Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[AD]

Цитата:

Вы можете рассказать принцип доказательства того, что следующий набор правил не противоречив:
...

Проще всего - выписать формулы, в соответствии с указанными правилами.

Если я все правильно понял, то в вашей модели при А, Б и С стоят просто неотрицательные действительные числа-коеффициенты. Тогда выписываете формулы для вышеупомянутых функций f,g,h,p,q и r, и проверяете, что по ним получаются снова неотрицательные числа. Потом проверяете, что операции заданные этими формулами, обладают нужными свойствами. А если не обладают, значит, не судьба.

Формулы ведь уже у вас есть, вы ведь писали из каких-то соображений, что

Цитата:

(2А+3Б)*(1А+1С)=2А*А+3А*Б+2А*С+3Б*С=2Б+3С+2А+3Б=2А+5Б+3С=3Б+1С

, теперь просто замените 2,3,... на x,y,... и снова проделайте то же самое.

STilda писал(а):

далее, компенсация, допустим $f1<g1<h1$, тогда ...

AD писал(а):

например, что такое "<"?

STilda писал(а):

С операцией "<", наверно, такая же ситуация, как и в комплексных числах.

Вопрос во второй цитате относился к знаку "<" в первой цитате. Наверное, я не просёк, что это у вас числа были.

STilda писал(а):

С умножением аналогично, дистрибутивность обычная, комутативность обычная....
Все количества $x,y,z,x',y',z'$ натуральные, бескачественные числа.

Ну то есть неотрицательные числа просто, да? Чем меньше новых слов выдумаем для общепринятых вещей, тем легче жить будет . Так-так-так, с умножением аналогично? Покомпонентное умножение, что-ли? У вас же сразу делители нуля поползут! Это так и было задумано?

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

А, всё, увидел формулы для $p,q,r$. Sorry. Буду смотреть.

Добавлено спустя 5 минут 40 секунд:

Итак, подведем итог.

$$(xA+yB+zC)+(x'A+y'B+z'C)=(x+x')A+(y+y')B+(z+z')C$$

,

$$(xA+yB+zC)\cdot(x'A+y'B+z'C)=(xz'+yy'+zx')A+(xx'+yz'+zy')B+(xy'+yx'+zz')C$$

, так?

[PAV]

Правильно ли я понимаю, что коэффициенты $x,y,z,x',y',z'$ берутся из поля действительных чисел?

[AD]

Я так понимаю, они неотрицательные. Вычитания не предполагаются.

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Ну то есть идея такая, что вместо "плюса и минуса" STilda хочет сделать три знака.

Причем, это уже не знаки а просто независимые буквы.

[PAV]

Понятно.

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

Получается, например, что $A\cdot C = A$, верно?

Добавлено спустя 2 минуты 10 секунд:

А также получается, что сумма двух "чисел" может быть равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю, верно?

[AD]

Ну да, $C$ - это вообще единица;
Видимо, верно

[STilda]

AD писал(а):

Если я все правильно понял, то в вашей модели при А, Б и С стоят просто неотрицательные действительные числа-коеффициенты. Тогда выписываете формулы для вышеупомянутых функций f,g,h,p,q и r, и проверяете, что по ним получаются снова неотрицательные числа. Потом проверяете, что операции заданные этими формулами, обладают нужными свойствами. А если не обладают, значит, не судьба.

Спасибо, я подумаю. А такой вопрос, а как доказать, что если выполняются аксиомы "обычного" поля, то противоречия в такой системе чисел не будет?
И дальше, ведь эти аксиомы можно сказать "строились для "нормальных" чисел, или, "аналогичных" нормальным". Те же делители нуля... им "повезло" просто, что их не исключили на уровне этих аксиом... а могли ведь... Вопрос получается в том, на сколько этот набор "минимально необходимый".

AD писал(а):

У вас же сразу делители нуля поползут! Это так и было задумано?

Задумано исходить из модели взаимоотношений полярностей. А какие свойства появятся в том или ином случае - это даже интересно. Они уже в качестев следствия выступают.

AD писал(а):

Итак, подведем итог.

$$(xA+yB+zC)+(x'A+y'B+z'C)=(x+x')A+(y+y')B+(z+z')C$$

,

$$(xA+yB+zC)\cdot(x'A+y'B+z'C)=(xz'+yy'+zx')A+(xx'+yz'+zy')B+(xy'+yx'+zz')C$$

, так?

Да.

PAV писал(а):

Получается, например, что $AC=A$, верно?

Абсолютно.

AD писал(а):

Ну то есть идея такая, что вместо "плюса и минуса" STilda хочет сделать три знака.

Причем, это уже не знаки а просто независимые буквы.

Только они совсем не независимые. между ними есть четкая система отношений. Так же как между (+) и (-).
Вы кстати не задумывались над тем, что можно поменять роль (+) и (-) в табличке их умножения, ведь это условность. Тоесть сделать (-)*(-)=(-), (-)*(+)=(+), (+)*(+)=(-).
Получится "зеркальная" математика. Тоже без противоречий. А вместе их ("зеркальную" и "обычную") не объединить. Потому что придем к противоречию (-)=(+). А вот в "тройной" моделе существует непротиворечиво и А*А=Б, и Б*Б=А.

PAV писал(а):

А также получается, что сумма двух "чисел" может быть равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю, верно?

