Можно ли доказать аксиому?

[Linkey]

Добавлю ещё про своё доказательство. Очевидно $\text{АБ}$ - это некое множество чисел, или каких-то других сущностей. Нужно доказать, что среди них нет ни одного числа, про которое можно сказать что "оно существует" (если не ошибаюсь такие числа называются вещественными).

[provincialka]

Ошибаетесь. Вещественные числа "существуют" не больше и не меньше, чем любые другие, хоть целые, хоть мнимые. Все они - абстракции.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #779323 писал(а):

Если вторая прямая проходит через точку $\text{B}$, не лежащую на первой прямой, можно её совместить с первой прямой - транслировать все её точки так, чтобы точка $\text{B}$ лежала на первой прямой. Тогда можно построить угол между этими прямыми (точка $\text{B}$ станет точкой пересечения).

Как определить такую трансляцию без использования аксиомы о параллельных?

Linkey в сообщении #779323 писал(а):

Я пока использовал определение, если не ошибаюсь, из Евклида: можно провести прямую, перпендикулярную обоим этим прямым (составляющую с ними прямой угол). Я это назвал "угол между прямыми равен нулю".

Только Вы об этом не написали. Итак, давайте зафиксируем понятия:
Вы хотите доказать, что две прямые, перпендикулярные заданной прямой и не совпадающие, не пересекаются. Это утверждение действительно эквивалентно аксиоме о параллельных.
В доказательстве Вы говорите, что если такие прямые пересекаются, то расстояние от общего перпендикуляра до точки пересечения равно $\frac{1}{\tg 0}$. Почему? $0$ здесь получается из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$? В таком случае здесь логическая ошибка. Теорема о сумме углов доказывается с использованием аксиомы о параллельных, поэтому использовать ее в доказательстве зависимости этой аксиомы нельзя.

Linkey в сообщении #779323 писал(а):

Почитал Вики, пока не разобрался. Вы хотите чтобы я написал формальное доказательство?

Желательно более формальное, чем то, что есть, потому что ошибка достаточно тонкая.

-- Чт окт 24, 2013 05:32:57 --

Linkey в сообщении #779327 писал(а):

Добавлю ещё про своё доказательство. Очевидно $\text{АБ}$ - это некое множество чисел, или каких-то других сущностей.

А определяли Вы ее как одно число:

Linkey в сообщении #778546 писал(а):

Назовём число $\frac{1}{0}$, например "Актуальная бесконечность"

Так все-таки, что такое эта ваша $\textrm{АБ}$?

[Linkey]

provincialka в сообщении #779329 писал(а):

Ошибаетесь. Вещественные числа "существуют" не больше и не меньше, чем любые другие, хоть целые, хоть мнимые. Все они - абстракции.

Если не ошибаюсь, когда решают уравнения третьей степени, получают три корня, из них часть вещественные и часть мнимые. Те которые мнимые, отбрасываются как "бредовые" решения. Чочу привести какую-нибудь аналогию из жизни, где применяется решение этих уравнений, но не хватает знаний.

[provincialka]

Почему "бредовые"? Нет. Бывает не так. Нужные числа указываются в условии задачи: решить в натуральных числах, найти вещественные решения и т.п.
Стоило ли разрабатывать целую теорию комплексных чисел, чтобы назвать их "бредовыми".

[Linkey]

Xaositect в сообщении #779330 писал(а):

В доказательстве Вы говорите, что если такие прямые пересекаются, то расстояние от общего перпендикуляра до точки пересечения равно $\frac{1}{\tg 0}$. Почему? $0$ здесь получается из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$? В таком случае здесь логическая ошибка.

Хорошо, а если бы как-то удалось доказать, что расстояние от общего перпендикуляра до точки пересечения равно $\frac{1}{\tg 0}$, это бы было новым словом в математике?

Xaositect в сообщении #779330 писал(а):

Так все-таки, что такое эта ваша $\textrm{АБ}$?

