Показать, что нет наибольшего элемента

[popolznev]

provincialka в сообщении #778297 писал(а):

Нет, первый шаг - понять, какой круг можно считать максимальным. И круг наибольшего диаметра тут совсем не важен.

Вписать круг в квадрат - это самый естественный для этой задачи шаг к пониманию того, какие круги максимальны. То есть первый шаг в вашем первом шаге!

[angor6]

VAL
Наши точки зрения совпадают, по крайней мере, в том, что никакой круг не покрывает квадрата полностью.

-- 22.10.2013, 01:15 --

Я уже и не знаю, какой шаг следующий после того, как в квадрат вписан круг наибольшего диаметра. Ведь пытаясь добавить ещё круги, мы покрываем квадрат, а этого делать не надо, как мне сообщили. Где тогда бесконечное множество максимальных кругов?

[popolznev]

angor6, кстати, а где вы взяли эту задачку?

[angor6]

popolznev
А какой второй шаг? Существует несколько последовательностей кругов, которые покрывают квадрат (например, круг наибольшего диаметра и четыре круга по углам (уже пять максимальных кругов) и т. д.). Если круги, принадлежащие этим последовательностям, не пересекаются, то в каждой такой последовательности просто можно выделить максимальный круг. Но поскольку ни один из кругов не включает круги другой последовательности, то наибольшего круга (в моём понимании это "самый максимальный" круг) нет.

-- 22.10.2013, 01:22 --

popolznev
В одном из моих более ранних сообщений в этой ветке есть указание на источник задачи.

[popolznev]

Из Антоневича и Радько? Понятно, спасибо.

Вы опять "покрываете квадрат"? Зачем?

Какая разница, пересекаются круги или нет.

Наибольший элемент - тот, который больше всех (а вот максимальный - не то же самое), но в этой задаче ведь не спрашивают насчет наибольшего.

[VAL]

angor6 в сообщении #778300 писал(а):

Мне понятно, что наибольший элемент, если он существует, единственный и является максимальным. Однако, как пишется в том же учебнике, часто бывает, что наибольший элемент в упорядоченном множестве не существует, а максимальные элементы не существуют и их может быть много.

Уже лучше! Если лишнее "не" убрать

Цитата:

И я никого не собираюсь запутывать, упаси, Боже! Я спрашиваю, как это сделать: "Показать, что в этом упорядоченном множестве нет наибольшего элемента, но существует бесконечно много максимальных элементов. Найти все максимальные элементы"?

А мы пытаемся Вам помочь. Но по правилам форума (с которыми мы категорически согласны) нельзя решать задачу за Вас. Можно и нужно направить Вас в нужную сторону. Но если вы будете сопротивляться у нас ничего не получится

Цитата:

Давать свои определения математическим понятиям не буду, потому что сам изучаю математику, а не преподаю её другим...

Вас просили не "давать определения", а рассказать, как вы их понимаете. По-моему, проблема именно с этим.

Давайте проделаем еще одно простое упражнение.
Нарисуйте четыре круга:
один большой - a;
два маленьких, непересекающихся b и с, лежащих внутри a;
и кружочек d с сторонке.
Укажите в этом множестве минимальные и максимальные элементы. (Порядок определяется также как и в Вашей задаче.)

[angor6]

VAL

VAL в сообщении #778307 писал(а):

Давайте проделаем еще одно простое упражнение.
Нарисуйте четыре круга:
один большой - a;
два маленьких, непересекающихся b и с, лежащих внутри a;
и кружочек d с сторонке.
Укажите в этом множестве минимальные и максимальные элементы. (Порядок определяется также как и в Вашей задаче.)

Если рассматриваемое множество состоит только из этих четырёх кругов, то, по-моему, круг $a$ является максимальным по включению, круги $b$ и $c$ являются минимальными. Круг $d$ не является ни максимальным, ни минимальным.

