Разложения в ряд Лорана

[Otta]

hjury в сообщении #782792 писал(а):

Я использовал стандартную формулу для нахождения коэффициентов ряда, это ведь верно?

То есть, чтобы узнать, что сотая производная в нуле нулевая, Вы предлагаете дифференцировать эту гадость сто раз?

[hjury]

Цитата:

То есть, чтобы узнать, что сотая производная в нуле нулевая, Вы предлагаете дифференцировать эту гадость сто раз?

Функция же нечетная, значит коэффициенты при четных степенях нуль. Однако я все же в замешательстве, как раскладывать не беря производных.

[Otta]

hjury в сообщении #782798 писал(а):

Однако я все же в замешательстве, как раскладывать не беря производных.

Хорошие люди делают наоборот.
Стандартная задача: найти $\left.(\sin z/z)^{(100)}\right|_{z=0}$. А?
Немного оффтоп, но полезный. ))

По Вашей задаче - минимум два способа есть. Но оба дурные. Например, к общему знаменателю приводить не пробовали?

[hjury]

Otta в сообщении #782861 писал(а):

hjury в сообщении #782798 писал(а):

Однако я все же в замешательстве, как раскладывать не беря производных.

Хорошие люди делают наоборот.
Стандартная задача: найти $\left.(\sin z/z)^{(100)}\right|_{z=0}$. А?
Немного оффтоп, но полезный. ))

По Вашей задаче - минимум два способа есть. Но оба дурные. Например, к общему знаменателю приводить не пробовали?

Нуль же, нет?

$\frac{1}{\sin{z}} - \frac{1}{z}=\frac{z-\sin{z}}{z\sin{z}}=\frac{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}} {\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}z^{2k+2}} {(2k+1)!}}}$
А дальше делить ряд на ряд, или что?

[provincialka]

Ну, делить на ряд можно было с самого начала, без этих мучений.

[Otta]

hjury, ну смотря как Вы собираетесь это делать. Ручками $1/\sin z$ очень паршиво раскладывается, я об этом давно написала, а Вы могли уже убедиться. С Вашей функцией $1/\sin z-1/z$ работать лучше только тем, что она голоморфная в нуле. Как можно? ну примерно как на первом курсе Вас учили тангенс раскладывать. Если кропотливо делать, числа Бернулли там полезут. В косекансе они лезут тоже.

Я сразу предлагала другую идею, и тот факт, что полюса функции простые, как раз очень бы пригодился - разложить функцию на сумму элементарных и работать уже с ними. Единственно, понадобится обосновывать кое-что.

-- 31.10.2013, 20:38 --

hjury в сообщении #782870 писал(а):

Нуль же, нет?

Нет.

[hjury]

Цитата:

Я сразу предлагала другую идею, и тот факт, что полюса функции простые, как раз очень бы пригодился - разложить функцию на сумму элементарных и работать уже с ними. Единственно, понадобится обосновывать кое-что.

Воспользоваться тем фактом, что любую мероморфную функцию можно представить в виде целой функции и ряда, члены которого есть рационалные функции?

[Otta]

(Оффтоп)

Трудно давать советы, когда не знаешь, на какую базу рассчитывать.

Теорема о разложении мероморфной функции на сумму элементарных дробей. Есть такая, для случая, когда все полюса простые.
Но, может, можно и проще, это первое и пока единственное, что пришло мне в голову (если не считать варварских методов вскрытия).

[hjury]

Цитата:

Нет.

Подумал, ответ $\frac{1}{101}$??

Цитата:

Теорема о разложении мероморфной функции на сумму элементарных дробей. Есть такая, для случая, когда все полюса простые.
Но, может, можно и проще, это первое и пока единственное, что пришло мне в голову.

Однако, эта же теорема для бесконечного количества полюсов, но мы же можем ее использовать если нас волнует лишь конечное число полюсов?

[Otta]

hjury в сообщении #782905 писал(а):

Подумал, ответ $\frac{1}{101}$??

Да.

hjury в сообщении #782905 писал(а):

Однако, эта же теорема для бесконечного количества полюсов, но мы же можем ее использовать если нас волнует лишь конечное число полюсов?

Что значит - для бесконечного? что там сказано? а что имеете Вы?

(Оффтоп)

Совершенно непринципиально, как Вы будете решать задачу, хоть примитивным "делением". Вы начните, главное.

[hjury]

Значит у нас есть функция $f(z)=\frac{1}{\sin{z}}$, которую мы хотим разложить в ряд Лорана в кольце $3\pi<\abs{z}<4\pi$. Мы знаем, что у этой функии есть простые полюса в точках $z=\pi k$. Соответственно эту функцию можно представит в следующем виде $f(z)=G(z)+g_{0}(\frac{1}{z})+\sum_{k=1}^{\infty}{g_{k}(\frac{1}{z-\pi k}})-h_{k}(z)$, где $G(z)$ - целая функций, $g$ - главный части ряда Лорана, в соответствующих точках, $h_k$ - полиномы. Так как у нас всю полюса простые, это можно переписать в виде,
$f(z)=G(z)+\frac{1}{z}+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{z-\pi k}}-h_{k}(z)}$, более того, из-за простоты полюсов выходит, что
$h_{k}(z) = -\frac{1}{\pi k}-\frac{1}{(\pi k)^2}z-\cdots -\frac{1}{(\pi k)^{m_k}}z^{m_n}$, подставляя это в $f(z)$ имеем, что $f(z)=G(z) +\frac{1}{z} +\sum_{k=1}^{\infty}{(\frac{z}{\pi k})^{m_k}\frac{1}{z-\pi k}}$

Дальше надо выбрать числа $m_{n}$, чтобы ряды сходились в любом конечном круге, и тут я не понимаю, как их выбирать.

[Otta]

Миттаг с Леффлером говорят, что их надо выбирать, руководствуясь соображениями роста функции на бесконечности. hjury, Вы каким учебником пользуетесь?

-- 31.10.2013, 23:45 --

(Оффтоп)

hjury в сообщении #782930 писал(а):

в кольце $3\pi<\abs{z}<4\pi$

$\LaTeX$ не понимает функции \abs, зато чудесно понимает две палочки: $|z|$.

[hjury]

Цитата:

Миттаг с Леффлером говорят, что их надо выбирать, руководствуясь соображениями роста функции на бесконечности. hjury, Вы каким учебником пользуетесь?

Курантом пользуюсь, точнее стараюсь. Сейчас там прочитал, что можно выбрать $m_n$ равному одному и тому же $m$ такому, что должен сходится ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{(|\pi k|)^{-m-1}}$. Как понимаю, тут для сходимости хватит $m=1$

p.s Точнее Курант, Гурвиц

[Otta]

Поздно уже. Я Вам разложение напишу, а Вы думайте, почему так.

$$\cosec z=\frac 1z+\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}}(-1)^k\left(\frac{1}{z-\pi k}+\frac{1}{\pi k}\right)=\frac 1z+2z\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{z^2-\pi^2k^2}.$$

Мне этот материал нравится у Сидорова, Федорюка, Шабунина, всячески рекомендую. И примеры посмотрите заодно.

[hjury]

прочитал, в рекомендуемой вами книге, вроде осознал, спасибо, вот мы разложили эту функцию на элементарные, а дальше надо разложить эти рациональные дроби в ряд лорана в указанном кольце?