Nemiroff писал(а):
А существует ли такая, чтобы ещё и множество её значений было множеством всех иррациональных чисел?
Это проще. Пусть таковая

существует. Рассмотрим точку

, слева от которой

отрицательна, справа положительна. У множеств

и

существуют точная верхняя и точная нижняя грани соответственно. Если они совпадают (и равны нулю, естественно), то по условию строгого возрастания

. Если не совпадают, то в каком-то интервале функция не принимает значений, в т.ч. иррациональных. По сути попутно мы доказали ещё один известный факт, что (даже нестрого) возрастающая функция в любой точке либо непрерывна, либо имеет конечный скачок слева, справа или с обеих сторон.
P.S. Я оказался неправ насчёт того, что дифференцируемость почти всюду поможет в решении этой задачи. Вот уж не думал, что такое случится, но пример
hippie кое-что новое для меня открыл.