Колмогоров-Фомин - не пойму чего-то

[dm]

tolstopuz писал(а):

Так то физика, там вообще бывают континуальные интегралы

Вы что-то имеете против континуальных интегралов?

[tolstopuz]

dm писал(а):

Вы что-то имеете против континуальных интегралов?

Лично я - нет, но наслышан разного

[lofar]

LynxGAV писал(а):

Вы бы "почитали", "по"нормировали бы все функции, все асимптотики понаходили. Что ж тут удивительного, что надо сидеть с карандашиком и потом кучами листы А-4 выносить. А когда-то еще и статьи придется прорабатывать...

Дело не в ленности математиков которые не хотят трудиться и заполнять пробелы и недосказанности в изложении. Проблема в том, что за доказательствами "на пальцах" очень часто скрываются далеко нетривиальные вопросы. Внимательный читатель видит эти подводные камни и как следствие не принимает предложенного доказательства: вроде что-то доказали, какие-то рассуждения привели, а чувства, что все доказано нет. Я убежден, что не найдется человека, который смог бы читать книгу, восстанавливая по ходу дела такие пробелы, как теорема Жордана о замкнутом контуре.

Кстати, постоянное стремление к строгости и общности является одним из двигателей развития математики как науки. Вспомните Лобачевского с его геометрией --- вот не нравились ему доказательство теоремы о сумме углов треугольника, чувствовал, что не все так просто, и действительно... Можно также упомянуть Геделя, Тарского, Маркова. Вообще, математическая логика развивалась во многом благодаря стремлению к строгости.

В этой связи следует сказать спасибо физике. Большое количество современных математических идей является продуктом критического осмысления методов которые задолго до того использовались в физике на интуитивном уровне (обобщенные функции, $C^*$-алгебры,...). Этот процесс продолжается: недавно один знакомый физик похвастался, что он знает чему равен тензор кривизны Римана на вершине конуса.

[lofar]

tolstopuz писал(а):

...так случайно вышло, что они почти совпадают с двумя-тремя курсами программы Вербицкого

А что это за программа такая?

[tolstopuz]

lofar писал(а):

А что это за программа такая?

http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html

[LynxGAV]

tolstopuz писал(а):

Так то физика, там вообще бывают континуальные интегралы

Встречаю знакомую, которая учится в аспирантуре "по математике".
-- Ну что там, как там? Что за предметы (спец. курсы) выбрала?
-- Да вот на "интегралы" пошла. Все ничего, но в конце окажется, что фигня это всё..
-- А в физике естественным способом получаются...

[zkutch]

уважаемый tolstopuz и остальные (в особенности уважаемый Someone - почему вы согласились что это ляпсус?)
мне очень жаль, но вряд ли можно согласиться с тем что у Колмогорова-Фомина ошибка в рассуждении, скорее всего ошибка в вашем восприятии, интерпретации слов:

у авторов приведено предложение
"пусть ан1, ан2, ... - те из них которые входят в В"
давайте рассматривать именно это предложение и то как вы его интерпретировали

прежде всего рассмотрим слова из второго, поясняющего, вами названного частного, примера:
"пусть н1, н2,... те из них которые входят в В" тут вы хорошо повторили слова авторов, но далее ваша интерпретация

"множество состоящее из н1, н2 и т.д. равно В"
- это равенство вами принесенное слово, такого предложения нету у авторов его нет в изначальном тексте, там же не написано что что-то чему-то равно

если следовать авторскому тексту то они предлагают рассматривать ("пусть") сперва один ("первый") элемент В. для точности, разумеется, нужно сказать если он существует. Если такого элемента нет, то множество В пустое т.е. число его элементов 0. если есть такой элемент, то рассматриваем второй. Если второй элемент, отличный от первого, не существует то число элементов 1 и т.д. У найденных элементов есть их номера в нумерации А и далее следует рассуждение по наибольшему номеру. Вот это рассуждение и есть у авторов в их предложении и нет порочного круга.

уважаемый Someone – вы привели свой вариант, но опять же это ваша интерпретация, которая понравилась tolstopuz–у , но у авторов нет этого. Можно сказать что у них нет и той интерпретации которую я привел, но где вы увидели неточность или ляпсус. Прямой ошибки нет. У авторов нет ложного предложения. Текст дает возможность правильной интерпретации. Оба автора великие люди и ошибки их не надо приумножать, своих грехов им хватит.

