Можно ли доказать аксиому?

[Tall]

korolev
а геометрия Лобачевского не на плоскости?

[provincialka]

Linkey, вам уже говорили, что добавление бесконечно большого элемента разрушает другие свойства теории. Вот - для числовых множеств:

Xaositect в сообщении #778514 писал(а):

То есть, для того, чтобы уметь делить на нуль, нужно либо отказаться от общепринятых определений нуля или деления (то есть говорить на необщепринятом языке, а значит, каждый раз пояснять, что именно мы имеем в виду, иначе поймут неправильно), либо отказаться от понятия разности (на самом деле, даже полноценная разность тут не нужна, достаточно свойства сократимости: $x +y = z + y \Rightarrow x = z$), либо отказаться от свойства дистрибутивности, либо рассматривать случай $0=1$ (в этом случае все плохо, $x = x \cdot 1 = x\cdot 0 = 0$, то есть все равно нулю)

А в геометрии этим "занимается" проективная геометрия:

Sonic86 в сообщении #778509 писал(а):

В проективной плоскости есть бесконечно удаленные элементы, в которых пересекаются параллельные прямые. Там вообще все прямые пересекаются. Только там не решают никакой проблемы деления на нуль (такой проблемы вообще нет), а просто используют однородные координаты $(x:y:z)$ вместо $(\frac{x}{z};\frac{y}{z},1)$.

Так вот, в проективной плоскости, из-за введения "бесконечно удаленных точек" происходят следующие "разрушения":
1. Нельзя различить треугольники (правильные, равнобедренные и т.п.). Нельзя отличить трапецию от прямоугольника.
2. Нет понятия "окружность", она не отличается от эллипса, гиперболы, параболы.
3. Нельзя делить отрезки в данном отношении. Например, нет понятия "середина отрезка", более того, нет понятия "между", и нельзя сказать, что находится "внутри" а что "снаружи".
4. Нет понятия "площадь" и даже "отношение площадей".
и т.д. и т.п.

Ну как, нравится? Стоило ли ради этого "пересекать" параллельные прямые?

-- 24.10.2013, 10:33 --

Tall в сообщении #779393 писал(а):

korolev
а геометрия Лобачевского не на плоскости?

Ну, это что считать "плоскостью". Не на евклидовой плоскости. А может быть и в пространстве.

[Linkey]

Пока не знаю что на всё это возразить, буду думать.

(Оффтоп)

Я создал тему в "Свободном полёте", может быть вам интересно будет её почитать.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Linkey в сообщении #779410 писал(а):

Пока не знаю что на всё это возразить

Уже второй человек за поледние несколько дней — почему некоторых по прочтении сразу тянет возразить? Может, в итоге этого не будет, зачем загадывать наперёд?

[Sonic86]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #779394 писал(а):

А в геометрии этим "занимается" проективная геометрия:
...
Так вот, в проективной плоскости, из-за введения "бесконечно удаленных точек" происходят следующие "разрушения":
1. Нельзя различить треугольники (правильные, равнобедренные и т.п.). Нельзя отличить трапецию от прямоугольника.
2. Нет понятия "окружность", она не отличается от эллипса, гиперболы, параболы.
3. Нельзя делить отрезки в данном отношении. Например, нет понятия "середина отрезка", более того, нет понятия "между", и нельзя сказать, что находится "внутри" а что "снаружи".
4. Нет понятия "площадь" и даже "отношение площадей".
и т.д. и т.п.

Ну как, нравится? Стоило ли ради этого "пересекать" параллельные прямые?

Зато там есть принцип двойственности. Кроме того, можно основное линейное пространство варьировать. Позволяет не доказывать в евклидовой геометрии некоторые сложные теоремы типа Паппа, Паскаля, Брианшона и какие там еще бывают.
Нормальная теория, короче И к делению на нуль не относится, конечно.

[provincialka]

(Оффтоп)

согласна, проективная геометрия - прекрасная теория, изящная в своей общности и простоте. Но почему бы не попугать ТС-а? Вроде, подействовало.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ой! Я сюда ответил. Ну да ладно.

Я еще написать хотел ТС-у. Можете посмотреть книгу Ефимова Высшая геометрия. Там есть про геометрию Лобачевского, про геометрию Евклида и их аксиоматику, довольно конкретно, и не очень много.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #779330 писал(а):

В доказательстве Вы говорите, что если такие прямые пересекаются, то расстояние от общего перпендикуляра до точки пересечения равно $\frac{1}{\tg 0}$. Почему? $0$ здесь получается из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$? В таком случае здесь логическая ошибка. Теорема о сумме углов доказывается с использованием аксиомы о параллельных, поэтому использовать ее в доказательстве зависимости этой аксиомы нельзя.

