Об определении свойства антисимметричности отношения и др.

[angor6]

Несмотря на все свои попытки, никак не могу понять смысл определения свойства антисимметричности бинарного отношения: "Бинарное отношение $R$ называют антисимметричным, если из $aRb$ и $bRa$ следует, что $a=b$". Как из посылки (принадлежность элементов множества некоторому отношению) следует заключение (равенство элементов)? Или здесь использована иная смысловая конструкция? Как следует понимать знак равенства в определении: сугубо в арифметическом смысле или по-другому?

Непонятен пример антисимметричного отношения: $\lbrace (a,~b),~(a,~c),~(a,~a),~(b,~c) \rbrace$. Из чего следует его антисимметричность?

Правила форума предполагают попытки самостоятельного решения, но в этом случае я никаких идей не имею, увы. Понимаю только, что отношение $\lbrace (a,~a),~(b,~b),~(c,~c) \rbrace$ антисимметрично, но не более того.

Эти вопросы появились у меня после прочтения учебника по дискретной математике А. Д. Плотникова.

В результате обсуждения одной задачи на другом форуме сегодня с удивлением узнал, что отношение "пустое множество" тоже обладает свойством антисимметричности и, например, транзитивности, хотя и не содержит в себе никаких элементов... Кто бы объяснил мне это на доступном уровне?

[arseniiv]

angor6 в сообщении #780590 писал(а):

Как следует понимать знак равенства в определении: сугубо в арифметическом смысле или по-другому?

В смысле равенства множеств, т. к. отношения обычно определяют в рамках теории множеств. Или, если отношения как-то иначе введены, в смысле равенства объектов рассматриваемой теории. В общем, в смысле обычного равенства. Числа — чисел, функции — фцнукий, т. к. число функции быть равно всё равно не может.

Симметричность и антисимметричность отношения говорит о его «поведении» на парах из разных элементов $a\ne b$. У симметричного если есть пара $(a, b)$, обязательно есть и $(b, a)$, а если нету — обоих нет. У антисимметричного если есть одна пара, то другой нет, и наоборот (хотя могут отсутствовать и обе). От наличия же пар с одинаковыми элементами эти свойства никак не зависят.

angor6 в сообщении #780590 писал(а):

Непонятен пример антисимметричного отношения: $\lbrace (a,~b),~(a,~c),~(a,~a),~(b,~c) \rbrace$. Из чего следует его антисимметричность?

Из определения. Проверяем все пары. Есть $(a, b)$ — не должно быть $(b, a)$. Нету. Пока всё хорошо. Дальше: $aRc, \neg cRa$. Ладно. $bRc, \neg cRb$. Сработало. $aRa$ — безразлично, есть ли это. Больше никаких пар отношение не содержит и всё выполнено — значит, антисимметрично.

Возможно, вам поможет обратное: отношение не антисимметрично, если для некоторых $a\ne b$ одновременно $aRb$ и $bRa$.

angor6 в сообщении #780590 писал(а):

Кто бы объяснил мне это на доступном уровне?

Это ничего, дальше вы можете встретить пустую функцию, которая всегда инъективна! В корне это всё, как и то, что $\forall A\, (\varnothing\subset A)$, сводится к тому, что из ложного утверждения следует что угодно, потому если $S$ — пустое, $\forall x\in S\,(\text{что угодно от }x)$ истинно. Потому пустое отношение так же рефлексивно, антирефлексивно, симметрично…

-- Вс окт 27, 2013 04:03:25 --

angor6 в сообщении #780590 писал(а):

Как из посылки (принадлежность элементов множества некоторому отношению) следует заключение (равенство элементов)?

В общем это никак и не следует, иначе бы все отношения были антисимметричными. Вот как раз для антисимметричных отношений это следует, а для не антисимметричных — не следует.

[VAL]

angor6 в сообщении #780590 писал(а):

Несмотря на все свои попытки, никак не могу понять смысл определения свойства антисимметричности бинарного отношения: "Бинарное отношение $R$ называют антисимметричным, если из $aRb$ и $bRa$ следует, что $a=b$". Как из посылки (принадлежность элементов множества некоторому отношению) следует заключение (равенство элементов)? Или здесь использована иная смысловая конструкция? Как следует понимать знак равенства в определении: сугубо в арифметическом смысле или по-другому?

