2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 13:55 
Я решил завести отдельную тему, чтобы своими вопросами не "испортить" хорошую тему Феликса.

Феликс Шмидель в сообщении #772255 писал(а):
В теме "ВТФ для n=3" (topic60946.html) я дал доказательство с использованием кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$.
Если $x^3+y^3+z^3=0$, где $x$, $y$ и $z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, то $x^6-4 (yz)^3$ является квадратом целого числа, из чего следует, что $x^2-\sqrt[3]{4}(yz)$ является квадратом в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$, а дальше, как говорится, дело техники.
В этой теме я предлагаю новое доказательство того, что $x^2-\sqrt[3]{4}(yz)$ является квадратом в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$, которое не использует единственность разложения на простые множители в этом кольце.

Пусть

(1) $x^6-4 (y z)^3=a^2$, где $x$, $y$, $z$, $a$ - целые числа, число $x$ взаимно-просто с $y z$, $x$ - нечётное число и число $a$ не делится на 3.

Пусть

(2) $c=x^2-\sqrt[3]{4} y z$, $d=x^4+x^2 y z \sqrt[3]{4}+(y z \sqrt[3]{4} y z)^2$.

Тогда
...


Число $c$ - целое, поэтому можно получить уравнение (1) в следующем виде:

(1) $$x^6-4 (y z)^3=(x^2-\sqrt[3]{4} y z)((x^2-\sqrt[3]{4} y z)(- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4) = a^2$$
Иначе так:
(1.1) $$x^6-4 (y z)^3=c (c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4) = a^2$$
Cледует:
(1.2) $$ c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4 = (a^2)/c$$
Имеем сравнение:
(2) $$3x^4 \equiv (a^2)/c  \equiv d \mod{c}$$

$a^2$ (по условию) не делится на 3 и делится на $c$.

Для простых чисел $p$ больше 2, имеем:
(3) $$px^{2(p-1)} \equiv (a^2)/c_p  \equiv d_p \mod{c_p}$$

Буду рад, если полученное условие каким-то образом поможет в доказательстве ВТФ.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 14:53 
Каким образом Вы получили (3)?

(Оффтоп)

Спасибо, что не стали портить мою тему.
Я советую Вам, во-первых, строго доказывать все выкладки.
Во-вторых, у Вас должно быть представление, каким образом это может помочь в доказательстве ВТФ.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:05 
Феликс Шмидель в сообщении #786605 писал(а):
Каким образом Вы получили (3)?


Сначала я факторизовал уравнение $x^{2p}-4 (y z)^p=a^2$, затем выполнил сравнение. Это не верное уравнение? Или подробно его факторизовать?

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:15 
Может (3) и верное сравнение, но я не вижу как оно получается.
Докажите его.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:18 
Пару лет назад получил такой вариант факторизации суммы (и разности) слагаемых в степени $p$. Вот представился впервые случай воспользоваться:

Для $p=3$:
$$x^3+y^3=(x+y)((x+y)(y-2 x)+3x^2)$$
Для $p=5$:
$$x^5+y^5=(x+y)((x+y)(y^3-2y^2 x+3yx^2-4x^3)+5x^4)$$
Для $p>5$:
$$x^p+y^p=(x+y)((x+y)(y^{p-2}-2y^{p-3}x+3y^{p-4} x^2-4y^{p-5} x^3+ ...+(p-2)y^{p-3}x-(p-1)x^{p-2})+px^{p-1})$$
$$z^p-y^p=(z-y)((z-y)(z^{p-2}+2z^{p-3}y+3z^{p-4}y^2+4z^{p-5}y^3+...+(p-2)z^{p-3}y+(p-1)y^{p-2})+py^{p-1})$$

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:25 
Я не понял (3), потому что Вы не написали, что такое $p$.
Мог бы, конечно догадаться.
Теперь, понятно.

А как это сравнение может помочь в доказательстве ВТФ?

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:30 
Феликс Шмидель в сообщении #786624 писал(а):
Я не понял (3), потому что Вы не написали, что такое $p$.
Мог бы, конечно догадаться.
Теперь, понятно.