А можно как-то попробовать доказать эту теорему без использования пятой аксиомы? Мне бы интересно было почитать это доказательство.



Вот ещё небольшое рассуждение. Пусть $\text{D}$ - расстояние между прямыми, точнее длина перпендикулярного отрезка (на рисунке она равна 1). В случае $\text{D}=0$, $\text{L}=\frac{0}{0}$. Насколько в математике всё ясно с делением нуля на ноль? Очевидно, $\frac{0}{0}$ - это совокупность всех вещественных чисел. Действительно, если $\text{D}=0$, то эти прямые "пересекаются" во всех своих точках.
Аналогично, может быть, $\text{АБ}$ - это совокупность из двух "сверхбесконечностей", одна положительная а другая отрицательная. Действительно, если представить что параллельные прямые пересекаются где-то в бесконечности, они должны пересекаться и в положительной, и в отрицательной бесконечности.

[Someone]

Linkey в сообщении #780305 писал(а):

А можно как-то попробовать доказать эту теорему без использования пятой аксиомы? Мне бы интересно было почитать это доказательство.

Какую теорему? О сумме углов треугольника? В школьном учебнике по геометрии.

[provincialka]

Someone, разве там "без использования"? Ведь эти два утверждения равносильны.

[Someone]

provincialka в сообщении #780340 писал(а):

Someone, разве там "без использования"? Ведь эти два утверждения равносильны.

Разумеется, с использованием.

Linkey в сообщении #780305 писал(а):

Очевидно, $\frac{0}{0}$ - это совокупность всех вещественных чисел.

Очевидно, что это глупость. Поскольку по определению частного это должно быть одно единственное число.

Linkey в сообщении #780305 писал(а):

Насколько в математике всё ясно с делением нуля на ноль?

"В математике" с делением на ноль ясно абсолютно всё.
Частное $\frac ba$ при делении двух действительных чисел — это такое действительное число $x$, что выполняется равенство $ax=b$. Если здесь $a=0$, $b\neq 0$, то это уравнение не имеет решений, поэтому никакого частного нет. Если $a=0$, $b=0$, то любое действительное число удовлетворяет этому уравнению, и у нас не получается определённого результата.
По этим причинам частное $\frac b0$ при $b\neq 0$ не существует, а при $b=0$ не имеет определённого значения. Поэтому деление на $0$ как арифметическая операция не имеет смысла.

Тем не менее, если Вам позарез хочется делить на $0$ — определяйте как хотите и делите на здоровье. При этом Вы лишитесь простых свойств арифметических операций, которыми мы пользуемся для преобразований всяких формул. Это будет Ваше личное деление на $0$. Никому, кроме Вас, оно не понадобится, поскольку совершенно не нужно, и при этом приводит к существенным и бесполезным усложнениям.

Linkey в сообщении #780305 писал(а):

Аналогично, может быть, $\text{АБ}$ - это совокупность из двух "сверхбесконечностей", одна положительная а другая отрицательная. Действительно, если представить что параллельные прямые пересекаются где-то в бесконечности, они должны пересекаться и в положительной, и в отрицательной бесконечности.

В евклидовой геометрии (а также в геометрии Лобачевского) никаких "бесконечностей" или "сверхбесконечностей" нет.

P.S. Кажется, я давал недавно ссылку на сообщение, где поясняется, почему так получается с делением на $0$.

[Linkey]

Предположим, мы имеем уравнение $y=0\cdot x$. Соответственно $x=\frac{y}{0}$. Если $y\neq 0$, $x$ не существует, а если $y=0$, x - это не одно число, а полная совокуность всевозможных чисел, от минус бесконечности до плюс бесконечности. Так мы получаем уравнение прямой - и горизонтальной, и вертикальной.

[Someone]

(Linkey)

Ну, охота Вам игнорировать все объяснения и продолжать дурью маяться — не смею мешать.

[master]

Someone в сообщении #779319 писал(а):

korolev в сообщении #779315 писал(а):

Сказать: параллельные прямые на плоскости - это такие две прямые, расстояние между которыми в любом месте равно константе $a$

Это неправильная формулировка. Таких прямых может вообще не существовать. Например, в геометрии Лобачевского таких прямых нет. Хотя параллельные прямые есть.

Это смотря с какой стороны заходить
Две линии есть параллельные если существует такое минимальное А и для любой точки с одной линии найдется точка с другой линии такая что длинна отрезка равна А. (геометрия master's)

[Someone]

master в сообщении #781627 писал(а):

Две линии есть параллельные если существует такое минимальное А и для любой точки с одной линии найдется точка с другой линии такая что длинна отрезка равна А.

Это верно в геометрии Евклида и неверно в геометрии Лобачевского.

master в сообщении #781627 писал(а):

геометрия master's

Вы хотите присвоить геометрию Евклида?