2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 17:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
hjury в сообщении #782792 писал(а):
Я использовал стандартную формулу для нахождения коэффициентов ряда, это ведь верно?

То есть, чтобы узнать, что сотая производная в нуле нулевая, Вы предлагаете дифференцировать эту гадость сто раз?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 17:15 


21/10/13
86
Цитата:
То есть, чтобы узнать, что сотая производная в нуле нулевая, Вы предлагаете дифференцировать эту гадость сто раз?


Функция же нечетная, значит коэффициенты при четных степенях нуль. Однако я все же в замешательстве, как раскладывать не беря производных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 17:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
hjury в сообщении #782798 писал(а):
Однако я все же в замешательстве, как раскладывать не беря производных.

Хорошие люди делают наоборот.
Стандартная задача: найти $\left.(\sin z/z)^{(100)}\right|_{z=0}$. А?
Немного оффтоп, но полезный. ))

По Вашей задаче - минимум два способа есть. Но оба дурные. Например, к общему знаменателю приводить не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 17:39 


21/10/13
86
Otta в сообщении #782861 писал(а):
hjury в сообщении #782798 писал(а):
Однако я все же в замешательстве, как раскладывать не беря производных.

Хорошие люди делают наоборот.
Стандартная задача: найти $\left.(\sin z/z)^{(100)}\right|_{z=0}$. А?
Немного оффтоп, но полезный. ))

По Вашей задаче - минимум два способа есть. Но оба дурные. Например, к общему знаменателю приводить не пробовали?

Нуль же, нет?

$\frac{1}{\sin{z}} - \frac{1}{z}=\frac{z-\sin{z}}{z\sin{z}}=\frac{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}}  {\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}z^{2k+2}} {(2k+1)!}}}$
А дальше делить ряд на ряд, или что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Ну, делить на ряд можно было с самого начала, без этих мучений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 18:38 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
hjury, ну смотря как Вы собираетесь это делать. Ручками $1/\sin z$ очень паршиво раскладывается, я об этом давно написала, а Вы могли уже убедиться. С Вашей функцией $1/\sin z-1/z$ работать лучше только тем, что она голоморфная в нуле. Как можно? ну примерно как на первом курсе Вас учили тангенс раскладывать. Если кропотливо делать, числа Бернулли там полезут. В косекансе они лезут тоже.

Я сразу предлагала другую идею, и тот факт, что полюса функции простые, как раз очень бы пригодился - разложить функцию на сумму элементарных и работать уже с ними. Единственно, понадобится обосновывать кое-что.

-- 31.10.2013, 20:38 --

hjury в сообщении #782870 писал(а):
Нуль же, нет?

Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 19:12 


21/10/13
86
Цитата:
Я сразу предлагала другую идею, и тот факт, что полюса функции простые, как раз очень бы пригодился - разложить функцию на сумму элементарных и работать уже с ними. Единственно, понадобится обосновывать кое-что.


Воспользоваться тем фактом, что любую мероморфную функцию можно представить в виде целой функции и ряда, члены которого есть рационалные функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 19:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀

(Оффтоп)

Трудно давать советы, когда не знаешь, на какую базу рассчитывать.

Теорема о разложении мероморфной функции на сумму элементарных дробей. Есть такая, для случая, когда все полюса простые.
Но, может, можно и проще, это первое и пока единственное, что пришло мне в голову (если не считать варварских методов вскрытия).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 19:23 


21/10/13
86
Цитата:
Нет.


Подумал, ответ $\frac{1}{101}$??

Цитата:
Теорема о разложении мероморфной функции на сумму элементарных дробей. Есть такая, для случая, когда все полюса простые.
Но, может, можно и проще, это первое и пока единственное, что пришло мне в голову.


Однако, эта же теорема для бесконечного количества полюсов, но мы же можем ее использовать если нас волнует лишь конечное число полюсов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 19:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
hjury в сообщении #782905 писал(а):
Подумал, ответ $\frac{1}{101}$??

Да.
hjury в сообщении #782905 писал(а):
Однако, эта же теорема для бесконечного количества полюсов, но мы же можем ее использовать если нас волнует лишь конечное число полюсов?

Что значит - для бесконечного? что там сказано? а что имеете Вы?

(Оффтоп)

Совершенно непринципиально, как Вы будете решать задачу, хоть примитивным "делением". Вы начните, главное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 20:38 


21/10/13
86
Значит у нас есть функция $f(z)=\frac{1}{\sin{z}}$, которую мы хотим разложить в ряд Лорана в кольце $3\pi<\abs{z}<4\pi$. Мы знаем, что у этой функии есть простые полюса в точках $z=\pi k$. Соответственно эту функцию можно представит в следующем виде $f(z)=G(z)+g_{0}(\frac{1}{z})+\sum_{k=1}^{\infty}{g_{k}(\frac{1}{z-\pi k}})-h_{k}(z)$, где $G(z)$ - целая функций, $g$ - главный части ряда Лорана, в соответствующих точках, $h_k$ - полиномы. Так как у нас всю полюса простые, это можно переписать в виде,
$f(z)=G(z)+\frac{1}{z}+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{z-\pi k}}-h_{k}(z)}$, более того, из-за простоты полюсов выходит, что
$h_{k}(z) = -\frac{1}{\pi k}-\frac{1}{(\pi k)^2}z-\cdots -\frac{1}{(\pi k)^{m_k}}z^{m_n}$, подставляя это в $f(z)$ имеем, что $f(z)=G(z) +\frac{1}{z} +\sum_{k=1}^{\infty}{(\frac{z}{\pi k})^{m_k}\frac{1}{z-\pi k}}$

Дальше надо выбрать числа $m_{n}$, чтобы ряды сходились в любом конечном круге, и тут я не понимаю, как их выбирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 21:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Миттаг с Леффлером говорят, что их надо выбирать, руководствуясь соображениями роста функции на бесконечности. hjury, Вы каким учебником пользуетесь?

-- 31.10.2013, 23:45 --

(Оффтоп)

hjury в сообщении #782930 писал(а):
в кольце $3\pi<\abs{z}<4\pi$

$\LaTeX$ не понимает функции \abs, зато чудесно понимает две палочки: $|z|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 21:57 


21/10/13
86
Цитата:
Миттаг с Леффлером говорят, что их надо выбирать, руководствуясь соображениями роста функции на бесконечности. hjury, Вы каким учебником пользуетесь?

Курантом пользуюсь, точнее стараюсь. Сейчас там прочитал, что можно выбрать $m_n$ равному одному и тому же $m$ такому, что должен сходится ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{(|\pi k|)^{-m-1}}$. Как понимаю, тут для сходимости хватит $m=1$

p.s Точнее Курант, Гурвиц

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 22:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Поздно уже. Я Вам разложение напишу, а Вы думайте, почему так.
$$\cosec z=\frac 1z+\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}}(-1)^k\left(\frac{1}{z-\pi k}+\frac{1}{\pi k}\right)=\frac 1z+2z\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{z^2-\pi^2k^2}.$$
Мне этот материал нравится у Сидорова, Федорюка, Шабунина, всячески рекомендую. И примеры посмотрите заодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 23:26 


21/10/13
86
прочитал, в рекомендуемой вами книге, вроде осознал, спасибо, вот мы разложили эту функцию на элементарные, а дальше надо разложить эти рациональные дроби в ряд лорана в указанном кольце?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group