Поскольку 0 - число и не положительное и не отрицательное, и умножение на ноль даёт ноль, число $\text{АБ}$ - тоже и не положительное и не отрицательное. Или оно одновременно положительное и отрицательное? Его свойства близки к свойствам бесконечности.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #779352 писал(а):

Если не ошибаюсь, когда решают уравнения третьей степени, получают три корня, из них часть вещественные и часть мнимые. Те которые мнимые, отбрасываются как "бредовые" решения. Чочу привести какую-нибудь аналогию из жизни, где применяется решение этих уравнений, но не хватает знаний.

А это зависит от задачи, которая решается. Иногда требуется найти вещественные корни, иногда комплексные, а иногда вообще хочется это уравнение над телом обобщенных кватернионов решать.

-- Чт окт 24, 2013 10:06:09 --

Linkey в сообщении #779355 писал(а):

Поскольку 0 - число и не положительное и не отрицательное, и умножение на ноль даёт ноль, число $\text{АБ}$ - тоже и не положительное и не отрицательное. Или оно одновременно положительное и отрицательное? Его свойства близки к свойствам бесконечности.

Вы здесь не сказали ничего относящегося к тому, о чем я спрашивал. Вначале вы определил АБ как число, а потом сказали, что "очевидно $\text{АБ}$ - это некое множество чисел, или каких-то других сущностей." Я спросил, как эти Ваши высказывания соотносятся друг с другом.

Linkey в сообщении #779355 писал(а):

Поскольку 0 - число и не положительное и не отрицательное, и умножение на ноль даёт ноль, число $\text{АБ}$ - тоже и не положительное и не отрицательное. Или оно одновременно положительное и отрицательное?

Не бывает одновременно положительных и отрицательных чисел, я об этом уже говорил. Положительные числа - это те, которые больше нуля, отрицательные - те, которые меньше. Если число одновременно положительно и отрицательно, то оно меньше самого себя, что противоречит аксиомам порядка.

Linkey в сообщении #779355 писал(а):

Его свойства близки к свойствам бесконечности.

Давайте пока договоримся - в математике отдельного термина "бесконечность" нет. Оно употребляется только в каком-то контексте. Поэтому что такое "свойства бесконечности" я не знаю. Если хотите об этом говорить, то надо будет разобраться, какие именно свойства Вы имеете в виду.

Linkey в сообщении #779355 писал(а):

Хорошо, а если бы как-то удалось доказать, что расстояние от общего перпендикуляра до точки пересечения равно $\frac{1}{\tg 0}$, это бы было новым словом в математике?

Если доказать без аксиомы о параллельных - то это означало бы, что результат о независимости этой аксиомы неверен, геометрия противоречива, теория действительных чисел противоречива, все совсем плохо.

[Apoxa]

Linkey в сообщении #779323 писал(а):

...
... Лобачевский доказал, что параллельные прямые всё-таки могут пересекаться.

Ничего подобного Лобачевский не доказывал.
Параллельные прямые это те прямые которые не пересекаются. Точка! ничего доказывать не надо.
Если две произвольные прямые не пересекаются, то они называются параллельными, если нет - то пересекающимися. Тут нечего доказывать.
Проблема пятого постулата: Сколько прямых параллельных данной, можно провести через точку не лежащую на ней.
На этот вопрос может быть три ответа:
1 - ни одной прямой! - (геометрия Римана)
2 - только одну прямую - (геометрия Евклида)
3 - больше, чем одну прямую - (геометрия Лобачевского)
Эти геометрии уже смотрены пересмотрены не одним поколением математиков. Там все уже раскопано и доказано и все ответы имеются в учебниках.
Оказалось, что любую из этих геометрий можно применить для описания окружающего мира; более того, они включают каждая друг друга как частные случаи (геометрии определенных поверхностей). Иными словами все три - верны! А это значит - что пятый постулат - (о количестве прямых параллельных данной) - невозможно доказать.

