2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Иррациональнозначная функция
Сообщение31.10.2013, 12:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существует ли строго возрастающая функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, все значения которой иррациональны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение31.10.2013, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
Достаточно известен факт, что строго возрастающая функция почти всюду дифференцируема, но можно ли решить проще, чем доказывать этот факт?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение31.10.2013, 13:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
worm2 в сообщении #782627 писал(а):
Достаточно известен факт, что строго возрастающая функция почти всюду дифференцируема, но можно ли решить проще, чем доказывать этот факт?..

Этот факт не изучается в школе, а олимпиада-то школьная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение31.10.2013, 20:20 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: существует.

Пусть дробная часть числа $x$ имеет вид $0.x_1x_2x_3x_4x_5x_6\dots$ (если число десятично-рациональное, то рассматриваем запись с бесконечным числом нулей). Тогда целая часть $f(x)$ равна целой части $x,$ а дробная часть $f(x)$ равна $0.x_19x_299x_3999x_49999x_599999x_6999999\dots\ .$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение31.10.2013, 22:26 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
hippie
Просто гениально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 03:39 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Ktina в сообщении #782613 писал(а):
Существует ли строго возрастающая функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, все значения которой иррациональны?

А существует ли такая, чтобы ещё и множество её значений было множеством всех иррациональных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 06:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
Nemiroff писал(а):
А существует ли такая, чтобы ещё и множество её значений было множеством всех иррациональных чисел?
Это проще. Пусть таковая $f$ существует. Рассмотрим точку $x$, слева от которой $f$ отрицательна, справа положительна. У множеств $\{f(y)|y<x\}$ и $\{f(y)|y>x\}$ существуют точная верхняя и точная нижняя грани соответственно. Если они совпадают (и равны нулю, естественно), то по условию строгого возрастания $f(x)=0$. Если не совпадают, то в каком-то интервале функция не принимает значений, в т.ч. иррациональных. По сути попутно мы доказали ещё один известный факт, что (даже нестрого) возрастающая функция в любой точке либо непрерывна, либо имеет конечный скачок слева, справа или с обеих сторон.

P.S. Я оказался неправ насчёт того, что дифференцируемость почти всюду поможет в решении этой задачи. Вот уж не думал, что такое случится, но пример hippie кое-что новое для меня открыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 07:59 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
hippie в сообщении #782923 писал(а):
Ответ: существует.

Пусть дробная часть числа $x$ имеет вид $0.x_1x_2x_3x_4x_5x_6\dots$ (если число десятично-рациональное, то рассматриваем запись с бесконечным числом нулей). Тогда целая часть $f(x)$ равна целой части $x,$ а дробная часть $f(x)$ равна $0.x_19x_299x_3999x_49999x_599999x_6999999\dots\ .$

если число десятично-рациональное, то полученное число тоже будет рациональным. Девятки надо чередовать $0.x_10x_211x_3222x_43333x_544444x_6555555\dots$ или
$0.x_1a_1x_2a_2x_3a_3x_4a_4x_5a_5x_6a_6\dots$, где $a_i$ - $i$-я цифра после запятой любого иррационального числа, например $\pi$.

(Оффтоп)

Мелочь, конечно, но не хотелось великолепную идею с изъяном оставлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Нет, почему, все нормально. Там же стоит куча нулей и "разбавляют" девятки. Как-то так: $3,2\to3,29099099909999...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 08:17 


14/01/11
3040
Да, не нулями же разбавляют. Кстати, существует ли бесконечно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 08:23 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Сорри, перемкнуло меня...

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 08:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Sender в сообщении #783080 писал(а):
Да, не нулями же разбавляют. Кстати, существует ли бесконечно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию?


По теореме о промежуточном значении даже непрерывной не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Функция hippie оставила в моём мозгу тревожный туман недопонимания. Непрерывна везде она быть не может, разрывна везде - тоже не может; где она разрывна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 09:50 


14/01/11
3040
Как минимум, она разрывна в десятично-рациональных точках. Можно рассмотреть хвосты вида $10\dots0$ и $09\dots9$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональнозначная функция
Сообщение01.11.2013, 09:55 
Аватара пользователя


08/01/13
247
$$y=\pi x$$ аргумент любой, функция всегда иррациональная, хотя, при $x=n/ \pi $ будет целой. Ну, по крайней мере, на участке прямой. Но, если и $n $ рациональное ? Интересно получается. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group