Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

PAV писал(а):

Ну, например, поле вычетов по простому модулю. Там арифметические операции ведут себя по-другому. Складывая единицу саму с собой, в какой-то момент получите ноль.

Да, я ожидал чего-то другого, но, спасибо, тоже вариант, нада подумать будет. Возможно не случайно пришлось набор чисел сделать конечным...

AD, Вы в последнем сообщении несколько раз меняли содержание, вкладываемое во фразу "операция сложения". (В частности, смысловая нагрузка "плюса" в "$x+1$ следующее за $x$ число", и в "$x+y=1$ для всех $x,y\in\mathbb{N}$" отличается). Я бы хотел по умолчанию в дальнейшем рассматривать значение, используемое в определении поля.

Пример с тропической математикой, да, интересный. Ну там меня смущает необычность операции сложения в плане не единственности решения уравнения $x\oplus 2=2$.

AD писал(а):

Стандартные плюсик и крестик - это лишь один из гиперконтинуума способов задания операций на $\mathbb{R}$ ...

Мне интересны лишь те, которые никак не используют "обычные" операции.

P.S. Постараюсь к концу недели сформулировать более содержательные свои вопросы по поводу полей чисел, иных полей .. и полей иных .. , а пока что пошел думать... Вообще-то я бы хотел как-то выяснить их возможности и ограниченности. Например, что можно сделать в одном и нельзя будет сделать в другом поле. Может кто-то сам выскажется по этому поводу... А то я пока супер четкости в своих мыслях не вижу )).
Всем спасибо.

[AD]

STilda писал(а):

AD, Вы в последнем сообщении несколько раз меняли содержание, вкладываемое во фразу "операция сложения".

Да-да, конечно, это было умышленно. Ведь мы тут и занимаемся другими определениями операций. Конечно, их будет много разных, а символов и названий на них мало. Определения сложения и умножения, которые я рассказывал (первое, что Вы процитировали) - вполне стандартные, опираются на общепринятую аксиоматику Пеано.

STilda писал(а):

Я бы хотел по умолчанию в дальнейшем рассматривать значение, используемое в определении поля.

Да-да, конечно, мы же ничего не меняем. Только аккуратно - натуральные числа не образуют поле! И действительные числа с тропическими операциями тоже поле не образуют. Можно сказать, что это так называемые "полукольца", то есть полугруппы по сложению с дистрибутивным умножением. Поэтому вычитание, конечно, не всегда выполнимо, а если и выполнимо, то не всегда однозначно.
$\Bigl(\mathbb{R},\oplus,\otimes\Bigr)$ так и называется - "тропическое полукольцо".

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

P.S. В последнем сообщении у меня какие-то глюки были, исправил .
P.P.S. Как вам задачки?

[PAV]

Давайте попробую добавить пару слов.

Теории групп, алгебр, полей и других алгебраических объектов исследуют те свойства одной или двух операций, которые основаны только на нескольких весьма простых их базовых свойствах (коммутативность, ассоциативность, наличие нейтрального элемента, обратимость, дистрибутивность), но не на конкретном способе определения этих операций. Смысл ровно в том и заключается, чтобы выявить в максимальной полноте те общие свойства, которыми обладают любые такие операции, заданные на любом множестве. Просто, если угодно, чтобы не надо было выводить одно и то же для разных конкретных определений этих операций.

При этом, разумеется, в конкретных случаях каждая такая операция может дополнительно обладать своими собственными свойствами, а также применениями на практике.

Например, операции над обычными вещественными числами обладают свойством непрерывности по каждому аргументу. Операция умножения обладает линейностью по каждому аргументу. Поля комплексных чисел и алгебраических чисел алгебраически замкнуты. Да мало ли свойств можно придумать для какого-нибудь поля (группы, кольца, алгебры...), которое не выполняется для некоторых других подобных объектов.

Хотите экзотические примеры полей? Извольте, сколько угодно. Установите какое-нибудь взаимнооднозначное соответствие между двумя экземплярами множества действительных чисел. После чего для того, чтобы выполнить операцию сложения или умножения, переведите аргументы этой операции в другой экземпляр пространства, произведите там требуемую операцию, после чего результат переведите обратно. Получатся операции и близко не похожие на обычные. Впрочем можно сохранить их на целых числах, или, скажем, рациональных, сопоставив им самих себя... Можно пойти дальше и использовать взаимнооднозначное соответствие между вещественными и комплексными числами или между вещественными числами и матрицами...