уважаемый tolstopuz в первом случае ваша критика более похожа на основательную так как вы обвиняете авторов в том что они не обосновывая выразили возможность перенумерования элементов множества В. Но опять таки слово "перенумеровать" использовали вы а не авторы - т.е. это ваша интерпретация. У авторов надо понимать и в этом случае аналогичное рассуждение какое приведено выше
если копнуть глубже то сталкиваемся со словом "существует" или/и словом "выбирать" – тут я выбирал бы бурбакистскую позицию
извините за многословность и неумение пользоваться (пока) математическими формулами форума, буду благодарен за все замечания и советы

[Someone]

zkutch писал(а):

уважаемый tolstopuz и остальные (в особенности уважаемый Someone - почему вы согласились что это ляпсус?)

Ляпсус? Я нигде не говорил о ляпсусе. Я говорил о неаккуратностях и мелких неточностях, но, признаю, весьма неудачно выразился. Имел же в виду следующее. Каждый математик понимает, что, имея формализованный язык и набор аксиом, теорему можно доказать строго и формализованно, выписав некую последовательность высказываний, в которой каждое высказывание либо является аксиомой, либо доказано ранее этой теоремы, либо получается из предыдущих применением правил вывода математической логики. Однако каждый понимает, что, за исключением тривиальных случаев, такое доказательство прочитать и понять никто не сможет (если не ошибаюсь, подобное доказательство теоремы Пифагора занимает сколько-то десятков страниц). Поэтому автор доказательства никогда так не делает. В действительности он как бы расставляет столбики на пути от условия теоремы к её заключению, стараясь при этом, чтобы читатель, дойдя до очередного столбика, видел следующий и понимал, как к нему пройти. Однако с точки зрения формального подхода это можно рассматривать как неаккуратность или неточность. И, как видим, всегда может найтись особо въедливый читатель (это нужно рассматривать как положительную оценку данного читателя), который имено так и поступит.

Что касается данного случая, то, отвечая на заданный вопрос, я поставил один дополнительный столбик между теми, которые уже стояли. Того, кто спрашивал, это удовлетворило. Судя по Вашему тексту, Вы ставите промежуточный столбик в немного другом месте. Третий поставит его ещё как-нибудь иначе.

P.S. Я не думаю, что репутация А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина нуждается в какой-либо защите.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Поэтому автор доказательства никогда так не делает. В действительности он как бы расставляет столбики на пути от условия теоремы к её заключению, стараясь при этом, чтобы читатель, дойдя до очередного столбика, видел следующий и понимал, как к нему пройти. Однако с точки зрения формального подхода это можно рассматривать как неаккуратность или неточность. И, как видим, всегда может найтись особо въедливый читатель (это нужно рассматривать как положительную оценку данного читателя), который имено так и поступит.

Может быть, дело в том, что я в последнее время привык к литературе американской математической школы, например, Рудину и Манкрзу. Они тоже потихоньку начинают умалчивать детали - скажем, Манкрз в одной теореме о гомотопиях один раз явно говорит о числе Лебега, а в следующих умалчивает об этом и считает само собой разумеющимся, а доказательство теоремы о ранге у Рудина я так и не смог осмыслить. Но сложился некий стандарт изложения, настолько отличающийся от советского, что про Колмогорова-Фомина американские студенты говорят "distinctively Russian style" и относятся к нему очень неоднозначно.
Хотя, с другой стороны, в комплексном анализе Альфорса (финн, осевший в Гарварде) регулярно попадаются умышленно оставленные недоговоренности, над которыми мне временами приходится изрядно подумать. Но никак не в базовых понятиях.

Someone писал(а):

Что касается данного случая, то, отвечая на заданный вопрос, я поставил один дополнительный столбик между теми, которые уже стояли. Того, кто спрашивал, это удовлетворило. Судя по Вашему тексту, Вы ставите промежуточный столбик в немного другом месте. Третий поставит его ещё как-нибудь иначе.

Ваш (он же стандартный) столбик лучше, он не требует аксиомы выбора. Именно из-за таких тонкостей и нужна строгость в изложении теории множеств, даже наивной.

Вот, кстати, еще один пример. На следующей странице Колмогорова-Фомина есть теорема "Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество". При ее доказательстве, естественно, неявно используется аксиома выбора. А вот через 15 страниц она вводится явно.

