2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 01:53 
Аватара пользователя
Задача:

Знаком какого арифметического действия нужно заменить звёздочку, чтобы уравнение $$6^k=n^2+n*2$$
имело решение в целых числах?

Попытка:

Мне в школе туго арифметика давалась, поэтому я знаю только четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Во всех четырёх случаях уравнение не имеет решения в целых числах, поскольку не сходится по модулю 5.
Действительно, в первых трёх случаях правая часть уравнения всегда целая, из чего следует $k\geqslant 0$
Но тогда $6^k$ даёт остаток 1 при делении на 5, а правая часть уравнения даёт остатки какие угодно, но только не 1. Проверяется непосредственно.
В случае же с делением заменяем $n$ на $2m$ (если $n$ нечётно, правая часть делится на половину, но не делится на 1, а такой степени шестёрки нет) и приходим к тому же результату -- решений нет.

Так что же это за таинственное действие?

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 02:03 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #787746 писал(а):
заменяем $n$ на $2m$ [...] и приходим к тому же результату -- решений нет.
Перепроверьте остатки.

-- Вт ноя 12, 2013 03:12:33 --

Упс, это я ошибся.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 02:12 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #787750 писал(а):
Ktina в сообщении #787746 писал(а):
заменяем $n$ на $2m$ [...] и приходим к тому же результату -- решений нет.
Перепроверьте остатки.

Пусть $n=2m$, тогда $6^k=4m^2+m=m(4m+1)$, что может давать остатки 0, 0, 3, 4, 3 при делении на 5, и только их.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 02:13 
Аватара пользователя
Упс, это я ошибся.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 02:16 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #787753 писал(а):
Упс, это я ошибся.

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 11:00 
Аватара пользователя
Кажется, факториал годится. Только двоечку придётся сдвинуть чуток вверх и скобочки добавить.
$$6^0=0^2+(0!)^2$$
Также кажется, что других решений уравнения
$$6^k=n^2+(n!)^2$$
нет.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 18:09 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #787746 писал(а):
Знаком какого арифметического действия нужно заменить звёздочку

Интересно, тетрация является ли действием арифметическим?! 8-)

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 22:22 
Аватара пользователя
Лукомор в сообщении #787947 писал(а):
Ktina в сообщении #787746 писал(а):
Знаком какого арифметического действия нужно заменить звёздочку

Интересно, тетрация является ли действием арифметическим?! 8-)

1) Что это такое?
2) Пусть является, мне не жалко.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 22:36 
С точки зрения C/C++ остаток от деления - тоже арифметическая операция:
$6^k = n^2+n\%2$

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение12.11.2013, 23:42 
Ktina в сообщении #787754 писал(а):
Xaositect в сообщении #787753 писал(а):
Упс, это я ошибся.

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?
А что, это не так?
:shock:

-- 12 ноя 2013, 23:50 --

venco в сообщении #788058 писал(а):
С точки зрения C/C++ остаток от деления - тоже арифметическая операция:
$6^k = n^2+n\%2$
Можно еще операции $\min$ и $max$ использовать. Ну или $\inf$ и $\sup$, если угодно. Вполне себе пристойные решеточные операции.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение13.11.2013, 00:17 
VAL в сообщении #788075 писал(а):
Можно еще операции $\min$ и $max$ использовать. Ну или $\inf$ и $\sup$, если угодно. Вполне себе пристойные решеточные операции.
Ну это уже будет натяжкой. Функции это, а никак не операции.

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение13.11.2013, 00:21 
Аватара пользователя
VAL в сообщении #788075 писал(а):
Ktina в сообщении #787754 писал(а):
Xaositect в сообщении #787753 писал(а):
Упс, это я ошибся.

Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?
А что, это не так?
:shock:

Так, но не в этой задаче :facepalm:

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение13.11.2013, 01:16 
venco в сообщении #788085 писал(а):
VAL в сообщении #788075 писал(а):
Можно еще операции $\min$ и $max$ использовать. Ну или $\inf$ и $\sup$, если угодно. Вполне себе пристойные решеточные операции.
Ну это уже будет натяжкой. Функции это, а никак не операции.
Очень сомнительное утверждение!
Что есть бинарная операция? По определению это функция двух переменных со значениями в том же множестве, откуда берутся аргументы (операнды).

Я даже конкретно указал раздел математики (теория решеток), где инфинум и супремум в явном виде называются решеточными операциями.

Или вы считаете, что теория решеток хуже C++? :-)

Разумеется, я (как и Вы) понимаю, что в той постановке, в которой приведена задача, трудно ответить на вопрос, что можно считать решением, а что нет.

Просто мне за решетки обидно :-)

-- 13 ноя 2013, 01:28 --

Ktina в сообщении #788086 писал(а):
VAL в сообщении #788075 писал(а):
Ktina в сообщении #787754 писал(а):
Я даже догадываюсь, где именно. Вы подумали, что $4+2=6$, правда?
А что, это не так?
:shock:

Так, но не в этой задаче :facepalm:
А чему равно $4+2$ в этой задаче? Не $6$?
Тогда я нашел решение, не прибегая к хитрым операциям.
пусть * означает обычное умножение.
Возьмем $k=1, n=2$. Получим $6^k=2^2+2\cdot2$, поскольку в этой задаче $4+4$ (в отличии от $4+2$) равно $6$.
:D

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение13.11.2013, 13:50 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #788054 писал(а):
1) Что это такое?
2) Пусть является, мне не жалко.

1).Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

сложение:

$a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b$

умножение:

$a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b$

возведение в степень:

$a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b$

тетрация:

${^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b$.
2). При
$k=2$
и
$n=2$
$6^2=3^2+{^2{3}}$

 
 
 
 Re: Сколько существует арифметических действий?
Сообщение13.11.2013, 14:14 
Аватара пользователя
Лукомор
Симпатичное решение, спасибо. Теперь буду знать, что такое тетрация.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group