Можно ли доказать аксиому?

[Xaositect]

Neos в сообщении #778583 писал(а):

Как только произносится фраза "натуральный ряд", "плоскость" - уже практически используется понятие "актуальная бесконечность", как денежная купюра, или носовой платок По-моему, даже очень практически.

На самом деле, нет. Когда говорится "натуральный ряд" и "плоскость" - имеется в виду натуральный ряд и плоскость. А актуальная бесконечность - это философское понятие, математика и без него прекрасно живет.

[arseniiv]

Linkey в сообщении #778576 писал(а):

Значит, надо придумывать новые понятия.

Они и так есть. Элементы множества могут не все быть сравнимыми друг с другом — то есть, найдутся такие два, для которых нельзя сказать, какой меньше. Линейный порядок — когда из любых двух элементов один меньше другого — более частный случай, и более «ценный». Если добавлять к вещественной прямой какую-то АБ, придётся или получить неполный порядок, или вообще какое-то другое отношение (если АБ одновременно и больше, и меньше нуля) — и его свойства будут так же печальны, для сравнения чисел они пригодными не будут. Конечно, многие другие вещи и не сравнивают — например, точки плоскости — но там этого и не требуется.

Linkey в сообщении #778576 писал(а):

Я имел в виду такую: в ряду 1+0.5+0.25+0.125…(сумма ряда равна 2) бесконечное число членов.

Надеюсь, вы не впадаете в ошибку понимать этот ряд как какое-то бесконечное сложение, заканчивающееся результатом.

[Linkey]

Я не знаю, может быть для вас это всё банально, но на всякий случай скажу. Древние греки безуспешно пытались решать разные парадоксы, например с Ахиллом и черепахой, или кажется парадокс Зенона и т.д. Их проблема была в том, что не хватало понятийного аппарата. Так и здесь: чтобы решить эту задачу, нужно придумывать разные слова и понятия, только и всего.

Xaositect в сообщении #778582 писал(а):

Нет, сопротивление равно нулю. А ток - это заряд, протекающий через сечение проводника в единицу времени, он бесконечным быть не может.

Значит, в бесконечно малый отрезок времени он равен $\text{АБ}$. Можно ли что-нибудь из этого вывести?

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778599 писал(а):

Значит, в бесконечно малый отрезок времени он равен АБ.

Нет, в бесконечно малом промежутке времени ток все равно конечен, а протекающий заряд бесконечно мал.

-- Вт окт 22, 2013 17:41:15 --

Linkey в сообщении #778599 писал(а):

Я не знаю, может быть для вас это всё банально, но на всякий случай скажу. Древние греки безуспешно пытались решать разные парадоксы, например с Ахиллом и черепахой, или кажется парадокс Зенона и т.д. Их проблема была в том, что не хватало понятийного аппарата. Так и здесь: чтобы решить эту задачу, нужно придумывать разные слова и понятия, только и всего.

Минимум два века математики во многом тем и занимаются, что придумывают разные понятия. Вот, например, философское понятие бесконечности математиками было формализовано в разных контекстах разным образом - получились бесконечные множества, пределы, бесконечно удаленные точки. Бери и пользуйся. Не хочешь - придумывай другие понятия, но только чтобы ты мог другому человеку объяснить, что это за понятие и как с ним работать. Я Вам уже сказал - есть теорема: Если мы можем делить на нуль, то либо мы не можем раскрывать скобки, либо не можем вычитать, либо все равно нулю. Я могу расписать из каких законов логики она следует, эти законы мы тоже можем попытаться как-нибудь поменять. Интуиция мне подсказывает, что ничего удобного при этом не получится.

Кстати, на мой взгляд, основная проблема с парадоксами Зенона не в нехватке понятийного аппарата, а в непонимании соотношения между реальностью и моделью.

[arseniiv]

Linkey в сообщении #778599 писал(а):

Их проблема была в том, что не хватало понятийного аппарата. Так и здесь: чтобы решить эту задачу, нужно придумывать разные слова и понятия, только и всего.

Какую задачу и почему вы решили, что так и здесь? Есть и бессмысленные задачи, которые никогда нельзя решить — например, с помощью синего карандаша написать красную букву.

Складывается впечатление, что это вам бы помогло понятие предела (для начала конкретное, вокруг действительных чисел, которое приводят в начале книг по матанализу), а не математике понятие АБ.

[Deggial]

korolev в сообщении #778361 писал(а):

Если бы не океаны, то доказать аксиому о параллельных линиях вполне было бы возможно.

korolev, замечание за бредовое и малосодержательное высказывание

Linkey в сообщении #778563 писал(а):

Я пока не научился набирать формулы,

Linkey, предупреждение за неоформление формул $\TeX$ом.

[Linkey]

Хорошо. Тогда Вы можете понятно мне объяснить, почему мне не удалось доказать, что параллельные прямые никогда не пересекаются?


