Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя

[ananova]

Я решил завести отдельную тему, чтобы своими вопросами не "испортить" хорошую тему Феликса.

Феликс Шмидель в сообщении #772255 писал(а):

В теме "ВТФ для n=3" (topic60946.html) я дал доказательство с использованием кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$.
Если $x^3+y^3+z^3=0$, где $x$, $y$ и $z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, то $x^6-4 (yz)^3$ является квадратом целого числа, из чего следует, что $x^2-\sqrt[3]{4}(yz)$ является квадратом в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$, а дальше, как говорится, дело техники.
В этой теме я предлагаю новое доказательство того, что $x^2-\sqrt[3]{4}(yz)$ является квадратом в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$, которое не использует единственность разложения на простые множители в этом кольце.

Пусть

(1) $x^6-4 (y z)^3=a^2$, где $x$, $y$, $z$, $a$ - целые числа, число $x$ взаимно-просто с $y z$, $x$ - нечётное число и число $a$ не делится на 3.

Пусть

(2) $c=x^2-\sqrt[3]{4} y z$, $d=x^4+x^2 y z \sqrt[3]{4}+(y z \sqrt[3]{4} y z)^2$.

Тогда
...

Число $c$ - целое, поэтому можно получить уравнение (1) в следующем виде:

(1)

$$x^6-4 (y z)^3=(x^2-\sqrt[3]{4} y z)((x^2-\sqrt[3]{4} y z)(- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4) = a^2$$

Иначе так:
(1.1)

$$x^6-4 (y z)^3=c (c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4) = a^2$$

Cледует:
(1.2)

$$ c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4 = (a^2)/c$$

Имеем сравнение:
(2)

$$3x^4 \equiv (a^2)/c \equiv d \mod{c}$$

$a^2$ (по условию) не делится на 3 и делится на $c$.

Для простых чисел $p$ больше 2, имеем:
(3)

$$px^{2(p-1)} \equiv (a^2)/c_p \equiv d_p \mod{c_p}$$

Буду рад, если полученное условие каким-то образом поможет в доказательстве ВТФ.

[Феликс Шмидель]

Каким образом Вы получили (3)?

(Оффтоп)

Спасибо, что не стали портить мою тему.
Я советую Вам, во-первых, строго доказывать все выкладки.
Во-вторых, у Вас должно быть представление, каким образом это может помочь в доказательстве ВТФ.

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #786605 писал(а):

Каким образом Вы получили (3)?

Сначала я факторизовал уравнение $x^{2p}-4 (y z)^p=a^2$, затем выполнил сравнение. Это не верное уравнение? Или подробно его факторизовать?

[Феликс Шмидель]

Может (3) и верное сравнение, но я не вижу как оно получается.
Докажите его.

[ananova]

Пару лет назад получил такой вариант факторизации суммы (и разности) слагаемых в степени $p$. Вот представился впервые случай воспользоваться:

Для $p=3$:

$$x^3+y^3=(x+y)((x+y)(y-2 x)+3x^2)$$

Для $p=5$:

$$x^5+y^5=(x+y)((x+y)(y^3-2y^2 x+3yx^2-4x^3)+5x^4)$$

Для $p>5$:

$$x^p+y^p=(x+y)((x+y)(y^{p-2}-2y^{p-3}x+3y^{p-4} x^2-4y^{p-5} x^3+ ...+(p-2)y^{p-3}x-(p-1)x^{p-2})+px^{p-1})$$

$$z^p-y^p=(z-y)((z-y)(z^{p-2}+2z^{p-3}y+3z^{p-4}y^2+4z^{p-5}y^3+...+(p-2)z^{p-3}y+(p-1)y^{p-2})+py^{p-1})$$

[Феликс Шмидель]

Я не понял (3), потому что Вы не написали, что такое $p$.
Мог бы, конечно догадаться.
Теперь, понятно.

А как это сравнение может помочь в доказательстве ВТФ?

