2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 02:39 
Требуется разложить функцию $f(z)=\frac{1}{\sin{z}}$ в кольце $3\pi<z<4\pi$. И как то совсем в ступор впал. Видно, что особые точки у этой функции, есть точки вида $z=\pi k$. Я даже откуда-то знаю, что эти точки полюса первого порядка. Собственно, не могу понять, как увидеть, что это полюса, да еще и первого порядка.
По поводу разложения, мы можем разложить эту функцию в окрестности нуля например, однако как переходить в кольцо, я не понимаю.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 13:30 
Вы же знаете радиус сходимости ряда Тейлора с центром в нуле функции $\sin z$? Подставьте в этот ряд $z-\pi k$ вместо $z$.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:11 
Получается, что
$\frac{1}{\sin{z}}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2n+1)!}(x-\pi k)^{2k+1}}}$
А что с этим дальше делать?

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:16 
У Вас $k$ в аргументе и по $k$ ведётся суммирование, не надо так. Если назовёте переменную суммирования другой буквой, то получите, что в знаменателе стоит выражение $(z - \pi k) g(z)$, где $g(z)$ целая и $g(\pi k) = (-1)^k$. Так можно увидеть, что это полюс порядка $1$.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:28 
$\frac{1}{\sin{z}}=\frac{1}{\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{(-1)^t}{(2t+1)!}(x-\pi k)^{2t+1}}}= \frac{1}{(x-\pi k)(1-\frac{1}{3}(z-\pi k)^2+ \cdots)}$
Но откуда следует, что $g(\pi k)=(-1)^k$. Я имею в виду что получается минус единица в степени $k$. Ведь если мы подставим в функцию $\pi k$ то $g(\pi k)=1$, разве не так?

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:31 
Просто $\sin(z-\pi k) = (-1)^k \sin(z)$, Вы это не учли, когда ряд записывали.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:33 
Цитата:
Просто $\sin(z-\pi k) = (-1)^k \sin(z)$, Вы это не учли, когда ряд записывали.

Точно, совсем про это забыл. Хорошо увидели, что полюса простые, а каковы следующие шаги?

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:37 
hjury,

(Оффтоп)

hjury в сообщении #782475 писал(а):
в кольце $3\pi<z<4\pi$.
Вы уверены, что хотели поговорить о кольце? :D

Что касается основной задачи, мне ничего лучшего в голову не приходит, чем воспользоваться результатами для мероморфных функций.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:48 
Otta в сообщении #782725 писал(а):
UPD Впрочем, имеет. Опосредованное.


Да, но автор спросил, как увидеть, что это полюса порядка 1. Впрочем, можно рассмотреть функцию
$$
   g(z) = f(z) - \frac{1}{z} + \frac{1}{z+\pi}+\frac{1}{z-\pi} - \frac{1}{z+2\pi} - \frac{1}{z-2\pi} + \frac{1}{z+3\pi}+\frac{1}{z-3\pi},
$$
разложить её в ряд Тейлора в круге $|z| < 4\pi$.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:56 
Nimza в сообщении #782733 писал(а):
Да, но автор спросил, как увидеть, что это полюса порядка 1.

Ай, да я ж не спорю. Я даже подмела. :)
Nimza в сообщении #782733 писал(а):
Впрочем, можно рассмотреть функцию
$$
  g(z) = f(z) - \frac{1}{z} + \frac{1}{z+\pi}+\frac{1}{z-\pi} - \frac{1}{z+2\pi} - \frac{1}{z-2\pi} + \frac{1}{z+3\pi}+\frac{1}{z-3\pi},
$$
разложить её в ряд Тейлора в круге $|z| < 4\pi$.

Так выглядит изящнее, правда, если бы исходная функция сама по себе не раскладывалась хреново по степеням $z$. :(

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 15:59 

(Оффтоп)

Цитата:
Вы уверены, что хотели поговорить о кольце? :D

Уверен :D

Цитата:
Что касается основной задачи, мне ничего лучшего в голову не приходит, чем воспользоваться результатами для мероморфных функций.


То есть разложением мероморфной функции по главным частям?


Nimza в сообщении #782733 писал(а):
Otta в сообщении #782725 писал(а):
UPD Впрочем, имеет. Опосредованное.


Да, но автор спросил, как увидеть, что это полюса порядка 1. Впрочем, можно рассмотреть функцию
$$
   g(z) = f(z) - \frac{1}{z} + \frac{1}{z+\pi}+\frac{1}{z-\pi} - \frac{1}{z+2\pi} - \frac{1}{z-2\pi} + \frac{1}{z+3\pi}+\frac{1}{z-3\pi},
$$
разложить её в ряд Тейлора в круге $|z| < 4\pi$.


Насколько мне помнится, есть выражения связывающее коэффициенты $g(z)$ и $f(z)$

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 16:05 
hjury в сообщении #782741 писал(а):
Насколько мне помнится, есть выражения связывающее коэффициенты $g(z)$ и $f(z)$

Ага, к разложению Тейлора нужно просто перегнать дроби и разложить их (что просто). Коэффициенты Тейлора получаются просто по определению, основная "работа" с $\frac{1}{\sin z} - \frac 1 z$.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 16:28 
Получается остается разложить $\frac{1}{\sin{z}}-\frac{1}{z}$ в ряд Лорана?
$\frac{1}{\sin{z}} - \frac{1}{z}=\frac{1}{z(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}})} - \frac{1}{z}=-\frac{1}{z}(1-\frac{1}{(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}})})$
Дальше я бы хотел это разложить в ряд для геометрической прогрессии, но мне кажется, я делаю что-то не то.

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 16:45 
Нет, в ряд Тейлора в круге $|z|<\pi$. Функцию действительной переменной
$$
   \frac{1}{\sin x} - \frac 1 x 
$$
Вы же можете разложить?

 
 
 
 Re: Разложения в ряд Лорана
Сообщение31.10.2013, 17:09 
$\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{x}=\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}+\cdots$
Я использовал стандартную формулу для нахождения коэффициентов ряда, это ведь верно?

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group