2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 20:33 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Добрый вечер, уважаемые форумчане!

Возник вопрос, в лекциях тема "Аппроксимация данных. Метод Чебышева"
Приводится пример, нужно по табличным данным найти аппроксимирующий полином второй степени:
Изображение

Я нашла, что полиномы Чебышева выглядят так:
$P_0(x)=0, P_1(x)=x, P_2(x)=2x^2+1$
последняя строка по моим расчетам не сошлась с лекционной. В лекциях выведена формула такая
$P_2(x)=x^2-\frac {n(n-1)}{12} $
А откуда она такая нарисовалась? В полиномах Чебышева я такого не видела. Может, что-то связано с четностью n. Сдаюсь, целый день убила на рассмотрение данного примера, не понимаю, что я упускаю, ведь, по идее все просто? Заранее благодарю за ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
paradiseva
Я в Вашем посту не понял вообще ничего. Вы хоть что-нибудь понимаете? Какую задачу решаете? Каким методом? Где Вы прочли про метод Чебышева? Какое отношение он имеет к многочленам Чебышева? Они, кстати, бывают двух родов и выписаны у Вас неправильно (кроме, возможно, второго). Кстати, можете поискать их в Википедии. Если у Вас в лекциях выведена формула, то Вам как-бы и виднее, откуда она взялась. Это не вопросы к Вам, а мои непонятки. Вопросы Вам не задаю, ибо вряд ли смогу Вам помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 21:25 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
мат-ламер в сообщении #781475 писал(а):
paradiseva
Я в Вашем посту не понял вообще ничего. Вы хоть что-нибудь понимаете? Какую задачу решаете? Каким методом? Где Вы прочли про метод Чебышева? Какое отношение он имеет к многочленам Чебышева? Они, кстати, бывают двух родов и выписаны у Вас неправильно (кроме, возможно, второго). Кстати, можете поискать их в Википедии. Если у Вас в лекциях выведена формула, то Вам как-бы и виднее, откуда она взялась. Это не вопросы к Вам, а мои непонятки. Вопросы Вам не задаю, ибо вряд ли смогу Вам помочь.


Я сегодня перечитала огромное количество информации по данному вопросу. Дело в том, что я помогаю своему мужу, сама давно университет окончила. Задача стоит следующая:

"по табличным данным найти аппроксимирующий полином второй степени".

Перед примером, который я привела в первом сообщении, был кусок лекции:

Аппроксимация данных. Метод Чебышева.
1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)
deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...
\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l - ортогональность
\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2, где N_k^2 - нормированный множитель для полиномов P_k(x)
2. m - степень аппроксимирующего полинома m \ll n
Коэффициент разложения аппроксимирующего полинома Р(х) по полиномам Чебышева:
C_k=\frac {1} {N_k^2} \sum^{n}_{i=0} {y_iP_k(x_i)}
При заданной степени аппроксимирующего полинома, выбор коэффициентов C_k обеспечивает минимум суммы квадратов невязки.
3. P(x)= \sum^{m}_{k=0} {C_kP_k(x)}
Покажем, как строить систему полиномов Чебышева для множества узлов, равноотстоящих друг от друга с шагом 1 и расположенных симметрично от начала оси координат
n - четное

Т.е. из примера мне не понятно, как получается строка P_3(x)
раз в строке P_2(x) идет полное повторение строки с x я подозреваю, что речь идет о первом роде многочленов Чебышева. Тогда P_3(x) = 2x^2 - 1 Явно не сходится

В любом случае, спасибо Вам за ответ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
paradiseva
Лично Чебышев и полиномы его имени к Вашей задаче никакого отношения не имеют. Имеем классическую задачу наименьших квадратов. В принципе можно решать через систему нормальных уравнений. Но в данном случае задумка другая. Сначала нужно построить ортогональный базис. Обычно делается с помощью процедуры Грама-Шмидта. См. любой учебник линейной алгебры. Может кто-то ещё подключится к консультации?

-- Пн окт 28, 2013 22:53:58 --

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%E2%80%95_%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0

-- Пн окт 28, 2013 22:58:38 --

paradiseva в сообщении #781497 писал(а):
1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)
deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...
\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l - ортогональность
\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2, где N_k^2 - нормированный множитель для полиномов P_k(x)

А интересно, как лектор их строит? Или может он полагает, что система классических полином Чебышева (какого рода?) будет ортогональна в смысле суммы наименьших квадратов на конечной целочисленной сетке узлов? Выскажу предположение, что тут что-то не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 22:12 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
мат-ламер в сообщении #781503 писал(а):
paradiseva
Лично Чебышев и полиномы его имени к Вашей задаче никакого отношения не имеют. Имеем классическую задачу наименьших квадратов. В принципе можно решать через систему нормальных уравнений. Но в данном случае задумка другая. Сначала нужно построить ортогональный базис. Обычно делается с помощью процедуры Грама-Шмидта. См. любой учебник линейной алгебры. Может кто-то ещё подключится к консультации?

