Иррациональнозначная функция

[Ktina]

Существует ли строго возрастающая функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, все значения которой иррациональны?

[worm2]

Достаточно известен факт, что строго возрастающая функция почти всюду дифференцируема, но можно ли решить проще, чем доказывать этот факт?..

[Ktina]

worm2 в сообщении #782627 писал(а):

Достаточно известен факт, что строго возрастающая функция почти всюду дифференцируема, но можно ли решить проще, чем доказывать этот факт?..

Этот факт не изучается в школе, а олимпиада-то школьная.

[hippie]

Ответ: существует.

Пусть дробная часть числа $x$ имеет вид $0.x_1x_2x_3x_4x_5x_6\dots$ (если число десятично-рациональное, то рассматриваем запись с бесконечным числом нулей). Тогда целая часть $f(x)$ равна целой части $x,$ а дробная часть $f(x)$ равна $0.x_19x_299x_3999x_49999x_599999x_6999999\dots\ .$

[Ktina]

hippie
Просто гениально.

[Nemiroff]

Ktina в сообщении #782613 писал(а):

Существует ли строго возрастающая функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, все значения которой иррациональны?

А существует ли такая, чтобы ещё и множество её значений было множеством всех иррациональных чисел?

[worm2]

Nemiroff писал(а):

А существует ли такая, чтобы ещё и множество её значений было множеством всех иррациональных чисел?

Это проще. Пусть таковая $f$ существует. Рассмотрим точку $x$, слева от которой $f$ отрицательна, справа положительна. У множеств $\{f(y)|y<x\}$ и $\{f(y)|y>x\}$ существуют точная верхняя и точная нижняя грани соответственно. Если они совпадают (и равны нулю, естественно), то по условию строгого возрастания $f(x)=0$. Если не совпадают, то в каком-то интервале функция не принимает значений, в т.ч. иррациональных. По сути попутно мы доказали ещё один известный факт, что (даже нестрого) возрастающая функция в любой точке либо непрерывна, либо имеет конечный скачок слева, справа или с обеих сторон.

P.S. Я оказался неправ насчёт того, что дифференцируемость почти всюду поможет в решении этой задачи. Вот уж не думал, что такое случится, но пример hippie кое-что новое для меня открыл.

[Cash]

hippie в сообщении #782923 писал(а):

Ответ: существует.

Пусть дробная часть числа $x$ имеет вид $0.x_1x_2x_3x_4x_5x_6\dots$ (если число десятично-рациональное, то рассматриваем запись с бесконечным числом нулей). Тогда целая часть $f(x)$ равна целой части $x,$ а дробная часть $f(x)$ равна $0.x_19x_299x_3999x_49999x_599999x_6999999\dots\ .$

если число десятично-рациональное, то полученное число тоже будет рациональным. Девятки надо чередовать $0.x_10x_211x_3222x_43333x_544444x_6555555\dots$ или
$0.x_1a_1x_2a_2x_3a_3x_4a_4x_5a_5x_6a_6\dots$, где $a_i$ - $i$-я цифра после запятой любого иррационального числа, например $\pi$.

(Оффтоп)

Мелочь, конечно, но не хотелось великолепную идею с изъяном оставлять.

[provincialka]

Нет, почему, все нормально. Там же стоит куча нулей и "разбавляют" девятки. Как-то так: $3,2\to3,29099099909999...$

[Sender]

Да, не нулями же разбавляют. Кстати, существует ли бесконечно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию?

[Cash]

Сорри, перемкнуло меня...

[g______d]

Sender в сообщении #783080 писал(а):

Да, не нулями же разбавляют. Кстати, существует ли бесконечно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию?

По теореме о промежуточном значении даже непрерывной не существует.

[ИСН]

Функция hippie оставила в моём мозгу тревожный туман недопонимания. Непрерывна везде она быть не может, разрывна везде - тоже не может; где она разрывна?

[Sender]

Как минимум, она разрывна в десятично-рациональных точках. Можно рассмотреть хвосты вида $10\dots0$ и $09\dots9$.

[Neos]

$$y=\pi x$$

аргумент любой, функция всегда иррациональная, хотя, при $x=n/ \pi $ будет целой. Ну, по крайней мере, на участке прямой. Но, если и $n $ рациональное ? Интересно получается.