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #786624 писал(а):

Я не понял (3), потому что Вы не написали, что такое $p$.
Мог бы, конечно догадаться.
Теперь, понятно.

А как это сравнение может помочь в доказательстве ВТФ?

Как раз таки я не забыл написать что такое $p$.

Не вижу как это может помочь, но, на всякий случай, привел условие, которое получил.

[Феликс Шмидель]

Из (3) вроде следует, что $p$ является квадратом по модулю любого простого делителя числа $a$.

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #786632 писал(а):

Из (3) вроде следует, что $p$ является квадратом по модулю любого простого делителя числа $a$.

Буду рад, если это как-то поможет в Ваших исследованиях.

[Феликс Шмидель]

Хорошо, спасибо.

-- Сб ноя 09, 2013 17:11:32 --

А Вы не хотите помочь мне обобщить моё доказательство для $n=3$ на случай $n=5$?
Мы используем эту тему, как подготовительную, а потом опубликуем совместное доказательство в другой теме.
Результат почти гарантирован.

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #786635 писал(а):

Хорошо, спасибо.

-- Сб ноя 09, 2013 17:11:32 --

А Вы не хотите помочь мне обобщить моё доказательство для $n=3$ на случай $n=5$?
Мы используем эту тему, как подготовительную, а потом опубликуем совместное доказательство в другой теме.
Результат почти гарантирован.

Спасибо за приглашение! Надеюсь, что слово "почти" не помешает пройти этот путь ... Напишите в личку, надеюсь помогу, чем смогу или напишу, что не смогу помочь, если будут сложные теоретические вопросы.

Есть еще какие-то простые совсем вопросы, которые я не могу ответить утвердительно - если $c >d$, то можно ли от сравнения (3) перейти к аналогичному равенству?

[Феликс Шмидель]

ananova в сообщении #786668 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #786635 писал(а):

Есть еще какие-то простые совсем вопросы, которые я не могу ответить утвердительно - если $c >d$, то можно ли от сравнения (3) перейти к аналогичному равенству?

А как $c$ может быть больше чем $d$?

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #786676 писал(а):

ananova в сообщении #786668 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #786635 писал(а):

Есть еще какие-то простые совсем вопросы, которые я не могу ответить утвердительно - если $c >d$, то можно ли от сравнения (3) перейти к аналогичному равенству?

А как $c$ может быть больше чем $d$?

Уже пожалел, что задал этот вопрос, имеющий отрицательный ответ.

[ananova]

ananova в сообщении #786585 писал(а):

Cледует:
(1.2)

$$ c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4 = (a^2)/c$$

Имеем сравнение:
(2)

$$3x^4 \equiv (a^2)/c \equiv d \mod{c}$$

$a^2$ (по условию) не делится на 3 и делится на $c$.

Хотел добавить соответствующие варианты:

(1.2a)

$$ c (x^2 +2 \sqrt[3]{4} yz)+3\sqrt[3]{4^2} y^2z^2= (a^2)/c$$

Имеем сравнение:
(2a)

$$3\sqrt[3]{4^2} y^2z^2 \equiv (a^2)/c \equiv d \mod{c}$$

Что естественно, т.к.:

(4)

$$3\sqrt[3]{4^2} y^2z^2 \equiv 3x^4 \equiv (a^2)/c \mod{c}$$

(5)

$$\sqrt[3]{4} yz \equiv x^2 \equiv (a^2)/c \mod{c}$$

Отсюда, мне кажется, можно вывести формулу для $d$, в каком-то более новом виде.

Можно ли, c учетом приведенных сравнений, от сравнения (5) перейти к равенству (6)?

(6)

$$\sqrt[3]{4} yz = x^2$$

[Феликс Шмидель]

Из (4) не следует (5).

Верно другое:

$$-\sqrt[3]{4} yz \equiv x^2 \equiv (a^2)/c \mod{c}$$

.