Геометрическая вероятность

[Утундрий]

А чем моё решение не чисто геометрическое?

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #786535 писал(а):

А чем моё решение не чисто геометрическое?

Тем, что я его не понял. В принципе, оно станет геометрическим, если изложить его внятно. А пока что оно лишь грязно геометрическое.

[Утундрий]

(Оффтоп)

В таком случае "сомневайтесь" дальше.

[Gelhenec]

Теперь мое решение выглядит так. Отбрасываем кусок длины $0<x<\frac{L}{2}$. Затем длины $y$. Но $x+y<L$. Значит пространство всевозможных исходов $0<x<\frac{L}{2}, x+y<L$. В задаче требуется, чтобы выполнялось условие $L-(x+y)>\frac{L}{2}$, т.е. $x+y<\frac{L}{2}$. Значит, $P=\frac{L^2}{8}:\frac{3L^2}{8}=\frac{1}{3}$.

[Nemiroff]

Gelhenec в сообщении #786628 писал(а):

Теперь мое решение выглядит так.

Всё плохо.

Gelhenec в сообщении #786628 писал(а):

Но $x+y<L$

Даже $x+y<3L/4$. И что?

[Gelhenec]

Тогда так. Отбрасываем кусок длины $0<x<\frac{L}{2}$. Затем длины $y$. И $y<L-(x+y)$. Значит пространство всевозможных исходов $0<x<\frac{L}{2}, y<\frac{L-x}{2}$. В задаче требуется, чтобы выполнялось условие $L-(x+y)>\frac{L}{2}$, т.е. $x+y<\frac{L}{2}$. Значит, $P=\frac{L^2}{8}:\frac{L^2}{4}=\frac{1}{2}$. Теперь все хорошо?

[--mS--]

Nemiroff в сообщении #786489 писал(а):

Вы не забыли, что плотность равномерно распределенной на половине - это двойка, а не единица? Как раз четвёрка вылезет как коэффициент.

Да нет, мне не нужны были равномерные на половине, ни к чему. Просто внутренний интеграл когда брала по $y$ , первообразную от $\frac1x$ записала как $\ln y$, вот ответ вчетверо и уменьшился. Спросонья и не то напишешь :)
Разумеется,

$$\mathsf P\left(Y\in\left[\frac12,\, X\right]\cup \left[0,\,X-\frac12\right], \,\, X>\frac12\right)+\mathsf P\left(Y\in \ldots , \,\, X<\frac12\right)=4\mathsf P\left(Y\in \left[0,\,X-\frac12\right], \,\, X>\frac12\right) = $$

$$=4\int\limits_{1/2}^1 dx \int\limits_0^{x-1/2}\dfrac1x dy = 2-2\ln 2. $$

Ответ (что-то мне сразу это не было очевидно, а то бы я свой ответ проверила ответом этой широко известной задачи) дополняет до единицы вероятность, что из трёх полученных таким путём отрезков (делим наугад отрезок, затем случайным образом больший обломок снова делим надвое) можно построить треугольник.

[Nemiroff]

Gelhenec в сообщении #786643 писал(а):

Теперь все хорошо?

За исключением того, что это абсолютно неверно, всё хорошо.

[--mS--]

Gelhenec в сообщении #786643 писал(а):

Значит пространство всевозможных исходов $0<x<\frac{L}{2}, y<\frac{L-x}{2}$.

Да, всё замечательно, однако выбор точек излома в исходной задаче никак не сводится к бросанию наугад точки в Вашу область. Вероятности вычисляются по-разному.

В исходной задаче

$$\mathsf P(X\in (x,x+dx), \, Y\in (y,y+dy)) = \mathsf P(X\in (x,x+dx)) \cdot \mathsf P(Y\in (y,y+dy)|X=x) = \dfrac{dx}{L}\cdot \dfrac{dy}{x}.$$

При бросании точки наудачу в Вашу область та же самая вероятность есть

$$\mathsf P(X\in (x,x+dx), \, Y\in (y,y+dy)) = \dfrac{dx\, dy}{\operatorname{const}}.$$

Что совсем не то же самое. Иначе говоря, у пары координат точек излома совместная плотность в задаче не та же самая, что у точки, выбранной наугад в усечённом квадрате.

Гарднера откройте "Мат. головоломки и развлечения", он тоже на этой задаче прокалывался, но поправился.

[Gelhenec]

Ответ с ln2 неправильный, потому что по идее задачи 48P должно быть целым. Вот так вот

[Nemiroff]

Gelhenec в сообщении #786652 писал(а):

Ответ с ln2 неправильный, потому что по идее задачи 48P должно быть целым. Вот так вот

Ну ладно. Я не понял, кто такие "сорок восемь эр", но мне наплевать. Неправильно так неправильно.

[Gelhenec]

Не "эр", а "пе"

[patzer2097]

а по поводу геометрического решения - можно предложить вот какое.
В задаче требуется найти, по сути, вероятность события $xy>1/2$, где $x$ и $y$ распределены равномерно на интервале $(1/2,1)$. Иными словами, найти, какую часть площади отсекает гипербола $2xy=1$ от квадрата $x,y\in(0.5,1)$, что и дает искомые $2-2\ln 2$.

[provincialka]

Gelhenec в сообщении #786652 писал(а):

Ответ с ln2 неправильный, потому что по идее задачи 48P должно быть целым. Вот так вот

Значит, либо вы не правильно записали задачу, либо те, кто придумал "идею" не правы. Ответ сошелся у многих людей.

[Shadow]

Gelhenec в сообщении #786652 писал(а):

по идее задачи 48P должно быть целым. Вот так вот

Совсем целым что ли?
Сказано было несколько раз, попробую обяснить еще раз просто.
Длина стержня 2. После первой операции длина будет $1+x$ где $x$ может принимать значения в интервале (0;1). При второй операции надо отрезать кусок не больше $x$ - с одной или с другой стороны, вероятность того $\frac{2x}{1+x}$