Здесь показано, что эти прямые должны пересекаться в точке $L= \frac{1}{\tg a} $. Если прямые параллельны, $\tg a=0$. Поскольку числа $\frac{1}{0}$ не существует, следовательно точки пересечения этих прямых тоже не существует.

Определение параллельных прямых: это две прямые; как минимум одна из точек второй из них не лежит на первой; угол между ними равен 0. Пространство плоское, Евклидово.

Связь между аксиомой о параллельных прямых и делением на ноль заключается в том, что мне потребовалось использовать число $\frac{1}{0}$ ($\text{АБ}$) для доказательства этой аксиомы.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Linkey
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

Я также напоминаю правила дискуссионного раздела

правила форума писал(а):

3. Дискуссионные темы

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ... Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

У Вас пока есть только определения, в то время как никаких утверждений, предлагаемых к дискуссии нет. Если Вы хотите обсудить предполагаемую связь между делением на нуль и параллельными прямыми, сформулируйте Ваши утверждения явно и целиком.

Linkey в сообщении #778519 писал(а):

Я могу предлагать идеи, а вы уж дальше сами решайте.

Идеи сами по себе предметом обсуждения в дискуссионном разделе быть не могут. Дополните свои идеи явными определениями и доказательствами.

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Тему я вернул, но, судя по тенденции, она скоро будет закрыта просто в связи со слишком низким уровнем дискуссии. Переместить тему в раздел "Помогите решить" я тоже не могу по понятным причинам

Linkey в сообщении #778616 писал(а):

Хорошо. Тогда Вы можете понятно мне объяснить, почему мне не удалось доказать, что параллельные прямые никогда не пересекаются?

Вы литературу пробовали читать на эту тему? На вопрос о том, почему нельзя доказать аксиому о параллельных в геометрии Евклида в литературе приведен почти явный ответ: некоторая система аксиом евклидовой геометрии в определенном смысле равносильна той же системе аксиом, в которой 5-й постулат Евклида заменён на постулат Лобачевского; геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере в 3-хмерном евклидовом пространстве, а геометрия Евклида - на некоторой поверхности в пространстве Лобачевского (если не ошибаюсь, эта поверхность называется эквидистантой)

Linkey в сообщении #778616 писал(а):

Здесь показано, что эти прямые должны пересекаться в точке $L= \frac{1}{\tg a} $. Если прямые параллельны, $\tg a=0$. Поскольку числа $\frac{1}{0}$ не существует, следовательно точки пересечения этих прямых тоже не существует.

Вы знаете, что такое доказательство? Посмотрите определение доказательства, проверьте, является ли это рассуждение доказательством. Обратите внимание на то, насколько оно "далеко" от доказательства.

Linkey в сообщении #778616 писал(а):

Определение параллельных прямых: это две прямые; как минимум одна из точек второй из них не лежит на первой; угол между ними равен 0. Пространство плоское, Евклидово.

Определение параллельных Вам проще скачать из интернетов и выучить хотя бы.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778616 писал(а):

Тогда Вы можете понятно мне объяснить, почему мне не удалось доказать, что параллельные прямые никогда не пересекаются?

Видно, что Вы надежно забыли школьную геометрию.

Обычное определение параллельных прямых на плоскости: Параллельными называются прямые, которые не пересекаются.
Обычное определение угла между прямыми: Угол между пересекающимися прямыми равен длине заключенной между этими прямыми дуги единичной окружности с центром в точке пересечения, угол между параллельными прямыми равен 0.

То есть для того, чтобы определить параллельные прямые как у Вас, нужно и углу между прямыми тоже дать другое определение, иначе см. сепульки.

Аксиома о параллельных: Для любой прямой $a$ и любой точки $B$, не лежащей на $a$, существует единственная прямая, содержащая точку $B$ и параллельная прямой $a$. Доказывать надо ее или какое-нибудь эквивалентное утверждение, а не то, что параллельные прямые не пересекаются.
Да, в неевклидовой геометрии, вопреки широко распространенному заблуждению, параллельные прямые тоже не пересекаются. Просто они могут не существовать или через точку может проходить много прямых, не пересекающихся с данной.

[Someone]

Linkey в сообщении #778616 писал(а):

Здесь показано, что эти прямые должны пересекаться в точке $L= \frac{1}{\tg a} $.

Извините, это в евклидовой геометрии так. А если геометрия не евклидова, то точка может оказаться совсем другой. Или вообще такой точки не будет, несмотря на то, что угол не равен $0$. И, как уже отметил Xaositect, совершенно не нужно доказывать, что параллельные прямые не пересекаются. Они просто определяются как не пересекающиеся.

У Лобачевского немного сложнее.
Пусть заданы прямая $l$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведём через $A$ всевозможные прямые. Их можно разделить на две группы:
1) пересекающие прямую $l$;
2) не пересекающие прямую $l$.
В группе 2) есть две "пограничные" прямые, которые "отделяют" группу 2) от группы 1). Их Лобачевский и называет параллельными прямой $l$. А остальные прямые группы 2) называются расходящимися с прямой $l$.