Но я все равно не очень понимаю цели Вашей деятельности. Изучать что угодно, лишь бы было непохоже на обычное? Вряд ли это будет иметь смысл.

[STilda]

А какой смысл в тропической математике? Это просто некое построение или есть смысловая идеология? Просто я с ней (этой математикой) не знаком. Но могу, например, предположить, возможно кому-то захотелось придумать более "слабую" чем сложение операцию? Тоесть, чтобы выполнялось $a+(b\oplus c)=a+b\oplus a+c$? Если есть ссылки на информацию про нее именно в таком сжатом и смысловом варианте, пожалуйста, подскажите.

PAV писал(а):

Теории групп, алгебр, полей и других алгебраических объектов исследуют те свойства одной или двух операций, которые основаны только на нескольких весьма простых их базовых свойствах (коммутативность, ассоциативность, наличие нейтрального элемента, обратимость, дистрибутивность), но не на конкретном способе определения этих операций. Смысл ровно в том и заключается, чтобы выявить в максимальной полноте те общие свойства, которыми обладают любые такие операции, заданные на любом множестве. Просто, если угодно, чтобы не надо было выводить одно и то же для разных конкретных определений этих операций.

Бесспорно, все именно так и происходит. Но выбрав абсолютно четкий набор базовых свойств, мы автоматически выкинули из рассмотрения системы, им не соответствующие. И логичнее предположить, что такие системы существуют, чем что они не существуют.

PAV писал(а):

При этом, разумеется, в конкретных случаях каждая такая операция может дополнительно обладать своими собственными свойствами, а также применениями на практике.

И эти собственные свойства обязаны вписываться в модель, тоесть не противоречить базовым. Тоесть снова не выходим за границу возможностей базовых свойств.

PAV писал(а):

Хотите экзотические примеры полей? Извольте, сколько угодно. Установите какое-нибудь взаимнооднозначное соответствие между двумя экземплярами множества действительных чисел. После чего для того, чтобы выполнить операцию сложения или умножения, переведите аргументы этой операции в другой экземпляр пространства, произведите там требуемую операцию, после чего результат переведите обратно. Получатся операции и близко не похожие на обычные.

Тут Вы даже сами показали, что для построения "нового" используете все те же "старые" базовые свойства, тоесть не выходите за их рамки... И не можете выйти никакими построениями такого вида, потому что все эти построения подчиняются одним и тем же правилам. А не подчинение начальным аксиомам называется ошибкой. И это не допустимо. А меня как раз и интересует такая операция, такая функция, такой абстрактный объект, который в класической аксиоматике никак построить нельзя, никакими отображениями, биекциями, суперпозициями биекций и изоморфизмов и тому подобных нагромождений.

Приведу пример. Задачи на построение. Доказано, что циркулем и линейкой на плоскости можно сделать не все. И сколько б вы не крутили плоскости, откладывали отрезки, строили отображения и так далее, вы не можете, например, произвести трисекцию заданного угла. Почему? Что вас ограничило? Ограничили свойства инструментов и правила оперирования ими. Хоть делайте милиард шагов и биекций - не выпрыгнете за предопределенную этими свойствами возможность.
Аналогом этих свойств в алгебре есть аксиомы. Например Аксиомы поля чисел. Задав их мы автоматом задали, что нам возможно "построить" и что не возможно. Как бы не выкручивались а аксиомы нарушать не можем. И если нарушим, то получится противоречие.

PAV писал(а):

Но я все равно не очень понимаю цели Вашей деятельности. Изучать что угодно, лишь бы было непохоже на обычное?

Так вот, я хочу построить поле чисел на другой аксиоматике, и чтоб эта другая была не совместима с "обычной". Но тем не менее она может оставаться не противоречивой в себе, и на ней можна построить такой же мат аппарат, и результаты в нем будут отличные от обычной математики и противоречить им, но не противоречить в рамках своей аксиоматики.
(Возможно мои цели будут более ясны после прочтения топика из другого форума http://forum.sources.ru/index.php?showtopic=202149)

P.S.

AD писал(а):

P.P.S. Как вам задачки?

Да ленивый стал такой, плюс есть над чем думать пока-что... Если б сразу ответ где-нибуть заполучить, было б неплохо. Особенно про изоморфизм.