А как можно понимать знак равенства? Как знак равенства (совпадения элементов множества)!

Что же до антисимметричности, то все просто. В определении утверждается, что одновременно $aRb$ и $bRa$ невозможно, если элементы $a$ и $b$ различны.

Например, отношение "меньше" на множестве целых чисел антисимметрично. Потому что два различных целых числа не могут быть одновременно меньше друг друга.

[iifat]

arseniiv в сообщении #780607 писал(а):

симметрично…

И даже антисимметрично

[angor6]

arseniiv
Я благодарен Вам за то, что Вы нашли время и подготовили для меня обстоятельный ответ. Вроде бы с определением свойства антисимметричности разобрался. Предложенный Вами алгоритм проверки на антисимметричность приведенного мной множества прояснил ситуацию. Он в принципе и напрашивался в моём подсознании, но я не был уверен в его правильности, потому что в учебнике на сей счёт ничего сказано не было.

Что касается пустого множества, то я прихожу к выводу, что к его "необычности" нужно относится как к данности, важной для логической безупречности последующего построения математической теории.

VAL
Приведенная Вами формулировка является утверждением, обратным противоположному тому, которое использовано в определении из книги и ничем не лучше его в смысле понимания. Но я никаких претензий к Вам не имею! Причина проблемы с непониманием - во мне самом.

Самое печальное для меня заключается в том, что для самостоятельного изучения математики на уровне математического факультета (а не на алгоритмическом, как в технических вузах), чем я сейчас занялся на склоне лет, требуется определённая тренированность мышления. Эта тренированность вырабатывается годами, начиная с младших классов школы. И хотя я всегда успешно сдавал экзамены по математике и в школе, и в техникуме, и в институте, формирование математического мышления до нужного уровня не произошло. Одну из причин этого я вижу теперь в отсутствии преемственности между средним и высшим образованием. Чего стоит, например, директивность формулировок теорем. Например: "Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым". Более правильным представляется: "Если фигура является треугольником, то сумма её внутренних углов равна двум прямым"... Хотя, может быть, это и не очень важно, и действительная проблема, например, в моём возрасте.

Но я не хочу возлагать на кого-то вину за свои проблемы. Как говорится, взялся за гуж - не говори, что не дюж. Никого не призываю к дальнейшей дискуссии! Большое спасибо за участие в обсуждении поднятых мной вопросов!

[provincialka]

"Если фигура является треугольником..."
Да-а, чужая душа голова - потемки!

[angor6]

provincialka

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #780649 писал(а):

"Если фигура является треугольником..."
Да-а, чужая душа голова - потемки!

А что, опять сформулировал что-то не то? Тогда так: "Если фигура является замкнутым выпуклым $n-$угольником, то сумма его внутренних углов равна $2d(n-2)$".

У меня есть к Вам небольшая просьба. Буду весьма признателен, если Вы перестанете проявлять свою иронию при ответе на мои сообщения или их комментировании. Я ведь не Ваш студент и не обязан быть терпеливой жертвой Вашего остроумия. Или лучше не откликайтесь на мои сообщения вообще. Так будет лучше, по крайней мере, для меня. Я сторонник конструктивных обсуждений без намёков и переходов на личные качества и недостатки моих собеседников.

[provincialka]

Нет, это ни разу ни ирония! Формулировка правильная, но уж очень громоздкая. Чем вам исходная не угодила? Я просто честно удивляюсь, зачем из простого делать сложное?

[angor6]

arseniiv
VAL
Хотелось бы уточнить. Получается, что антисимметричное отношение отличается от асимметричного тем, что оно допускает $aRa$. Тогда не проще было бы дать такое определение антисимметричности: "Отношение антисимметрично, если не существует таких элементов $a$ и $b$, что одновременно выполняется $aRb$ и $bRa$"? По-моему, так понятнее.

