно, получим нумерацию элементов множества $B$ натуральными числами.

Вот это и есть настоящее доказательство, ключевые слова - "наименьший ещё не занятый номер". Мало того, для строгого обоснования требуется понятие определения по индукции. А в тексте нет на эти вещи даже намека, а вместо них порочный круг. Меня это и насторожило - насколько можно доверять книге дальше?

[Someone]

tolstopuz писал(а):

... насколько можно доверять книге дальше?

Ну, неаккуратности и мелкие неточности можно найти практически в каждом сколько-нибудь нетривиальном тексте. Если всё изложить абсолютно строго, то читать будет невозможно. Я бы продолжал доверять Колмогорову и Фомину.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Ну, неаккуратности и мелкие неточности можно найти практически в каждом сколько-нибудь нетривиальном тексте. Если всё изложить абсолютно строго, то читать будет невозможно. Я бы продолжал доверять Колмогорову и Фомину.

Спасибо, обнадежили

Хотя, на мой взгляд, это крупный ляп. У Рудина, Зорича и Манкрза ("Topology") эта теорема доказана правильно, а Манкрз даже использует ее как иллюстрацию необходимости понятия определения по индукции.

[незваный гость]

tolstopuz писал(а):

Вот это и есть настоящее доказательство, ключевые слова - "наименьший ещё не занятый номер". Мало того, для строгого обоснования требуется понятие определения по индукции. А в тексте нет на эти вещи даже намека, а вместо них порочный круг. Меня это и насторожило - насколько можно доверять книге дальше?

Порочного круга я так и не увидел. Но дело дае не в этом. В любой области существуют условные "псеввдо-действия" (например, в топологии часто встречается - "потянем", "подуем" - что читается как "существует непрерывное непрерывно-обратимое отображение переводящее из одного состояния в другое"). И их употребляют для читаемости текста. Заполнять их места строгими действиями - задача читателя, и предполагается, что с ней он может справиться сам, коли надо. Когда я отвечал на экзамене, меня один раз спросили - что я имею ввиду, говоря "zzz" - вполне расхожую фразу. После того, как я дал определение, больше не спрашивали, и я продолжил ее употреблять. Так и здесь. Перенумеровать - просто одно из стандартных построений.

[tolstopuz]

незванный гость писал(а):

Порочного круга я так и не увидел.

Переводим формулировку с языка индексов на язык отображений. Нам дана биекция $i\colon\mathbb{N}\to A$ и подмножество $B\subseteq A$. Надо доказать, что либо $B$ конечно, либо существует биекция $j\colon\mathbb{N}\to B$.

Цитата:

Пусть $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ --- те из них, которые входят в $B$.

То есть $i^{-1}(B)$ - множество индексов элементов $A$, входящих в $B$. Если это множество конечно, то все доказано. Если же бесконечно, то мы достаем из рукава биекцию $k\colon\mathbb{N}\to i^{-1}(B)$ и говорим, что мы нашли $j = i\mid_{i^{-1}(B)}\circ\,k$. Но чтобы доказать существование $k$, мы сначала должны доказать нашу теорему!

незванный гость писал(а):

Но дело дае не в этом. В любой области существуют условные "псеввдо-действия" (например, в топологии часто встречается - "потянем", "подуем" - что читается как "существует непрерывное непрерывно-обратимое отображение переводящее из одного состояния в другое"). И их употребляют для читаемости текста. Заполнять их места строгими действиями - задача читателя, и предполагается, что с ней он может справиться сам, коли надо.

Но один раз-то показать это действие надо! И эта теорема - самое лучшее место для такого объяснения. Другие авторы, кстати, дружно это делают.

[finanzmaster]

Могу поделиться своими впечатлениями о "Когмогорове и Фомине" - не в контексте этой теоремы, а вообще.
Книжка явно рассчитана на вдумчивого читателя - указания в скобках типа (объясните почему!), (проверьте!), (приведите пример!) и т.д. встречаются часто - причем когда речь идет и о нетривиальных случаях.
Наверное, именно так и нужно изучать математику - особенно такие нетривиальные вопросы, которые рассматриваются в книге. Однако если нужно БЫСТРО усвоить основы предмета - то эта книга не лучший вариант; недостаточно материал разжеван

[tolstopuz]

finanzmaster писал(а):

Могу поделиться своими впечатлениями о "Когмогорове и Фомине" - не в контексте этой теоремы, а вообще.
Книжка явно рассчитана на вдумчивого читателя - указания в скобках типа (объясните почему!), (проверьте!), (приведите пример!) и т.д. встречаются часто - причем когда речь идет и о нетривиальных случаях.

А разве может быть по-другому? У меня в текстах постоянно встречаются упражнения вида "Check the details of Example 1" и "Prove Theorem 68.4". Еще некоторые авторы любят давать в упражнениях кусочки материала, который будет подробно разбираться позже.

finanzmaster писал(а):

Наверное, именно так и нужно изучать математику - особенно такие нетривиальные вопросы, которые рассматриваются в книге. Однако если нужно БЫСТРО усвоить основы предмета - то эта книга не лучший вариант; недостаточно материал разжеван

Ой, а я взял ее именно для разминки перед "Real and complex analysis" Рудина

[lofar]

Цитата:

Ой, а я взял ее именно для разминки перед "Real and complex analysis" Рудина

Вообще говоря, "Real and complex analysis" не покрывает всего материала из "Колмогорова и Фомина". Придется еще почитать другую книгу Рудина: "Functional Analysis".