Нет. В этой моделе немного работает аналогия со зрением. Два не белых цвета могут при суммировании давать белый.
(ноль и белый отождествляю по свойству "нейтральность" относительно других елементов).
В "числах" будет так: если $x=A1+B3, y=C3+A2$, тогда $x+y=(A1+B3)+(C3+A2)=A3+B3+C3=0$
Так же, как и в обычных числах, сумма двух не нулевых может дать ноль: $x=+2,y=-2, x+y=(+2)+(-2)=0$

[PAV]

Ага. То есть Вы постулируете тождество $A+B+C=0$, верно?

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

STilda писал(а):

А такой вопрос, а как доказать, что если выполняются аксиомы "обычного" поля, то противоречия в такой системе чисел не будет?

Этого доказать нельзя, согласно теореме Геделя. Строго говоря, формально не доказано даже, что обычные операции сложения и умножения над целыми числами непротиворечивы.

[STilda]

Цитата:

Ага. То есть Вы постулируете тождество А+Б+С=0, верно?

Да, я выписывал все соотношения в конце первой страницы, может стоит и еще раз выписать, дальше будет виднее.

Цитата:

Этого доказать нельзя, согласно теореме Геделя. Строго говоря, формально не доказано даже, что обычные операции сложения и умножения над целыми числами непротиворечивы.

Ага, спасибо. (Тоесть если мы катаем кубик или пирамидку по плоскости то куда прикотились туда и прикотились, и никто нам не скажет правильно ли мы здесь оказались или нет. Ну это так, мысли вслух.)

[PAV]

Да, выпишите для удобства, если есть еще и другие.

[STilda]

Цитата:

Да, выпишите для удобства, если есть еще и другие.

А нет такой функциональности тут на форуме, чтоб сделать отдельную страничку или не знаю что, и там например выписывать и дописывать все могли и все туда могли обратиться и посмотреть как справочник?

[AD]

STilda писал(а):

Цитата:

Ага. То есть Вы постулируете тождество А+Б+С=0, верно?

Да, ...

А вот это уже противоречит выписанным формулам. Вот по-этому я и просил выписать формулы. Когда они выписаны, получается единственный объект, им удовлетворяющий, и добавление новых аксиом может лишь привести к противоречию.

STilda писал(а):

А такой вопрос, а как доказать, что если выполняются аксиомы "обычного" поля, то противоречия в такой системе чисел не будет?

Да, PAV правильно ответил вроде бы то есть доказать нельзя, но не сложно свести задачу к непротиворечивости аксиом Пеано итп. Ведь действительные числа удовлетворяют аксиомам поля, значит, если действительные числа непротиворечивы, значит и аксиомы поля непротиворечивы.

[PAV]

AD писал(а):

А вот это уже противоречит выписанным формулам.

Я не понимаю, почему это противоречит. Мы объявляем некоторые объекты равными и все. Где противоречие?

[STilda]

Другие есть и их очень и очень много. Можно делать на любой вкус и с какими свойствами только надо.

Парочку могу выписать тут:

"Система1"
Есть три полярности $A,B,C$.
По умножению законы: $A*A=B,B*B=A,A*B=C,A*C=A,B*C=B,C*C=C$
По сложению законы: $A+B+C=0$ (двойная компенсация приведет к противоречию)
$0$ - единица в сложении.
$C$ - единица в умножении.
Плюс правила: $0*A=0*B=0$.

"Система2"
Есть четыре полярности $A,B,C,D$.
По умножению законы: $A^2=B,A^3=C,A^4=D,A*D=A,B*D=B,C*D=C,D*D=D$
По сложению законы: $A+C=0,B+D=0$
$0$ - единица в сложении.
$D$ - единица в умножении.
Плюс правила: $0*A=0*B=0*C=0*D=0$.
(это обычные комплексные числа)

"Система3"
Есть четыре полярности $A,B,C,D$.
По умножению законы: $A*A=D,B*B=D,C*C=D,A*B=C,B*C=A,A*C=B,$
$A*D=A,B*D=B,C*D=C,D*D=D$
По сложению законы: $A+B+C+D=0$ (кажется не единственный непротиворечивый варинт)
$0$ - единица в сложении.
$D$ - единица в умножении.
Плюс правила: $0*A=0*B=0*C=0*D=0$.
(тоже с 4-мя полярностями но отличается от обычных комплексных чисел)

Да, забыл, выполняется дистрибутивность ассоциативность комутативность и все "самое хорошее".

( Куча примеров систем с одной интенсивностью связи [url]http://mudrec.org/www/mediawiki_math/index.php/Заглавная_страница[/url], с несколькими - в монографиях по математике )

Добавлено спустя 5 минут 30 секунд:

AD писал(а):

А вот это уже противоречит выписанным формулам.

Конкренто в чем противоречие?

[PAV]

Давайте выведем несколько следствий из системы 1.

1. $0=(A+B+C)A=B+C+C=B+2C$

2. $0=(A+B+C)B=A+C+C=A+2C$

Складывая эти выражения и вычитая $A+B+C$ получаем, что $3C=0$.

Следует ли отсюда, что $C=0$?

[STilda]

PAV писал(а):

Давайте выведем несколько следствий из системы 1.

1. $0=(A+B+C)A=B+C+C=B+2C$

2. $0=(A+B+C)B=A+C+C=A+2C$

Складывая эти выражения и вычитая $A+B+C$ получаем, что $3C=0$.

Следует ли отсюда, что $C=0$?

По-моему правильно будет так:
1. $0=(A+B+C)A=A*A+A*B+A*C=B+C+A$

2. $0=(A+B+C)B=A*B+B*B+C*B=C+A+B$

Добавлено спустя 3 минуты 5 секунд:

Но, в любом случае, из $3C=0$ не обязательно следует, что $C=0$, зависит от системы.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Аналогично тому, что из $(-)^2=(+)$ не следует, что $(-)=(+)$