[shwedka]

STilda писал(а):

Так вот, я хочу построить поле чисел на другой аксиоматике, и чтоб эта другая была не совместима с "обычной".

Так стройте, если хотите.

Понимаете, существующие системы аксиом привычны, удобны, и, что важно, они не приводят к неприятностям при создании, анализе и применении математических моделей того, что происходит в природе. Модели часто оказываются плохими, но не из-за плохих аксиом числовых полей, а из-за неадекватного моделирования природы.
Так что, думаю я, не найдете Вы интерессантов-математиков, которые станут для Вас развивать неортодоксальные системы. [/quote]

[AD]

STilda писал(а):

А какой смысл в тропической математике? Это просто некое построение или есть смысловая идеология?

Я лично об ее пользе не слышал, и вообще на русском мало про нее написано. Но результаты, говорят, получаются красивые, и, может быть, ее удастся применить к исследованию проблем "классической" математики. Подробностей не знаю.

STilda писал(а):

логичнее предположить, что такие системы существуют, чем что они не существуют.

Вот, знаете, есть такие классические книжки - А.Г.Курош, "Лекции по общей алгебре" и "Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года", издаваемые сейчас единым томом. Там целый зоопарк разных необычных алгебраических структур, которые алгебраисты на определенном этапе сочли интересными. Поражает воображение.

STilda писал(а):

Тут Вы даже сами показали, что для построения "нового" используете все те же "старые" базовые свойства, тоесть не выходите за их рамки...

По-моему, где-то тут обсуждался вопрос - можно ли придумать такое, чего нет в мире. А если серьезно, то построение новых "систем чисел" "с нуля", то есть не используя готовые обычные поля - это все равно что программирование на ассемблере вместо, ну не знаю, явы. Оно требует достаточно глубокого знания логики и теории множеств. Ведь не достаточно задать свои собственные аксиомы, отличающиеся от обычных - желательно еще и построить хоть один объект, этим аксиомам удовлетворяющий! А правила построения новых объектов в наше время очень строго регламентированы, чтобы противоречий не было, типа парадокса Рассела.
(так, кажется, об этом уже shwedka написала тоже, пока я тут свои романы пишу)

STilda писал(а):

Но тем не менее она может оставаться не противоречивой в себе, и на ней можна построить такой же мат аппарат, и результаты в нем будут отличные от обычной математики и противоречить им, но не противоречить в рамках своей аксиоматики.

Неа, не будет никто никому противоречить, так же как Лобачевский не противоречит Эвклиду, и как действительные числа не противоречат комплексным. В математике легко уживаются разные модели.

STilda писал(а):

Так вот, я хочу построить поле чисел на другой аксиоматике, и чтоб эта другая была не совместима с "обычной".

Еще раз - поосторожней с термином "поле"! Если вы вместо аксиом поля берете другие аксиомы, то объект, который у вас получится, уже полем называть нехорошо. Поле - оно на то и поле, что оно аксиомам поля удовлетворяет. Это не просто слово, это девять аксиом .

Ладно, про задачки сейчас уже поздно писать. Скажу ответ: в обоих случаях он положительный, искомых отображений очень много, но построить ни одно из них "руками" не удается. И вообразить невозможно. Это примеры на тему необозримости возможностей введения операций. В первой задачке можно, скажем, доказать, что график функции $f$ необходимо будет всюду плотным множеством на плоскости.
Так что "ответ сразу" не получится - надо сначала крепко посидеть над теорией множеств. Как будет время, вкратце это расскажу.

[PAV]

STilda

Я примерно понял, чего Вы хотите. Флаг Вам в руки. Лично я, правда, сильно сомневаюсь в каком-либо успехе этой деятельности... но именно поэтому, однако, ею занимаетесь Вы, я не я

Могу сделать только несколько замечаний общего характера. Во-первых, Вы не совсем правы, считая, что все построения подчинаются совсем уж одним и тем же правилам. Скажем, изучаются коммутативные группы, но также рассматриваются и некоммутативные. То есть рассматривается вовсе не один набор аксиом, а разные наборы.

Вообще же, на мой взгляд, есть два типичных способа приходить к новым объектам для изучения. Либо берутся "естественные" свойства, которые, скажем так, грех не изучить. Либо берутся экзотические свойства, но либо в явном виде пришедшие из каких-то практических задач, каких-то теорий или наблюдений, ну или "навеянные" какими-то абстрактными математическими объектами... короче, свойства привнесенные чем-то уже существующим, к чему их можно привязать.

