Сколько существует арифметических действий?

[Ktina]

Задача:

Знаком какого арифметического действия нужно заменить звёздочку, чтобы уравнение

$$6^k=n^2+n*2$$

имело решение в целых числах?

Попытка:

Мне в школе туго арифметика давалась, поэтому я знаю только четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Во всех четырёх случаях уравнение не имеет решения в целых числах, поскольку не сходится по модулю 5.
Действительно, в первых трёх случаях правая часть уравнения всегда целая, из чего следует $k\geqslant 0$
Но тогда $6^k$ даёт остаток 1 при делении на 5, а правая часть уравнения даёт остатки какие угодно, но только не 1. Проверяется непосредственно.
В случае же с делением заменяем $n$ на $2m$ (если $n$ нечётно, правая часть делится на половину, но не делится на 1, а такой степени шестёрки нет) и приходим к тому же результату -- решений нет.

Так что же это за таинственное действие?

[Xaositect]

Ktina в сообщении #787746 писал(а):

заменяем $n$ на $2m$ [...] и приходим к тому же результату -- решений нет.

Перепроверьте остатки.

-- Вт ноя 12, 2013 03:12:33 --

Упс, это я ошибся.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #787750 писал(а):

Ktina в сообщении #787746 писал(а):

заменяем $n$ на $2m$ [...] и приходим к тому же результату -- решений нет.

Перепроверьте остатки.

Пусть $n=2m$, тогда $6^k=4m^2+m=m(4m+1)$, что может давать остатки 0, 0, 3, 4, 3 при делении на 5, и только их.

[Xaositect]

Упс, это я ошибся.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #787753 писал(а):

Упс, это я ошибся.

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?

[Ktina]

Кажется, факториал годится. Только двоечку придётся сдвинуть чуток вверх и скобочки добавить.

$$6^0=0^2+(0!)^2$$

Также кажется, что других решений уравнения

$$6^k=n^2+(n!)^2$$

нет.

[Лукомор]

Ktina в сообщении #787746 писал(а):

Знаком какого арифметического действия нужно заменить звёздочку

Интересно, тетрация является ли действием арифметическим?!

[Ktina]

Лукомор в сообщении #787947 писал(а):

Ktina в сообщении #787746 писал(а):

Знаком какого арифметического действия нужно заменить звёздочку

Интересно, тетрация является ли действием арифметическим?!

1) Что это такое?
2) Пусть является, мне не жалко.

[venco]

С точки зрения C/C++ остаток от деления - тоже арифметическая операция:
$6^k = n^2+n\%2$

[VAL]

Ktina в сообщении #787754 писал(а):

Xaositect в сообщении #787753 писал(а):

Упс, это я ошибся.

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?

А что, это не так?


-- 12 ноя 2013, 23:50 --

venco в сообщении #788058 писал(а):

С точки зрения C/C++ остаток от деления - тоже арифметическая операция:
$6^k = n^2+n\%2$

Можно еще операции $\min$ и $max$ использовать. Ну или $\inf$ и $\sup$, если угодно. Вполне себе пристойные решеточные операции.

[venco]

VAL в сообщении #788075 писал(а):

Можно еще операции $\min$ и $max$ использовать. Ну или $\inf$ и $\sup$, если угодно. Вполне себе пристойные решеточные операции.

Ну это уже будет натяжкой. Функции это, а никак не операции.

[Ktina]

VAL в сообщении #788075 писал(а):

Ktina в сообщении #787754 писал(а):

Xaositect в сообщении #787753 писал(а):

Упс, это я ошибся.

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?

А что, это не так?

Так, но не в этой задаче

[VAL]

venco в сообщении #788085 писал(а):

VAL в сообщении #788075 писал(а):

Можно еще операции $\min$ и $max$ использовать. Ну или $\inf$ и $\sup$, если угодно. Вполне себе пристойные решеточные операции.

Ну это уже будет натяжкой. Функции это, а никак не операции.

Очень сомнительное утверждение!
Что есть бинарная операция? По определению это функция двух переменных со значениями в том же множестве, откуда берутся аргументы (операнды).

Я даже конкретно указал раздел математики (теория решеток), где инфинум и супремум в явном виде называются решеточными операциями.

Или вы считаете, что теория решеток хуже C++?

Разумеется, я (как и Вы) понимаю, что в той постановке, в которой приведена задача, трудно ответить на вопрос, что можно считать решением, а что нет.

Просто мне за решетки обидно

-- 13 ноя 2013, 01:28 --

Ktina в сообщении #788086 писал(а):

VAL в сообщении #788075 писал(а):

Ktina в сообщении #787754 писал(а):

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?

А что, это не так?

Так, но не в этой задаче

А чему равно $4+2$ в этой задаче? Не $6$?
Тогда я нашел решение, не прибегая к хитрым операциям.
пусть * означает обычное умножение.
Возьмем $k=1, n=2$. Получим $6^k=2^2+2\cdot2$, поскольку в этой задаче $4+4$ (в отличии от $4+2$) равно $6$.

[Лукомор]

Ktina в сообщении #788054 писал(а):

1) Что это такое?
2) Пусть является, мне не жалко.

1).Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

сложение:

$a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b$

умножение:

$a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b$

возведение в степень:

$a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b$

тетрация:

${^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b$.
2). При
$k=2$
и
$n=2$
$6^2=3^2+{^2{3}}$

[Ktina]

Лукомор
Симпатичное решение, спасибо. Теперь буду знать, что такое тетрация.