[Linkey]

provincialka в сообщении #779354 писал(а):

Почему "бредовые"? Нет. Бывает не так. Нужные числа указываются в условии задачи: решить в натуральных числах, найти вещественные решения и т.п.
Стоило ли разрабатывать целую теорию комплексных чисел, чтобы назвать их "бредовыми".

Вспомнил: если надо найти точки пересечения прямой и окружности, решают систему квадратных уравнений, и получают либо два вещественных корня, либо мнимое число. Если мнимое - значит прямая и окружность не пересекаются (точек их пересечения не существует).

-- 24.10.2013, 09:44 --

Повторюсь: чтобы доказать, что прямая и окружность не пересекаются, надо показать что точка их пересечения - это мнимое число.

[Apoxa]

Linkey в сообщении #779375 писал(а):

Вспомнил: если надо найти точки пересечения прямой и окружности, решают систему квадратных уравнений, и получают либо два вещественных корня, либо мнимое число. Если мнимое - значит прямая и окружность не пересекаются (точек их пересечения не существует).

Вас никогда не интересовало, как это мнимое число соотносится со взаимным расположением этой прямой и окружности? Например, зависит ли его величина от расстояния от центра окружности до прямой? Может в другой постановке задачи оно имеет смысл? И отбрасывается оно лишь только потому, что в ДАННОЙ задаче не нужно?

Linkey в сообщении #779375 писал(а):

Повторюсь: чтобы доказать, что прямая и окружность не пересекаются, надо показать что точка их пересечения - это мнимое число.

Точка - не может быть числом.

[provincialka]

Lynkey ну и ладно. Причем тут это?
вернемся к основному вопросу. Вы не сможете "доказать", что прямые пересекаются, если придумаете, как делить на 0. Это будет другая теория, и то, что доказано в ней, не имеет отношения к нашей математике.

Только учтите, что добавив новый элемент, вы должны будете перестроить все остальные понятия, и потери будут неизмеримо больше, чем приобретения.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #779375 писал(а):

Повторюсь: чтобы доказать, что прямая и окружность не пересекаются, надо показать что точка их пересечения - это мнимое число.

Нет. То, что получается при решении этих уравнений - это не точка, а координата точки или какое-то расстояние. Оно по определению является действительным числом.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #779385 писал(а):

Нет. То, что получается при решении этих уравнений - это не точка, а координата точки или какое-то расстояние. Оно по определению является действительным числом.

Не понял. Когда находят точки пересечения прямой и окружности, решают систему квадратных уравнений, и получают два корня (точнее, четыре корня - две координаты для каждой из точек пересечения). Если эти корни вещественные, говорят что прямая и окружность пересекаются, если комплексные - говорят что не пересекаются.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #779389 писал(а):

Не понял. Когда находят точки пересечения прямой и окружности, решают систему квадратных уравнений, и получают два корня (точнее, четыре корня - две координаты для каждой из точек пересечения). Если эти корни вещественные, говорят что прямая и окружность пересекаются, если комплексные - говорят что не пересекаются.

Да. Но Вы написали "надо показать что точка их пересечения - это мнимое число." Это неверно. Надо доказать, что уравнения не имеют действительных решений. Для этого можно найти комплексные решения и выбрать действительные, а можно применить что-нибудь другое, например, вычислить дискриминант.

[korolev]

Someone в сообщении #779319 писал(а):

korolev в сообщении #779315 писал(а):

Сказать: параллельные прямые на плоскости - это такие две прямые, расстояние между которыми в любом месте равно константе $a$

Это неправильная формулировка. Таких прямых может вообще не существовать. Например, в геометрии Лобачевского таких прямых нет. Хотя параллельные прямые есть.

Я особо подчеркнул: параллельные прямые на плоскости.
То есть вариант геометрии Лобачевского не рассматриваю.