Вы же пытаетесь с одной стороны придумать какие-то неестественные и экзотические свойства, чтобы на их основе построить теорию, а с другой стороны - заранее не очень знаете приложений, для которых эта теория была бы полезна. Строить что-то совсем на ровном месте довольно сложно. И Вы сильно рискуете, что оно на самом деле ни для чего не пригодится. Вообще, на мой взгляд, подбирать приложение под некоторый экзотический инструментарий не очень правильно. Мне это напоминает вот эту забавную тему, про "яйцевидную кривую", под которую автор просил найти приложение, причем вслепую.

Я бы рекомендовал Вам внимательно изучить фундаментальные материалы по общей алгебре (например, то, что рекомендовал AD). Во-первых, чтобы посмотреть, не было ли уже придумано что-то близкое к тому, что пытаетесь сделать Вы. А во-вторых (и это более важно), чтобы посмотреть, как в принципе строятся и описываются подобные виды математических объектов, на каком уровне строгости выводятся их свойства и т.д. Ну и имейте в виду другие замечания AD'а о том, что для того, чтобы сделать это все на хорошем уровне, нужно иметь весьма глубокие знания многих фундаментальных основ.

[STilda]

shwedka писал(а):

Модели часто оказываются плохими, но не из-за плохих аксиом числовых полей, а из-за неадекватного моделирования природы.

Я считаю эта неадекватность и проявляется в несопоставимости аксиом абстрактного аппарата с законами природы. (Не только я так считаю, есть другие авторы, которые рассматривают эту проблему. В физике много проблем с описанием действительности. Заметьте, там, в квантовой физике, почему-то выдумывают умопомрачительные математические аппараты, частицы представляют в виде операторов и всякие такие "ухищрения"... и все для того, чтобы описать абстрактно свойства действительности. но в некоторых местах так доконца все и не получается... кварки теже, компенсируются только втроем вместе, вдвоем - никак. чем не несогласованность с "обычным" мат аппаратом?)

AD писал(а):

Неа, не будет никто никому противоречить, так же как Лобачевский не противоречит Эвклиду, и как действительные числа не противоречат комплексным. В математике легко уживаются разные модели.

Да, впринципе все правильно, ... если системы никак не "соприкасаются" одна с другой... а если "соприкасаются" то ... мне тут нужно подумать ))), извините. Наверно в приложении к реальности они могут все таки давать противоречивые результаты.
Комплексные числа это "надстройка" над действительными, потому и не противоречат.

AD писал(а):

Еще раз - поосторожней с термином "поле"! Если вы вместо аксиом поля берете другие аксиомы, то объект, который у вас получится, уже полем называть нехорошо. Поле - оно на то и поле, что оно аксиомам поля удовлетворяет. Это не просто слово, это девять аксиом .

Да, извините. С Вашего разрешения я буду использовать термин "многополярное поле" (введенный Ленским В.В в своих работах), а обычное буду называть "двухполярным полем". Многополярное поле - это множество чисел с двумя операциями на них. Свойства операций отличаются от обычных, и числа тоже. Пока без конкретики. Кому интересно - теория многополярности, математическая ее часть. (я не агитатор никакой, не подумайте)

to PAV:
впринципе полностью с вами согласен. только я не создатель этого всего, его уже создали, я только пытаюсь разобраться.

AD писал(а):

Ладно, про задачки сейчас уже поздно писать. Скажу ответ: в обоих случаях он положительный, искомых отображений очень много, но построить ни одно из них "руками" не удается. И вообразить невозможно. Это примеры на тему необозримости возможностей введения операций. В первой задачке можно, скажем, доказать, что график функции необходимо будет всюду плотным множеством на плоскости.
Так что "ответ сразу" не получится - надо сначала крепко посидеть над теорией множеств. Как будет время, вкратце это расскажу.

Так я и знал что это будет какоето "извращение", извините за выражение. Спасибо, но думаю не стоит мне приводить это построение. Мне достаточно только ответов, за них тоже спасибо. ).

[AD]

STilda писал(а):

Так я и знал что это будет какоето "извращение", извините за выражение.

Да, выражение точное.

