Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.

[paradiseva]

Добрый вечер, уважаемые форумчане!

Возник вопрос, в лекциях тема "Аппроксимация данных. Метод Чебышева"
Приводится пример, нужно по табличным данным найти аппроксимирующий полином второй степени:


Я нашла, что полиномы Чебышева выглядят так:
$P_0(x)=0, P_1(x)=x, P_2(x)=2x^2+1$
последняя строка по моим расчетам не сошлась с лекционной. В лекциях выведена формула такая
$P_2(x)=x^2-\frac {n(n-1)}{12} $
А откуда она такая нарисовалась? В полиномах Чебышева я такого не видела. Может, что-то связано с четностью n. Сдаюсь, целый день убила на рассмотрение данного примера, не понимаю, что я упускаю, ведь, по идее все просто? Заранее благодарю за ответ.

[мат-ламер]

paradiseva
Я в Вашем посту не понял вообще ничего. Вы хоть что-нибудь понимаете? Какую задачу решаете? Каким методом? Где Вы прочли про метод Чебышева? Какое отношение он имеет к многочленам Чебышева? Они, кстати, бывают двух родов и выписаны у Вас неправильно (кроме, возможно, второго). Кстати, можете поискать их в Википедии. Если у Вас в лекциях выведена формула, то Вам как-бы и виднее, откуда она взялась. Это не вопросы к Вам, а мои непонятки. Вопросы Вам не задаю, ибо вряд ли смогу Вам помочь.

[paradiseva]

мат-ламер в сообщении #781475 писал(а):

paradiseva
Я в Вашем посту не понял вообще ничего. Вы хоть что-нибудь понимаете? Какую задачу решаете? Каким методом? Где Вы прочли про метод Чебышева? Какое отношение он имеет к многочленам Чебышева? Они, кстати, бывают двух родов и выписаны у Вас неправильно (кроме, возможно, второго). Кстати, можете поискать их в Википедии. Если у Вас в лекциях выведена формула, то Вам как-бы и виднее, откуда она взялась. Это не вопросы к Вам, а мои непонятки. Вопросы Вам не задаю, ибо вряд ли смогу Вам помочь.

Я сегодня перечитала огромное количество информации по данному вопросу. Дело в том, что я помогаю своему мужу, сама давно университет окончила. Задача стоит следующая:

"по табличным данным найти аппроксимирующий полином второй степени".

Перед примером, который я привела в первом сообщении, был кусок лекции:

Аппроксимация данных. Метод Чебышева.
1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)
deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...
\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l - ортогональность
\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2, где N_k^2 - нормированный множитель для полиномов P_k(x)
2. m - степень аппроксимирующего полинома m \ll n
Коэффициент разложения аппроксимирующего полинома Р(х) по полиномам Чебышева:
C_k=\frac {1} {N_k^2} \sum^{n}_{i=0} {y_iP_k(x_i)}
При заданной степени аппроксимирующего полинома, выбор коэффициентов C_k обеспечивает минимум суммы квадратов невязки.
3. P(x)= \sum^{m}_{k=0} {C_kP_k(x)}
Покажем, как строить систему полиномов Чебышева для множества узлов, равноотстоящих друг от друга с шагом 1 и расположенных симметрично от начала оси координат
n - четное

Т.е. из примера мне не понятно, как получается строка P_3(x)
раз в строке P_2(x) идет полное повторение строки с x я подозреваю, что речь идет о первом роде многочленов Чебышева. Тогда P_3(x) = 2x^2 - 1 Явно не сходится

В любом случае, спасибо Вам за ответ!

[мат-ламер]

paradiseva
Лично Чебышев и полиномы его имени к Вашей задаче никакого отношения не имеют. Имеем классическую задачу наименьших квадратов. В принципе можно решать через систему нормальных уравнений. Но в данном случае задумка другая. Сначала нужно построить ортогональный базис. Обычно делается с помощью процедуры Грама-Шмидта. См. любой учебник линейной алгебры. Может кто-то ещё подключится к консультации?

-- Пн окт 28, 2013 22:53:58 --

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%E2%80%95_%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0

-- Пн окт 28, 2013 22:58:38 --

paradiseva в сообщении #781497 писал(а):

1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)
deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...
\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l - ортогональность
\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2, где N_k^2 - нормированный множитель для полиномов P_k(x)

А интересно, как лектор их строит? Или может он полагает, что система классических полином Чебышева (какого рода?) будет ортогональна в смысле суммы наименьших квадратов на конечной целочисленной сетке узлов? Выскажу предположение, что тут что-то не так.

[paradiseva]

мат-ламер в сообщении #781503 писал(а):

paradiseva
Лично Чебышев и полиномы его имени к Вашей задаче никакого отношения не имеют. Имеем классическую задачу наименьших квадратов. В принципе можно решать через систему нормальных уравнений. Но в данном случае задумка другая. Сначала нужно построить ортогональный базис. Обычно делается с помощью процедуры Грама-Шмидта. См. любой учебник линейной алгебры. Может кто-то ещё подключится к консультации?