-- Пн окт 28, 2013 22:53:58 --

[url]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1
%81_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%E2%80%95_%D0%A8%D0%BC%D0
%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0[/url]

-- Пн окт 28, 2013 22:58:38 --

paradiseva в сообщении #781497 писал(а):
1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
$P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)$
$deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...$
$\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l $- ортогональность
$\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2, где N_k^2$ - нормированный множитель для полиномов P_k(x)

А интересно, как лектор их строит? Или может он полагает, что система классических полином Чебышева (какого рода?) будет ортогональна в смысле суммы наименьших квадратов на конечной целочисленной сетке узлов? Выскажу предположение, что тут что-то не так.


Ух, спасибо, я сегодня тоже целый день думала о задаче наименьших квадратов. Уж больно похоже. Вы знаете, судя из того, что я Вам привела, а в лекциях нет ни слова больше. Мне кажется, что он берет первые два полинома Чебышева первого рода, а третий у него каким-то "волшебным образом" считается. Ну, не может быть просто так $P_0(x)=0, P_1(x)=1$ Но, т.к. я сама закончила мехмат, в такие чудеса не верю, логики найти не могу. Поэтому, обратилась с вопросом сюда

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 22:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Третий $x^2-4$. Что хотят-то? В этой таблице никаких намеков на аппроксимацию пока не видно. Ни наименьших квадратов, ни интерполяционной формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 22:35 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Я честно решила по приведенному преподавателем алгоритму, получилось следующее:
Изображение

$P_0(x)=0, P_1(x)=1, P_2(x)=x^2 - \frac{n(n+1)} {12} = x^2 - \frac{6(6+1)} {12} = x^2 - 4 $
$C_0=\frac{1}{7} (0.1+0.8+0.9+1.6+2.4+2.6+4.2) = 1.8$
$C_1=\frac{1}{28} (-3 \cdot 0.1-2\cdot0.8-1\cdot0.9+0\cdot1.6+1\cdot2.4+2\cdot2.6+3\cdot4.2) \approx 0.62$
$C_1=\frac{1}{84} (5\cdot0.1+0\cdot0.8-3\cdot0.9-4\cdot1.6-3\cdot2.4+0\cdot2.6+5\cdot4.2) \approx 0.06$
$P(x)=C_0 \cdot P_0(x) + C_1 \cdot P_1(x) + C_2 \cdot P_2(x) = 0.06x^2+0.62x-1.56$
Получила один в один тоже самое, что и при методе наименьших квадратов, но логики так и не поняла...
Но вот это $P_2(x)$ мне покоя не дает. Почему оно такое

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение28.10.2013, 23:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
paradiseva в сообщении #781528 писал(а):
Но вот это $P_2(x)$ мне покоя не дает. Почему оно такое

Ну значит формула такая. Где-то, значит, она выводилась для какого-то конкретного расположения узлов. Возможно, при выводе даже сообщалось, что такое $n$. Не исключено даже, что это ни разу не утаивалось! Ведь ортогонально же вышло? -- ортогонально.

Это, естественно, обычный МНК по дискретным ортогональным многочленам. К ортогональным в обычном смысле (вообще и Чебышёва в частности) никакого отношения, конечно, не имеющим, но само понятие таких многочленов вполне стандартно. А почему именно эти многочлены приписывают именно Чебышёву -- не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.10.2013, 13:23 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

paradiseva
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом в последнем Вашем сообщении, таблицу можете оставить, хотя её тоже можно набрать тем же инструментом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение29.10.2013, 14:30 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Со своей задачей я разобралась, возможно, кому-то пригодится тоже.
Источник: Приложение ортогональных полиномов Чебышева
И далее мои расчеты, согласно источнику:
$P_0 (x)=1$
$P_1 (x)=x-a,где a=\frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1}x_i=\frac {1}{7} (-3-2-1+0+1+2+3)=0,→P_1 (x)=x-0=x$
$P_2 (x)=(x-a_2 ) \cdot P_1 (x)-b_2 \cdot P_0 (x)$

$a_2 = \frac {\sum^{m}_{i=1}x_i \cdot  P_1^2(x_i)}{\lVert P_1 \rVert ^2}$

где $\lVert P_1\rVert^2=P_1^2(-3) + P_1^2(-2) +P_1^2(-1) + P_1^2(0) + P_1^2(1) + P_1^2(2)+P_1^2(3)=9+4+1+0+1+4+9=28$

$a_2=\frac{-3 \cdot 9 - 2 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot9 }{28}=0$

$b_2 = \frac {\sum^{m}_{i=1}x_i \cdot  P_0(x_i) \cdot  P_1(x_i)}{\lVert P_0 \rVert ^2}

$b_2=\frac{(-3) \cdot 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 0  + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 3}{7}=\frac{28}{7}=4$

$P_2 (x)=(x-0) \cdot x - 4 \cdot1=x^2-4$

Всем большое спасибо за помощь! :!: :!: :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Сообщение29.10.2013, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
На самом деле тут довольно часто встречающаяся ситуация, когда смешивают непрерывный и дискретный случай. Когда в выражении для ортогональности интеграл, и когда сумма. Обнаруживал в довольно серьёзных (особенно по области приложения!) работах, что используют выражения для полиномов Чебышева непрерывных, при этом полагая, что на дискретной сетке они будут ортогональны.

(Оффтоп)

Надеюсь, "Фобос-Грунт" не из-за этого грохнулся...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group