Эти утверждения стоят в одном ряду с существованием неизмеримых по Лебегу множеств и парадоксом Банаха-Тарского. Всё это строится на основе так называемой аксиомы выбора (статья по этой ссылке - так себе, но разобраться можно). В вышеупомянутом Куроше про это тоже написана глава.

С помощью аксиомы выбора можно доказывать всякие глобальные утверждения, типа
* Любое множество можно вполне упорядочить
* В любом векторном пространстве существует базис
и т.д.

Первое утверждение обосновывает возможность "трансфинитной индукции", то есть математическую индукцию по (вообще говоря) несчетным вполне упорядоченным множествам. Второе, фактически, позволяет полностью классифицировать все векторные пространства, и оно же используется в решении задачек.

Скажем, вторая задачка решается так. Рассмотрим $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ как векторные пространства над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел. В каждом из них есть базис, то есть такой набор векторов, что каждый вектор пространства есть линейная комбинация конечного числа векторов из базиса, и при этом вектора базиса друг через друга так не выражаются. В обоих случаях базис получается несчетный, и два получаемых базиса будут иметь одинаковую мощность. Тогда, устанавливая взаимно однозначное соответствие между базисами, получим, что $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ изоморфны как векторные пространства над $\mathbb{Q}$, и тем более как группы.

Все, конечно, хорошо, но базис у $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ представить себе уже не удается.

Первая задачка: берем снова базис $\{e_1,\ldots\}$ в пространстве $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$, и пусть $F(x)$ - это коеффициент при разложении вектора $x$ при первом базисном векторе $e_1$. Функция $F$ - искомая. Аддитивность очевидна, а нелинейность следует хотя бы из того, что $F$ принимает только рациональные значения.

Ладно, Вы вроде этого не заказывали, это я так.
Вообще, трансфинитная индукция - штука полезная, когда надо что-то новое построить.
Еще несколько ответов.

STilda писал(а):

Многополярное поле - это множество чисел с двумя операциями на них.

А почему именно две? (кстати, а почему их вообще конечное число?) А они предполагаются бинарными?
Все равно в таком виде эта теория полностью покрывается теорией универсальных алгебр из того же Куроша. На то она и общая алгебра. Как ни странно, теория достаточно богатая получается.
Только вот при чем тут много/мало-полярность? Чего тут много, а там мало? Хотя ладно, я еще глубоко не разбирался.

STilda писал(а):

Заметьте, там, в квантовой физике, почему-то выдумывают умопомрачительные математические аппараты, частицы представляют в виде операторов и всякие такие "ухищрения"...
... кварки теже, компенсируются только втроем вместе, вдвоем - никак. чем не несогласованность с "обычным" мат аппаратом?

А Вы там глубоко в этой теме, да? Разбираетесь в квантовой механике? Я вот не очень секу, и мне наоборот приятно, что красивая математика там используется А что криво все - это у них всегда так, у этих физиков. Мысль ваша интересная, понятная, внешнюю тему почитал немного. Много ясности мышления (физического) нужно, чтобы аксиомы выбрать правильные.

[STilda]

AD писал(а):

А почему именно две?

Две - привязка к названию "поле". Для других многополярных моделей - не обязательно две, но и не произвольное количество.

AD писал(а):

кстати, а почему их вообще конечное число?

Если хочется, берите столько, сколько можно ввести без противоречия.
Про бесконечность вообще другой и разговор.
1. Если модель с конечным числом качеств, то бесконечное количество различных и не противоречивых ввести нельзя.
2. Модели с бесконечным числом качеств (...эээ... лучше, конечно, посмотрите в первоисточнике) можно конкретизовать только через конечное число правил задания этой бесконечности. Потому это уже будет не качества а количества, а их качества и задаются этим конечным набором правил (это и будет наша модель). Иначе говоря, бесконечный набор правил взаимодействия качеств, который не задан конечным набором правил не способен конкретизироваться, а значит не может быть рассмотрен. (лучше это не читайте).

AD писал(а):

А они предполагаются бинарными?

Нет. Они довольно интересные бывают.

AD писал(а):

Все равно в таком виде эта теория полностью покрывается теорией универсальных алгебр из того же Куроша

Не знаком с ней, но нагло думаю, что многополярность покрывает ее. ( Доверюсь ее автору потому что он для меня авторитет. )

AD писал(а):

Только вот при чем тут много/мало-полярность? Чего тут много, а там мало?