Манкрз же поступил хитрее. Он сначала неявно использовал аксиому выбора в доказательстве счетности счетного объединения (у него чуть другая формулировка теоремы, и там аксиома выбора действительно требуется), потом на примере бесконечного множества счетного подмножества объяснил смысл и пример использования аксиомы выбора, а потом дал упражнение: "у меня тут в предыдущем параграфе где-то неявно используется аксиома выбора, ну-ка найдите это место". Все честно и доступно.

Someone писал(а):

P.S. Я не думаю, что репутация А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина нуждается в какой-либо защите.

Да уж, несмотря на шероховатости, одна из лучших математических книг русских авторов, что я встречал.

[zkutch]

уважаемый Someone - давайте подытожим, что же было на форуме и что заставило меня высказаться. Кстати я и не говорил что вы говорили о ляпсусе – как можно видеть я говорил что вы согласились с тем что это ляпсус

возьмем высказывания уважаемого tolstopuz –а:
1. "Там дальше не будет таких ляпов или лучше выкинуть и …"
2. "Еще понятнее ошибка становится, если рассмотреть частный случай"
3. " в тексте нет на эти вещи даже намека, а вместо них порочный круг. Меня это и насторожило - насколько можно доверять книге дальше? "
4. " на мой взгляд, это крупный ляп "

как видите tolstopuz не спрашивает как доказывать, он постулирует ошибку и спрашивает работать ли дальше с данной книгой

на вышеприведенные три высказывания tolstopuz –а а именно на второе вы Someone отвечаете фразой " Ну, неаккуратности и мелкие неточности можно найти практически в каждом сколько-нибудь нетривиальном тексте " это и создает впечатление согласия. Как вы объясняете впоследствии вы просто неудачно выразились и вы понимаете под этим просто невозможность записать полное формальное доказательство и только это, хотя я бы усмотрел и претензию на большее, на хоть на мелкую но все же ошибку допустим которая не влияет на истинность общего результата, но будь по вашему.
Но если вы только так понимаете слова " неаккуратности и мелкие неточности" то что же делать с тем что tolstopuz говорит о "порочном круге", о "понятной ошибке" - а это не просто пропущенные "столбики", как вы очень образно описали, применение порочного круга это заявление об серьезной ошибке. В противоречивой теории, как известно, все предложения истинны. Разумеется расставлять столбики это дело вкуса и квалификации, но ошибка это ложное предложение. Подобного, повторюсь, нет в тексте Колмогорова-Фомина. Можно назвать, если пожелаете я назову, и монографии и учебники где есть именно ложные высказывания. Но рассматриваемый случай не таков.

в тексте форума только незванный гость ответил " Порочного круга я так и не увидел ", но тут же перевел тему хотя главное-то как раз том что ошибки нет, порочного круга нет. Этот форум могут прочесть и читают надеюсь и молодые математики, так зачем создавать впечатление что в книжке Колмогоров-Фомин есть ошибка, тем более что в данном случае все в порядке.

вот такое положение дел было на форуме и поэтому-то я и позволил себе высказаться и если это что-то и кого-то защищает так по делу-же.

Разумеется можно только приветствовать tolstopuz –а в его желании расставить больше "столбиков", но заявлять что есть ляп там где его нет вряд ли хорошо. Я почему-то надеюсь уважаемый tolstopuz что не обидел вас так, как по вашим высказываниям остается очень хорошее впечатление, просто наверное вы немного поспешили с обвинениями в ляпе. А ваше внимание к деталям мне лично очень нравится – именно в них и кроется с моей точки зрения истинный професионализм.

кстати каким образом tolstopuz вы посчитали что доказательство Someone не использует аксиому выбора? Брать ее в можно формулировке Колмогорова-Фомина 7-е изд. 44стр. или же у часто цитируемого вами Munkres-а в его Topology от 2000г изд. на 59 стр.

а вы Someone согласны что ваш вариант доказательства не использует аксиому выбора?

[Someone]

zkutch писал(а):

...

Оправдываться не считаю нужным.

zkutch писал(а):

кстати каким образом tolstopuz вы посчитали что доказательство Someone не использует аксиому выбора? Брать ее в можно формулировке Колмогорова-Фомина 7-е изд. 44стр. или же у часто цитируемого вами Munkres-а в его Topology от 2000г изд. на 59 стр.