Мне очень близки Ваши переживания по поводу изложения материала в учебниках. Некотрые авторы используют "дружественный" или, иначе, "щадящий" стиль изложения. Желая упростить (сделать более интересным?!) изложение, они опускают подробности и неминуемо теряют в строгости. Кому-то такой подход нравится. Но, как мне видится, математику (студенту), исповедующему принцип "я не знаю всего, но то, что я знаю я хочу знать четко", такие книжки не подходят.

В свое время, читая упомянутую книгу Зорича, я так и не смог убедить себя в том, что знаю, что такое многообразие с краем --- пришлось читать Спеньера. Впрочем, конечно, "Зорич" --- один из лучших учебников.

Одним из самых ярких примеров "дружественного" стиля является "Современная геометрия" Фоменко et al. Вот уж где "дуют", "тянут", и пр. Спектр вопросов освященных в этой книге поражает: от формул Френе до групп Ли и дальше. Вместе с тем, многие очень трудные топологические вопросы решаются на интуитивном уровне: "склеим эти два многообразия по этим контурам... см. рис... и получим...". А что получим? Будет ли это многообразием? А насколько гладкими должны быть контуры? На подобные вопроосы ответа не найти. Еще раз отмечу, что эти пробелы далеко не тривиальны и не могут быть заполнены читатаелем. Попробуйте между делом доказать интуитивно ясный факт о том, что замкнутая непрерывная кривая без самопересечений делит плоскость на две связные компоненты (теорема Жордана).

Подчеркну, что я не имею ввиду степень "разжеванности" материала. Просто, иногда, хочется откровенности: нужно условие --- формулируй, нужна лемма --- доказывай. Иной раз, такую "правду" можно найти только у Бурбаков.

Касательно учебников по функциональному анализу.
На мой вкус, Рудин пишет замечательно, сторго и последовательно. Если можете читайте "Real and complex analysis" и "Functional Analysis". Однако, стоит учесть, что подход к построению интеграла Лебега у Рудина отличается от принятого в "Колмогорове и Фомине" --- нет полуколец, колец, Лебеговского продолжения меры,... Зато теорема Рисса о представлении доказана в общем виде.

[tolstopuz]

lofar писал(а):

Вообще говоря, "Real and complex analysis" не покрывает всего материала из "Колмогорова и Фомина". Придется еще почитать другую книгу Рудина: "Functional Analysis".

На самом деле я не уверен, что мне понадобится функан на уровне третьего тома Рудина. Курс анализа мне нужен для латания дыр в образовании перед изучением более интересных для меня вещей (так случайно вышло, что они почти совпадают с двумя-тремя курсами программы Вербицкого). Хотя до "Principles" Рудина я считал матан неинтересным, так что все может измениться...

lofar писал(а):

В свое время, читая упомянутую книгу Зорича, я так и не смог убедить себя в том, что знаю, что такое многообразие с краем --- пришлось читать Спеньера. Впрочем, конечно, "Зорич" --- один из лучших учебников.

До строгого определения абстрактных многообразий я еще не дошел (собираюсь читать Boothby, "Introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry"), а определение многообразия с краем в R^n читал в Munkres, "Analysis on manifolds". Потом посмотрел у Зорича - практически то же самое, разве что край развернут другой стороной по другой координате. Вроде было достаточно строго для меня.

lofar писал(а):

Одним из самых ярких примеров "дружественного" стиля является "Современная геометрия" Фоменко et al.

Ужасно. Прочитал страниц 100 и бросил. Даже купил do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces", как самый строгий учебник по классическому дифгему, чтобы не оставалось неясностей.

lofar писал(а):

Попробуйте между делом доказать интуитивно ясный факт о том, что замкнутая непрерывная кривая без самопересечений делит плоскость на две связные компоненты (теорема Жордана).

Поздно. Как раз две недели назад дочитал десятую главу топологии Манкрза, где этому посвящено 15 страниц. Впечатляет. А вот доказательство того же самого у Прасолова практически не запомнилось, скорее всего, именно из-за нестрогости - "эти пути нужно перестроить так, как показано на рис.36" и еще в доказательстве кусочно-линейного случая.

lofar писал(а):

Однако, стоит учесть, что подход к построению интеграла Лебега у Рудина отличается от принятого в "Колмогорове и Фомине" --- нет полуколец, колец, Лебеговского продолжения меры,

Вот поэтому я и хочу почитать на досуге что-нибудь для разогрева. В принципе, кроме Колмогорова-Фомина, есть еще Ройден.

[LynxGAV]

Ребят, почитала я. И, простите, чуть-чуть смешно. Не от того, что Колмогоров "тривиальности" иногда пропускает, а от некоторых книг Ландау, например. Показательна его "Квантовая механика". Вы бы "почитали", "по"нормировали бы все функции, все асимптотики понаходили. Что ж тут удивительного, что надо сидеть с карандашиком и потом кучами листы А-4 выносить. А когда-то еще и статьи придется прорабатывать...

[tolstopuz]

LynxGAV писал(а):

Показательна его "Квантовая механика". Вы бы "почитали", "по"нормировали бы все функции, все асимптотики понаходили.

Так то физика, там вообще бывают континуальные интегралы