Геометрическая вероятность

[Otta]

Nemiroff

(Оффтоп)

Заняться, во-первых, есть чем, я на работу, во-вторых, матлаба у мну нету, в-третьих, аргументы, апеллирующие к теории, я понимаю быстрее. Ладно, к завтрему сама разберусь, нынче уж больно некогда.

[provincialka]

Если считать, что плотность распределения на этой трапеции обратно пропорциональна $x$, получаем $2-2\ln2$, что по величине близко к $2/3$.

-- 09.11.2013, 07:18 --

Otta в сообщении #786488 писал(а):

provincialka в сообщении #786487 писал(а):

При втором отрезании можно получить кусок длиной $y,0\le y \le x$.

Причем интересуют нас $y>x/2$.

Я рассуждала по другому. Либо $0\le y\le x-1$ либо $1\le y\le x$.

[Утундрий]

$\sqrt 2 - 1$

[Nemiroff]

Otta, да я себя имел в виду.
Я решил, что сперва у нас равномерное распределение на $[1/2,1]$. Пусть тогда $\xi\in U[1/2,1]$. А во второй раз происходит то же самое, только границы равномерного распределения — случайные величины. То бишь, $\eta\in U[\xi/2,\xi]$. А тут уже произведение.
Не согласны?

-- Сб ноя 09, 2013 07:33:44 --

provincialka в сообщении #786492 писал(а):

Я рассуждала по другому. Либо $0\le y\le x-1$ либо $1\le y\le x$.

А откуда единица?

[Утундрий]

Бросим на $[0;1]$ точку $\xi _1$. На выходе - интервал $[0;a_1]$, где $a_1 = \max \left\{ {\xi _1 ,1 - \xi _1 } \right\}$.
Бросим на $[0;a_1]$ точку $a_1 \xi _2$. На выходе - интервал $[0;a_2]$, где $a_2 = a_1 \max \left\{ {\xi _2 ,1 - \xi _2 } \right\} = \max \left\{ {\xi _1 ,1 - \xi _1 } \right\}\max \left\{ {\xi _2 ,1 - \xi _2 } \right\}$.
Нас интересует вероятность события $a_2 > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$.
Поскольку $\xi _i $ распределены одинаково, имеем $\max \left\{ {\xi ,1 - \xi } \right\} > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt 2 }}$.
Неравенство выполняется на интервале $[\alpha ; 1- \alpha]$, где $1 - \alpha = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt 2 }}$.
Искомая вероятность: $1 - 2\alpha = \sqrt 2 - 1$

[provincialka]

Вот так задачка! Уж не Бертраном ли запахло?

А единица потому, что я взяла $L=2$, иначе в уме решать сложно.

[venco]

$2-2\ln2$

Nemiroff, +1.

[Nemiroff]

Утундрий в сообщении #786499 писал(а):

Поскольку $\xi _i $ распределены одинаково, имеем $\max \left\{ {\xi ,1 - \xi } \right\} > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt 2 }}$.

Это как получилось?

[provincialka]

Утундрий, по-моему вы неправы. Даже если $X$ и $Y$ распределены одинаково, вероятность $P(XY>1/2)$ не сводится к $(P(X>1/\sqrt2))^2$.

[Утундрий]

provincialka в сообщении #786504 писал(а):

по-моему вы неправы

По-моему тоже. Поломал тут пять раз по миллиону раз и получилось вот что:

0.61379
0.613515
0.612724
0.613104
0.614124

[Nemiroff]

venco в сообщении #786502 писал(а):

$2-2\ln2$

Утундрий в сообщении #786506 писал(а):

По-моему тоже.

Ну можно просто пример привести, почему это неверно. Равномерные величины те же.

Утундрий в сообщении #786506 писал(а):

Поломал тут пять раз по миллиону раз и получилось вот что:
0.61379
0.613515
0.612724
0.613104
0.614124

$2-2\ln2\approx0.6137$
Видимо, это всё-таки верно.
Ждём топикстартера?

[Утундрий]

Дубль два

Бросим на $[0;1]$ точку $\xi _1$. На выходе - интервал $[0;a_1]$, где $a_1 = \max \left\{ {\xi _1 ,1 - \xi _1 } \right\}$.
Бросим на $[0;a_1]$ точку $a_1 \xi _2$. На выходе - интервал $[0;a_2]$, где $a_2 = a_1 \max \left\{ {\xi _2 ,1 - \xi _2 } \right\} = \max \left\{ {\xi _1 ,1 - \xi _1 } \right\}\max \left\{ {\xi _2 ,1 - \xi _2 } \right\}$.
Нас интересует вероятность события $a_2 > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$.
Нарисуем в области изменения $\xi _1 \xi _2$ область $\max \left\{ {\xi _1 ,1 - \xi _1 } \right\}\max \left\{ {\xi _2 ,1 - \xi _2 } \right\}>{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$.
Получится четыре одинаковых куска - внешность вписанной в квадрат "звёздочки".
Искомая вероятность есть учетверённая площадь любого из них, что даёт $2-2 \ln2$

[ewert]

Nemiroff в сообщении #786496 писал(а):

То бишь, $\eta\in U[\xi/2,\xi]$. А тут уже произведение.

Это я не очень понял, но вот в лоб, по формуле полной вероятности: $X\in\mathcal U([\frac12;1])$, после чего $P\big(Y>\frac12\big|X=x\big)=\dfrac{2(x-\frac12)}{x}$, откуда полная вероятность есть $\int\limits_{1/2}^1(2-\frac1x)\cdot 2\,dx=2-2\ln 2$.

[Otta]

Nemiroff

Nemiroff в сообщении #786496 писал(а):

Otta, да я себя имел в виду.

Да я поняла. ))
На работе думать некогда, а я все-таки хочу попробовать решить ее чисто геометрически, пусть даже Ваш ответ и верен. Не знаю, возможно ли это в принципе.

[ewert]

Что-то сильно сомневаюсь, что тут можно выписать чисто геометрическое решение (во всяком случае, не притянутое за уши).

Я смутно подозреваю, откуда могли взяться 2/3. Бросаем на единичный отрезок две точки $X,\ Y$. Получаем для второго этапа опыта пространство событий в виде двух трапеций: $\left\{X>\frac12,\;Y<X\right\}\cup\left\{X<\frac12,\;Y>X\right\}$. В силу симметрии достаточно рассматривать только первую (т.е. правую) трапецию, и в рамках её успехом будут два треугольничка: $\left\{\frac12<Y<X\right\}\cup\left\{0<Y<X-\frac12\right\}$, т.е. и впрямь две трети. Но это явный мухлёж: всё-таки условия проведения второго этапа опыта зависят от результатов первого этапа, так что случайную величину $Y$ никак нельзя считать равномерно распределённой на всём квадрате.

(да, а результат не слишком отличается от истинного потому, что в пределах трапеции распределение игреков по порядку величины такое же, что и стандартное равномерное, к тому же область успеха сгущается к правому краю)