У меня третье издание (1972 год). Аксиома выбора сформулирована на стр. 35 в следующем виде:

Цитата:

Пусть $A$ - некоторое множество индексов $\alpha$ и пусть для каждого $\alpha$ задано некоторое произвольное множество $M_{\alpha}$. Тогда, как утверждает аксиома выбора, можно построить функцию $\varphi$ на $A$, относящую каждому $\alpha\in A$ некоторый элемент $m_{\alpha}$ из соответствующего множества $M_{\alpha}$. Иными словами, можно составить некоторое множество, выбрав из каждого $M_{\alpha}$ по одному и только одному элементу.

Задача. Найдите две неточности в процитированном тексте (более серьёзные, чем та, с которой началось обсуждение).

zkutch писал(а):

а вы Someone согласны что ваш вариант доказательства не использует аксиому выбора?

Отвечу кратко: не использует.

Но, вообще говоря, я не привык отслеживать употребление аксиомы выбора. Без неё моя область математики стала бы очень бедной (впрочем, может быть, это было бы и лучше).

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

4. " на мой взгляд, это крупный ляп "
как видите tolstopuz не спрашивает как доказывать, он постулирует ошибку и спрашивает работать ли дальше с данной книгой

А зачем спрашивать? Доказательств этой теоремы я видел в других источниках не менее трех штук, и все практически одинаковые. Насчет порочного круга я слегка погорячился. Сейчас я понимаю логику авторов в этом месте так: счетность подмножества множества натуральных чисел интуитивно очевидна, так что сведем счетность подмножества произвольного счетного множества к этой очевидности.

Но, как мы уже убедились, в попытках более строго заполнить детали этой "очевидности" у разных людей получаются разные результаты, например, вы использовали аксиому выбора, которая не является здесь необходимой. Еще, кажется, вы не осознаете важности доказательства того, что последовательность выборов выберет все множество B, судя по этой цитате:

zkutch писал(а):

"множество состоящее из н1, н2 и т.д. равно В"
- это равенство вами принесенное слово, такого предложения нету у авторов его нет в изначальном тексте, там же не написано что что-то чему-то равно

Если не доказать этого, мы не сможем завершить доказательство победоносной фразой "в противном случае $B$ счетно, поскольку его члены $a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots$ занумерованы числами $1, 2, \ldots$". А вдруг не все его члены занумерованы? Почему-то Манкрз с Зоричем посвящают этому тривиальному вопросу по целому абзацу.

Именно поэтому (ну и плюс еще неявное использование аксиомы выбора за пятнадцать страниц до ее формулировки) я и считаю, что первая глава Колмогорова-Фомина построена методически неаккуратно.

zkutch писал(а):

кстати каким образом tolstopuz вы посчитали что доказательство Someone не использует аксиому выбора? Брать ее в можно формулировке Колмогорова-Фомина 7-е изд. 44стр. или же у часто цитируемого вами Munkres-а в его Topology от 2000г изд. на 59 стр.

Подробный разбор почти идентичного доказательства занимает у Манкрза весь параграф 9 (страницы 52-56), вместе с введением необходимого для него понятия определения по индукции. А на страницах 57-58 подробно объясняется, чем нумерация элементов подмножества счетного множества отличается от выбора счетного подмножества бесконечного множества и почему первое не требует аксиомы выбора, а второе требует.

Хотя в учебнике по девану и функану для второго-третьего курса такие подробности, возможно, излишни, можно было бы, сохраняя элементарный уровень, соблюсти аккуратность при упрощенном изложении этих довольно тонких мест. Не исключено, что это первая серьезная встреча студента с наивной теорией множеств.

[Dan_Te]

Someone: прямо загадка =)
Мне кажется подозрительным в данной формулировке следующий момент:
функцию (отображение) можно строить откуда-то куда-то, именно так она и определена в КоФо. Здесь у нас есть область определения (множество индексов), но нет множества значений. То есть, не описано множество, в котором функция принимает значения. Этим множеством могло бы стать $\cup_\alpha M_\alpha$, но про это ничего не сказано.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Иными словами, можно составить некоторое множество, выбрав из каждого $M_{\alpha}$ по одному и только одному элементу.

Если записать это условие более строго - "для каждого \alpha множество $\varphi(A)\cap M_{\alpha}$ содержит ровно один элемент", то, вообще говоря, неверно, когда какие-то из $M_{\alpha}$ имеют непустое пересечение (например, $M_1 = \{1\}, M_2 = \{2\}, M_3 = \{1,2\}$). В исходной же формулировке в этом случае еще можно выкрутиться, сказав "мы выбирали из $M_3$ только одно число, а второе само туда попало".