-- Пн окт 28, 2013 22:53:58 --

[url]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1
%81_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%E2%80%95_%D0%A8%D0%BC%D0
%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0[/url]

-- Пн окт 28, 2013 22:58:38 --

paradiseva в сообщении #781497 писал(а):

1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
$P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)$
$deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...$
$\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l $- ортогональность
$\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2, где N_k^2$ - нормированный множитель для полиномов P_k(x)

А интересно, как лектор их строит? Или может он полагает, что система классических полином Чебышева (какого рода?) будет ортогональна в смысле суммы наименьших квадратов на конечной целочисленной сетке узлов? Выскажу предположение, что тут что-то не так.

Ух, спасибо, я сегодня тоже целый день думала о задаче наименьших квадратов. Уж больно похоже. Вы знаете, судя из того, что я Вам привела, а в лекциях нет ни слова больше. Мне кажется, что он берет первые два полинома Чебышева первого рода, а третий у него каким-то "волшебным образом" считается. Ну, не может быть просто так $P_0(x)=0, P_1(x)=1$ Но, т.к. я сама закончила мехмат, в такие чудеса не верю, логики найти не могу. Поэтому, обратилась с вопросом сюда

[Otta]

Третий $x^2-4$. Что хотят-то? В этой таблице никаких намеков на аппроксимацию пока не видно. Ни наименьших квадратов, ни интерполяционной формулы.

[paradiseva]

Я честно решила по приведенному преподавателем алгоритму, получилось следующее:


$P_0(x)=0, P_1(x)=1, P_2(x)=x^2 - \frac{n(n+1)} {12} = x^2 - \frac{6(6+1)} {12} = x^2 - 4 $
$C_0=\frac{1}{7} (0.1+0.8+0.9+1.6+2.4+2.6+4.2) = 1.8$
$C_1=\frac{1}{28} (-3 \cdot 0.1-2\cdot0.8-1\cdot0.9+0\cdot1.6+1\cdot2.4+2\cdot2.6+3\cdot4.2) \approx 0.62$
$C_1=\frac{1}{84} (5\cdot0.1+0\cdot0.8-3\cdot0.9-4\cdot1.6-3\cdot2.4+0\cdot2.6+5\cdot4.2) \approx 0.06$
$P(x)=C_0 \cdot P_0(x) + C_1 \cdot P_1(x) + C_2 \cdot P_2(x) = 0.06x^2+0.62x-1.56$
Получила один в один тоже самое, что и при методе наименьших квадратов, но логики так и не поняла...
Но вот это $P_2(x)$ мне покоя не дает. Почему оно такое

[ewert]

paradiseva в сообщении #781528 писал(а):

Но вот это $P_2(x)$ мне покоя не дает. Почему оно такое

Ну значит формула такая. Где-то, значит, она выводилась для какого-то конкретного расположения узлов. Возможно, при выводе даже сообщалось, что такое $n$. Не исключено даже, что это ни разу не утаивалось! Ведь ортогонально же вышло? -- ортогонально.

Это, естественно, обычный МНК по дискретным ортогональным многочленам. К ортогональным в обычном смысле (вообще и Чебышёва в частности) никакого отношения, конечно, не имеющим, но само понятие таких многочленов вполне стандартно. А почему именно эти многочлены приписывают именно Чебышёву -- не знаю.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

paradiseva
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом в последнем Вашем сообщении, таблицу можете оставить, хотя её тоже можно набрать тем же инструментом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[paradiseva]

Со своей задачей я разобралась, возможно, кому-то пригодится тоже.
Источник: Приложение ортогональных полиномов Чебышева
И далее мои расчеты, согласно источнику:
$P_0 (x)=1$
$P_1 (x)=x-a,где a=\frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1}x_i=\frac {1}{7} (-3-2-1+0+1+2+3)=0,→P_1 (x)=x-0=x$
$P_2 (x)=(x-a_2 ) \cdot P_1 (x)-b_2 \cdot P_0 (x)$

$a_2 = \frac {\sum^{m}_{i=1}x_i \cdot P_1^2(x_i)}{\lVert P_1 \rVert ^2}$

где $\lVert P_1\rVert^2=P_1^2(-3) + P_1^2(-2) +P_1^2(-1) + P_1^2(0) + P_1^2(1) + P_1^2(2)+P_1^2(3)=9+4+1+0+1+4+9=28$

$a_2=\frac{-3 \cdot 9 - 2 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot9 }{28}=0$

$b_2 = \frac {\sum^{m}_{i=1}x_i \cdot P_0(x_i) \cdot P_1(x_i)}{\lVert P_0 \rVert ^2}

$b_2=\frac{(-3) \cdot 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 3}{7}=\frac{28}{7}=4$

$P_2 (x)=(x-0) \cdot x - 4 \cdot1=x^2-4$

Всем большое спасибо за помощь!

[Евгений Машеров]

На самом деле тут довольно часто встречающаяся ситуация, когда смешивают непрерывный и дискретный случай. Когда в выражении для ортогональности интеграл, и когда сумма. Обнаруживал в довольно серьёзных (особенно по области приложения!) работах, что используют выражения для полиномов Чебышева непрерывных, при этом полагая, что на дискретной сетке они будут ортогональны.

(Оффтоп)

Надеюсь, "Фобос-Грунт" не из-за этого грохнулся...