А как это сравнение может помочь в доказательстве ВТФ?


Как раз таки я не забыл написать что такое $p$.

Не вижу как это может помочь, но, на всякий случай, привел условие, которое получил.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:39 
Из (3) вроде следует, что $p$ является квадратом по модулю любого простого делителя числа $a$.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:42 
Феликс Шмидель в сообщении #786632 писал(а):
Из (3) вроде следует, что $p$ является квадратом по модулю любого простого делителя числа $a$.


Буду рад, если это как-то поможет в Ваших исследованиях.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 16:50 
Хорошо, спасибо.

-- Сб ноя 09, 2013 17:11:32 --

А Вы не хотите помочь мне обобщить моё доказательство для $n=3$ на случай $n=5$?
Мы используем эту тему, как подготовительную, а потом опубликуем совместное доказательство в другой теме.
Результат почти гарантирован.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 18:11 
Феликс Шмидель в сообщении #786635 писал(а):
Хорошо, спасибо.

-- Сб ноя 09, 2013 17:11:32 --

А Вы не хотите помочь мне обобщить моё доказательство для $n=3$ на случай $n=5$?
Мы используем эту тему, как подготовительную, а потом опубликуем совместное доказательство в другой теме.
Результат почти гарантирован.


Спасибо за приглашение! Надеюсь, что слово "почти" не помешает пройти этот путь ... Напишите в личку, надеюсь помогу, чем смогу или напишу, что не смогу помочь, если будут сложные теоретические вопросы.

Есть еще какие-то простые совсем вопросы, которые я не могу ответить утвердительно - если $c >d$, то можно ли от сравнения (3) перейти к аналогичному равенству?

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 18:30 
ananova в сообщении #786668 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #786635 писал(а):
Есть еще какие-то простые совсем вопросы, которые я не могу ответить утвердительно - если $c >d$, то можно ли от сравнения (3) перейти к аналогичному равенству?


А как $c$ может быть больше чем $d$?

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 18:51 
Феликс Шмидель в сообщении #786676 писал(а):
ananova в сообщении #786668 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #786635 писал(а):
Есть еще какие-то простые совсем вопросы, которые я не могу ответить утвердительно - если $c >d$, то можно ли от сравнения (3) перейти к аналогичному равенству?


А как $c$ может быть больше чем $d$?


Уже пожалел, что задал этот вопрос, имеющий отрицательный ответ.

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение09.11.2013, 20:57 
ananova в сообщении #786585 писал(а):
Cледует:
(1.2) $$ c (- \sqrt[3]{4} yz -2x^2)+3x^4 = (a^2)/c$$
Имеем сравнение:
(2) $$3x^4 \equiv (a^2)/c  \equiv d \mod{c}$$

$a^2$ (по условию) не делится на 3 и делится на $c$.


Хотел добавить соответствующие варианты:

(1.2a) $$ c (x^2 +2 \sqrt[3]{4} yz)+3\sqrt[3]{4^2} y^2z^2= (a^2)/c$$
Имеем сравнение:
(2a) $$3\sqrt[3]{4^2} y^2z^2 \equiv (a^2)/c  \equiv d \mod{c}$$

Что естественно, т.к.:

(4) $$3\sqrt[3]{4^2} y^2z^2 \equiv 3x^4  \equiv (a^2)/c \mod{c}$$

(5) $$\sqrt[3]{4} yz \equiv x^2  \equiv (a^2)/c \mod{c}$$

Отсюда, мне кажется, можно вывести формулу для $d$, в каком-то более новом виде.

Можно ли, c учетом приведенных сравнений, от сравнения (5) перейти к равенству (6)?

(6) $$\sqrt[3]{4} yz = x^2$$

 
 
 
 Re: Вопрос по теме доказательства Феликса Шмиделя
Сообщение10.11.2013, 00:44 
Из (4) не следует (5).

Верно другое: $$-\sqrt[3]{4} yz \equiv x^2 \equiv (a^2)/c \mod{c}$$.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group