Deggial в сообщении #779197 писал(а):

геометрия Евклида - на некоторой поверхности в пространстве Лобачевского (если не ошибаюсь, эта поверхность называется эквидистантой)

Нет, она называется орисферой. А эквидистанта — это поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой плоскости (в двумерном случае — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой прямой).

[korolev]

Сказать: параллельные прямые на плоскости - это такие две прямые, расстояние между которыми в любом месте равно константе $a$

все равно, что сказать: начиная от рождения и до самой смерти Ваш рост не будет равен нулю

То есть пятый постулат чисто логический: если $a$ не ноль, то никак оно не может стать нулем.

[Someone]

korolev в сообщении #779315 писал(а):

Сказать: параллельные прямые на плоскости - это такие две прямые, расстояние между которыми в любом месте равно константе $a$

Это неправильная формулировка. Таких прямых может вообще не существовать. Например, в геометрии Лобачевского таких прямых нет. Хотя параллельные прямые есть.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #779212 писал(а):

Обычное определение угла между прямыми: Угол между пересекающимися прямыми равен длине заключенной между этими прямыми дуги единичной окружности с центром в точке пересечения, угол между параллельными прямыми равен 0.

Если вторая прямая проходит через точку $\text{B}$, не лежащую на первой прямой, можно её совместить с первой прямой - транслировать все её точки так, чтобы точка $\text{B}$ лежала на первой прямой. Тогда можно построить угол между этими прямыми (точка $\text{B}$ станет точкой пересечения).

Deggial в сообщении #779197 писал(а):

Вы литературу пробовали читать на эту тему? На вопрос о том, почему нельзя доказать аксиому о параллельных в геометрии Евклида в литературе приведен почти явный ответ: некоторая система аксиом евклидовой геометрии в определенном смысле равносильна той же системе аксиом, в которой 5-й постулат Евклида заменён на постулат Лобачевского; геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере в 3-хмерном евклидовом пространстве, а геометрия Евклида - на некоторой поверхности в пространстве Лобачевского (если не ошибаюсь, эта поверхность называется эквидистантой)

1) Можно привлечь интуицию, здравый смысл: очевидно что пространство Еквклида "лучше" чем пространство Лобачевского, более "рациональное". А то у вас получается, что Лобачевский доказал, что параллельные прямые всё-таки могут пересекаться.

2) Может быть, а помощью $\text{АБ}$ можно доказать, что в Евклидовой геометрии параллельные прямые никогда не пересекаются, а в геометрии Лобачевского - всегда пересекаются (т.е. доказать и пятую аксиому Евклида, и аксиому Лобачевского).

Deggial в сообщении #779197 писал(а):

Вы знаете, что такое доказательство? Посмотрите определение доказательства, проверьте, является ли это рассуждение доказательством. Обратите внимание на то, насколько оно "далеко" от доказательства.

Почитал Вики, пока не разобрался. Вы хотите чтобы я написал формальное доказательство?

Someone в сообщении #779230 писал(а):

Они просто определяются как не пересекающиеся.

Я пока использовал определение, если не ошибаюсь, из Евклида: можно провести прямую, перпендикулярную обоим этим прямым (составляющую с ними прямой угол). Я это назвал "угол между прямыми равен нулю".

[iifat]

Linkey в сообщении #778599 писал(а):

Их проблема была в том, что не хватало понятийного аппарата

Xaositect в сообщении #778600 писал(а):

основная проблема с парадоксами Зенона не в нехватке понятийного аппарата, а в непонимании соотношения между реальностью и моделью

Имхо, ни в том, ни в другом. Зенон первым увидел новую мысль: сумма бесконечного ряда может быть конечной. Охватить её полностью не сумел, но уже то, что он её увидел, заслуживает немалого уважения. Уже после исследования на эту тему привели к появлению нового понятийного аппарата.

Deggial в сообщении #779197 писал(а):

На вопрос о том, почему нельзя доказать аксиому о параллельных в геометрии Евклида ... ответ: ... геометрия Лобачевского

Что ж вы Римана забыли! Он, по-моему, свою геометрию разработал до Лобачевского.

-- 24.10.2013, 10:51 --

Linkey в сообщении #779323 писал(а):

Если вторая прямая

Товаришч! Когда Штирлиц порол чушь, она хотя бы громко визжала. А у вас ехидно хихикает. Несерьёзно это всё.

Linkey в сообщении #779323 писал(а):

А то у вас получается, что Лобачевский доказал, что параллельные прямые всё-таки могут пересекаться.

(Терпеливо) У нас, математиков, получается, что Лобачевский с Риманом, построив непротиворечивые системы аксиом геометрии, совпадающие с Евклидовой за исключением пятой, доказали независимость (сиречь недоказуемость и неопровергаемость) пятой от остальных четырёх. Попытайтесь же таки понять! Как доказать, что пятое, запасное колесо не участвует в движении машины? Выкинуть и попробовать поездить без него!