Проблема в том, что в одном абзаце смешаны две формулировки аксиомы выбора - через множество и через функцию.

[zkutch]

Уважаемый Someone - для меня ваша реакция совершенная неожиданность. Я надеялся что мы доброжелательно и колегиально обсуждаем истинность и ложность математических высказываний, а не заставляем кого-то оправдываться. Как видно мои слова настолько сильно обидели вас, что вы даже предлагете мне что-то вроде проэкзаменовки. Я думаю в таком ключе не желательно общаться. Мне интересно сами вы чтобы ответили на подобное предложение? Как минимум было бы коректно если бы и я вам предложил задачу и вы мне, и я бы записал свои ответы и вы бы записали свои а потом мы сличали бы их. Но для меня это совершенно неприемлемая ситуация и не связанная с темой форума. Если бы вы, например, указали мне на мою неточность, то с вашей стороны это было бы лучшим подарком для меня. Мне крайне жаль что я огорчил вас.

Уважаемый tolstopuz я благодарен вам за благородные слова " Насчет порочного круга я слегка погорячился" – это именно то что я почему-то ожидал от вас по вашим высказываниям, этим можно было бы и закрыть эту тему. Но далее вы меня несколько обескуражили. Вы так критично ко всему подходили и вдруг вы говорите о каких-то очевидностях. Если сказать слово "очевидно" то это и погубит всю красоту критичности. Уверен авторы знали это слово и могли бы его применить, если бы хотели, но вместо этого они дали схему доказательства, о восполнении пробелов которого и шла, вообще говоря, речь. И опять вы говорите о том что у Колмогорова-Фомина должна быть обязательно ваша версия доказательства что В чему-то равно. А не думаете ли вы что если мы могли бы спросить авторов об этом доказательстве, то они не предложили бы совершенно оригинальную версию полного доказательства, отличную от всех рассмотренных?
теперь почему я поднял сигнальный флаг над аксиомой выбора – потому что оставаясь в так называемой "наивной" теории множеств, вряд ли можно точно разговаривать об этом. Например, беря классику, Н. Бурбаки "Теория множеств" то там на первой же странице математического текста (стр. 31) вводится известный тау оператор, который является сильной формой аксиомы выбора. Через тау оператор определяются кванторы и получается, что каждый раз используя кванторы мы используем аксиому выбора. А как представить себе математический текст без кванторов? Разве Someone или вы tolstopuz не используете кванторы? Таким образом все дело в том какую позицию в основаниях математики вы выбираете.
Кстати, tolstopuz, я бы с удовольствием обсудил с вами страницы 57-58 у Munkres, но это явно выскакивает за тему форума.


Уважаемый Dan_Te – видите ли если брать определение функции как тройки (Н. Бурбаки "Теория множеств" 90стр.), то ваша подозрительность вполне понятна. Нет, вроде бы, области прибытия. Но есть определение функции там же и через терм на 92 стр. С этим определением не нужно указывать область прибытия. Но я бы не посчитал бы это за серьезное прегрешение, так как текст аксиомы выбора приведенный Someone говорит только о существовании функции, а не ее определении. То же самое можно сказать о замечании tolstopuz на данную тему. Более бросающим в глаза я бы посчитал что для множества индексов употребляется слово "некоторое" а для множеств Мальфа слово "некоторое произвольное". Т.е. можно брать их и пустыми? Говоря на жаргоне, каким же образом тогда существует функция которая элементу из А сопоставляет элемент из Мальфа? Кстати у любимого tolstopuz-ом Munkres на стр. 59 указанны именно непустые множества из которых происходит выбор. Итак, казалось бы, черт пойман за рога. Тут-то и можно было бы вспомнить тему форума и сказать " Колмогоров-Фомин - не пойму чего-то ".
Но, позвольте копнуть глубже.
если взять тройку пустых множеств, то эта тройка удовлетворит определению функции. Таким образом, если договориться и математический жаргон "функция сопоставляет один элемент другому" обобшить и применять и в случае пустых множеств, то вся неловкость исчезает. Функция, о которой говорится в тексте аксиомы выбора, существует. Вообще пустое множество интереснейший объект, у меня даже есть игра со студентами в пустое множество. Вот, только в варианте с множеством это не помогает. Разумеется если не договорится о таком применении жаргона, то пустота множества индексов и пустота множеств Мальфа как раз и будет серьезная неточность в приведенном Someone тексте.