-- 27.10.2013, 10:13 --

provincialka
Я ведь объяснил, почему директивная формулировка теоремы о сумме углов треугольника плоха - она не способствует приобретению навыков логического мышления.

angor6 в сообщении #780640 писал(а):

Самое печальное для меня заключается в том, что для самостоятельного изучения математики на уровне математического факультета (а не на алгоритмическом, как в технических вузах), чем я сейчас занялся на склоне лет, требуется определённая тренированность мышления. Эта тренированность вырабатывается годами, начиная с младших классов школы. И хотя я всегда успешно сдавал экзамены по математике и в школе, и в техникуме, и в институте, формирование математического мышления до нужного уровня не произошло. Одну из причин этого я вижу теперь в отсутствии преемственности между средним и высшим образованием. Чего стоит, например, директивность формулировок теорем. Например: "Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым". Более правильным представляется: "Если фигура является треугольником, то сумма её внутренних углов равна двум прямым"... Хотя, может быть, это и не очень важно, и действительная проблема, например, в моём возрасте.

[provincialka]

1. Только добавьте слово "различных", без этого слова получится асимметричность.
2. Смотря для кого. При обучении школьников более важно не оттолкнуть их излишним занудством. Пусть заинтересуются содержательной частью, а "ловлю блох" оставить на потом.

Помню свои собственные впечатления от курса мат. логики. Про всякую выводимость, модус толенс, модус поненс... Такая тоска. Хотелось скорее сдать и забыть.

[angor6]

provincialka в сообщении #780720 писал(а):

1. Только добавьте слово "различных", без этого слова получится асимметричность.

Да, разумеется. Так почему же не такое определение антисимметричности даётся в учебниках?

provincialka в сообщении #780720 писал(а):

2. Смотря для кого. При обучении школьников более важно не оттолкнуть их излишним занудством. Пусть заинтересуются содержательной частью, а "ловлю блох" оставить на потом.

Не думаю, что недирективная формулировка теорем занудна. Это ведь не основания геометрии. А "на потом" попросту не наступает. Или Вы имеете в виду самостоятельную работу за рамками школьной программы, но в школьном возрасте?

[ewert]

angor6 в сообщении #780716 писал(а):

Тогда не проще было бы дать такое определение антисимметричности: "Отношение антисимметрично, если не существует таких элементов $a$ и $b$, что одновременно выполняется $aRb$ и $bRa$"?

Проще не проще, а вот ненужнее. Потому, что

VAL в сообщении #780609 писал(а):

Например, отношение "меньше" на множестве целых чисел антисимметрично.

На самом деле даже не например, а вообще отношением порядка называется отношение рефлексивное, транзитивное и антисимментричное именно в стандартном понимании.

[angor6]

ewert
Что значит "ненужнее"? Разве существование отношения порядка, которое антисимметрично, препятствует более понятному определению самой антисимметричности? Ведь понятие антисимметричности не вводится только для того, чтобы определить отношение порядка.

Кстати, отношение строгого порядка не рефлексивно, хотя антисимметрично и транзитивно. Рефлексивно, антисимметрично и транзитивно отношение нестрогого порядка.

[provincialka]

ewert в сообщении #780728 писал(а):

На самом деле даже не например, а вообще отношением порядка называется отношение рефлексивное, транзитивное и антисимментричное именно в стандартном понимании.

Ну, это "на любителя". Я, например под "порядком" обычно понимаю строгий порядок, то есть отношение, которое транзитивно и асимметрично. (Более того, достаточно потребовать транзитивности и антирефлексивности, но такой подход менее нагляден)

А вот чтобы в определении порядка, даже нестрогого, требовалась рефлексивность - этого я не видела.

-- 27.10.2013, 12:11 --

angor6, я соглашусь, что в свойстве треугольника более точно говорить "У любого треугольника ...". Но во упоминать еще и "фигуру" - это уже излишество. Определение треугольника было дано до этого. А если так продолжать, придется в свойстве треугольника упомянуть еще, что такое фигура, что такое угол и т.д. и т.п. Это не нужно, это повтор определения.

[bot]

angor6 в сообщении #780724 писал(а):

Да, разумеется. Так почему же не такое определение антисимметричности даётся в учебниках?

Потому что оно очень краткое - ничего лишнего.. Дальше могут следовать только комментарии.