Чувствую необычность... Дело в том, что с этими понятиями я встретился впервые. Могу очень грубо ошибиться. Если это так, то где прочитать, чтобы правильно понимать? Ведь не диаметры кругов мы сравниваем.

-- 22.10.2013, 01:48 --

popolznev

popolznev в сообщении #778306 писал(а):

Наибольший элемент - тот, который больше всех (а вот максимальный - не то же самое), но в этой задаче ведь не спрашивают насчет наибольшего.

Я совсем запутался тогда. Ведь в задаче как раз и требуется показать, что наибольшего элемента нет. А по-Вашему, круг наибольшего диаметра и есть наибольший элемент.

[iifat]

Может, попробовать с другой стороны? Вот квадрат. Вот внутре — круг. Вы можете построить больший в обсуждаемом смысле?

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778311 писал(а):

Если рассматриваемое множество состоит только из этих четырёх кругов, то, по-моему, круг $a$ является максимальным по включению, круги $b$ и $c$ являются минимальными.

Верно

angor6 в сообщении #778311 писал(а):

Круг $d$ не является ни максимальным, ни минимальным.

Неверно

[popolznev]

Цитата:

Ведь в задаче как раз и требуется показать, что наибольшего элемента нет.

Ой, пардон, пардон! В задаче действительно говорится: показать, что наибольшего нет. Я успел позабыть.

Цитата:

А по-Вашему, круг наибольшего диаметра и есть наибольший элемент.

Никоим образом. Я действительно написал "наибольший - тот, который больше всех", но слово "больше" здесь надо понимать не в физическом или геометрическом смысле, а в смысле того отношения порядка, которое мы рассматриваем в этой задачке. "Круг, который больше всех" в данном случае означает "круг который [вы уже сами догадались] все остальные". А такого круга, который [вы уже сами догадались] все остальные, в этой задачке действительно нет.

[angor6]

Ещё раз внимательно прочитал учебник. Нашёл и определение наибольшего элемента: "Элемент $M \in X$ называется наибольшим, если $x \prec M$ для любого $x \in X.$

Поскольку речь идёт об отношении включения, то, как я понимаю, значок $\prec$ нужно заменить на $\subset.$

-- 22.10.2013, 02:03 --

popolznev
Значит, круг $d$ является и максимальным, и минимальным... Хотя с какими кругами он состоит в отношениях?

-- 22.10.2013, 02:05 --

popolznev
Вот я и исходил из того, что существует бесконечное множество кругов, включающих в себя круги меньшего диаметра (значит, максимальных), но среди них нет того, который включал бы в себя все круги (значит, наибольшего). Так в чём же нелепость моих рассуждений?

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778317 писал(а):

существует бесконечное множество кругов, включающих в себя круги меньшего диаметра (значит, максимальных)

Нет. Максимальный - это не тот, который включает в себя меньшие круги, а тот, который не содержится в больших.

[angor6]

Xaositect
Стало быть, круг $d$ является и максимальным и минимальным? А по отношению к каким кругам, если всё множество состоит из четырёх кругов $a,~b,~c,~d$?

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778319 писал(а):

Стало быть, круг $d$ является и максимальным и минимальным? А по отношению к каким кругам, если всё множество состоит из четырёх кругов $a,~b,~c,~d$?

Что Вы имеете в виду "по отношению к каким кругам"? $d$ максимален в множестве всех кругов с заданным отношением. Это следует из определения, которое Вы приводили (потому что единственный круг, который сравним с $d$ --- это он сам)

[angor6]

Xaositect
Спасибо за пояснение. Значит, сначала для решения задачи нужно вписать в квадрат круг наибольшего диаметра. Если он не содержится в круге большего диаметра, то он наибольший. Это так. Один максимальный круг есть. Но как показать существование бесконечного числа максимальных кругов? Остальные круги, не пересекающиеся с первым, ведь не имеют наибольшего диаметра, а значит, среди них нет максимального.