Много качественных единиц (полярностей) в моделе.
Многополярные модели строятся на правилах взаимоотношений этих полярностей. Это ядро. А потом в этом ядре уже взаимодействуют объекты (не обязательно числа), поляризованные в некоторые состояния-качества.
В определении группы постулируется существование нейтрального, и обратного для любого заданного элемента. По сути идет речь про качества - нейтральности и пары противоположных качеств.

AD писал(а):

А Вы там глубоко в этой теме, да? Разбираетесь в квантовой механике?

На проблемном уровне знаком.

AD писал(а):

Много ясности мышления (физического) нужно, чтобы аксиомы выбрать правильные.

Бесспорно. Вплоть до изменения законов логики мышления. А пока что попытки "узнать" нужную систему через наблюдение и сопоставление свойств.

AD писал(а):

внешнюю тему почитал немного

это какую именно?

P.S. Посмотрите ссылочку [url]http://mudrec.org/www/mediawiki_math/index.php/Многополярное_поле[/url] , там немного. И пример в конце интересный.

[AD]

Ссылочку посмотрел, полазил там по вики. Чё-то до математической теории не дотягивает. Правильно ли я понимаю, что вот это - начало математической части теории?

[STilda]

AD писал(а):

Правильно ли я понимаю, что вот это - начало математической части теории?

Это начало построения формального аппарата многополярности. (конечно, в меру моего понимания, а точно - спрашивайте у автора).

[AD]

Какой-то он не очень формальный, этот аппарат. Не хватает знакомых слов, типа "язык предикатов первого порядка", ...

Надо буковками писать. Вот как здесь: после каждой аксиомы - ее запись буковками, в рамках формальной логики. Вот это - формально. А там в каждой аксиоме куча новых неопределенных понятий вылезает.

[STilda]

После нескольких прочтений от начала до конца, начинает проявляться систематичность. Как и при любом изучении нового.
На сайте много нету. Есть монографии по математике, там пообширнее расписано. я давал на них ссылки.

[STilda]

===============================================================
( ответ к посту в "Сопряженные числа" )

$p=xz'+yy'+zx',q=xx'+yz'+zy',r=xy'+yx'+zz'$

AD писал(а):

Вы можете сколько угодно говорить, что "это как обычно, это как обычно, а вот это - вот так, а вот тут надо понимать вот так, а не вот так, как это делают обычно ...", но это не определение, поэтому каждое следующее сообщение рождает новые вопросы (например, что такое "<"?). И в конце концов все равно получается "окружность, вписанная в квадрат два на три".

Было б все построенно и сделано, была бы книжечка страниц на 100, и я бы на форуме не писал, было б незачем. Конечно есть вопросы, и у меня хватает их, поэтому здесь их и обсуждаем. (Это не претензия, а коментарий к ситуации, если позволите.) Давайте все Ваши вопросы сюда, а я Вам даю свои... так и живем. .
С операцией "<", наверно, такая же ситуация, как и в комплексных числах.

AD писал(а):

Ну вы проходили комплексные числа где-нибудь? Как они вводились? Если построение комплексных чисел ограничилось фразой "добавим к числовой прямой новый элемент , обладающий свойством i*i=-1", то это очень плохо.
...
(дальше тут идет построение)
...
а дальше следует теорема: Если операция умножения задана на базисных векторах векторного пространства, то ее можно, и причем единственным образом, продолжить на все пространство так, чтобы получилась алгебра.

Согласитесь, что строя так комплексные числа, и доказывая теорему, мы использовали аксиомы. Например аксиомы поля действительных чисел. Я не хочу использовать эти аксиомы. Хочу другие ввести вместо них.
Я так же с Вами соглашусь, что не доказал, что правила моей модели не противоречивы. Но как это доказать? на каких принципах? Вы можете рассказать принцип доказательства того, что следующий набор правил не противоречив:

(+)*(+)=(+),
(+)*(-)=(-)*(+)=(-),
(-)*(-)=(+),

(-)+(+)=(0),
(-)+(0)=(-),
(+)+(0)=(+),

(0)*(-)=(0)*(+)=(0)*(0)=(0),

правила дистрибутивности, коммутативности, ассоциативности по сложению и умножению

?

Это доказывается? Если да, то опять вопрос, на основе каких аксиом?

(Мне почему то кажется, что если так раскручивать цепочку, то придем к тем утверждениям, про которые Вы говорили: "Правильно ли я понимаю, что вот это - начало математической части теории?")