Почему волновая функция комплексна?

[Munin]

А что, Кадомцев так и сказал "черти-что"? В рецензированной публикации?

[druggist]

(Оффтоп)

Я про "намерения"

[Munin]

Это мы уже обсуждали. Маразм физика хватил на том месте.

[Non-math]

В 1959 г. было показано, что в квантовой механике возможны три типа гильбертовых пространств:
вещественное, комплексное и кватернионное.
Finkelstein D., Jauch J.M., Speiser D. Zur Frage der La dungsquantisierung. - Helvetica Physica Acta, 1959, v. 32, p. 258-260.

В 1960-1962 годах была построена формулировка в квантовой механике с вещественным гильбертовым пространством.
Stuekelberg E.C.C. Quantum theory in real Hilbert space - Helvetica Physica Acta, 1960, v. 33. p. 727-752;
Stuekelberg E.C.C. Cuenin M. I. Quantum theory in real Hilbert space - Helvetica Physica Acta, II. -1961, v. 34, p. 621-628;
Stuekelberg E.C.G.. Piron G. Ruegg H.I. Quantum theory in real Hilbert space - Helvetica Physica Acta, III. 1961, v. 34, p. 675-698;
Stuekelberg E.C.C. Cuenin M. I. Quantum theory in real Hilbert space - Helvetica Physica Acta, IV. 1962. v. 35, p. 673-695.

+ см Теорему ГНС (1943) - Гильбертово пространство и волновые функции ненужны.

[Munin]

Вы уверены, что правильно всё поняли? Из того, что возможна формулировка квантовой механики с вещественным гильбертовым пространством, ещё не следует, что это та самая наша квантовая механика. Может, это игрушечная теоретическая модель.

[Non-math]

Это не альтернативная теория и не toy-model. Эта та самая квантовая механика, но в более современном изложении, используя формализм операторных алгебр.

Пара цитат про ГНС из книги Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и КТП (Мир 1976):
Стр. 7: Ныне мы достигли такого уровня понимания, при котором нам нет необходимости ограничивать теорию жесткими рамками одного гильбертова пространства: для описания различных физических ситуаций необходимы представления в различных гильбертовых пространствах, и мы уже знаем, как построить представление, соответствующее той или иной физической ситуации.
Стр. 104: мы хотели бы подчеркнуть, что конструкция Гельфанда — Наймарка — Сигала вносит в физическую теорию совершенно новую идею, полностью отсутствовавшую в традиционном формализме квантовой теории (излагаемой, например, в духе Дирака). Эта идея состоит в том, что гильбертово пространство, в котором наблюдаемые действуют как операторы, не является неотъемлемой принадлежностью ни теории, ни даже изучаемой моде; и, а так же, как в формализме Купмана классической статистической механики, зависит от состояния или способа приготовления исследуемой системы.

[Munin]

Non-math в сообщении #778010 писал(а):

Эта та самая квантовая механика, но в более современном изложении

Тогда она должна быть и математически эквивалентна, а другой тип гильбертова пространства этому противоречит.

[Non-math]

The other type of Hilbert space does not exist.
The complex Hilbert space of complex dimension D corresponds to the real Hilbert space of real dimension 2D.
The complex Hilbert space of infinite complex dimension corresponds to the real Hilbert space of real infinite dimension.
But it is not so simple since we use the operator algebra.

[Munin]

Если вы всего лишь о том, что можно любое комплексное измерение заменить на два действительных, так это банальность. Даже с операторной алгеброй.

-- 21.10.2013 20:41:57 --

Пишите $D$, $2D$. А то иначе получается "2D" - "двумерный".

[Mopnex]

Non-math в сообщении #778010 писал(а):

Это не альтернативная теория и не toy-model. Эта та самая квантовая механика, но в более современном изложении, используя формализм операторных алгебр.

Пара цитат про ГНС из книги Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и КТП (Мир 1976):
Стр. 7: Ныне мы достигли такого уровня понимания, при котором нам нет необходимости ограничивать теорию жесткими рамками одного гильбертова пространства: для описания различных физических ситуаций необходимы представления в различных гильбертовых пространствах, и мы уже знаем, как построить представление, соответствующее той или иной физической ситуации.
Стр. 104: мы хотели бы подчеркнуть, что конструкция Гельфанда — Наймарка — Сигала вносит в физическую теорию совершенно новую идею, полностью отсутствовавшую в традиционном формализме квантовой теории (излагаемой, например, в духе Дирака). Эта идея состоит в том, что гильбертово пространство, в котором наблюдаемые действуют как операторы, не является неотъемлемой принадлежностью ни теории, ни даже изучаемой моде; и, а так же, как в формализме Купмана классической статистической механики, зависит от состояния или способа приготовления исследуемой системы.

Ага, есть ещё такая книга - Браттели У., Робинсон Д. - Операторные алгебры и квантовая статистическая механика .
В 70-е это направление в определённых кругах считалось сверхперспективным, но потом, говорят, всё заглохло.

[Munin]

Mopnex в сообщении #778205 писал(а):

В 70-е это направление в определённых кругах считалось сверхперспективным

В чём суть направления-то, расшифровать можете?

[fizeg]

Цитата:

Вот любопытно. "Современный" чаще всего используют в смысле "Новый, пришедший на смену старому". Можно ли назвать в таком смысле формализм, который явно не вытеснил старый в мейнстриме?

Munin
Как я понял, взглянув по-быстрому, совсем вкратце, если есть алгебра наблюдаемых и одно состояние (точнее матрица плотности) определяемое как положительный линейный функционал на этой алгебре (сопоставляющий наблюдаемой ее матожидание $\omega_\rho(\hat{A})=\operatorname{Tr}(\rho\hat{A})$), мы можем построить все гильбертово пространство. Я еще не понял насчет единственности такой конструкции с точки зрения физических величин.

А еще не понял, в чем счастье (кроме облегчения доказательства каких-нибудь все/бессильных теорем) Надо разбираться, может Mopnex что-нибудь популярно обьяснит ?

[warlock66613]

Non-math в сообщении #778010 писал(а):

Пара цитат про ГНС из книги Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и КТП

Рискну высказать предположение, что такой подход связан с несепарабельностью "большого" гильбертого пространства в КТП, и позволяет фактически использовать разные его сепарабельные подпространства в разных ситуациях. Если так, то это немного в стороне от обсуждаемой темы.

[Non-math]

warlock66613 в сообщении #778403 писал(а):

Если так, то это немного в стороне от обсуждаемой темы.

Это развивалось не только с прицелом на КТП, но и квантовую стат. механику. При этом изменило современную формулировку КМ. Об обсуждаемой теме - ВФ вспомогательное понятие в КМ.

fizeg в сообщении #778325 писал(а):

А еще не понял, в чем счастье (кроме облегчения доказательства каких-нибудь все/бессильных теорем)

Локальное счастье в вопросе о том, почему волновая функция комплексна, в том что ВФ не нужна ни вещественной, ни комплексной. О глобальном счастье вне форума, ниже.

Mopnex в сообщении #778205 писал(а):

В 70-е это направление в определённых кругах считалось сверхперспективным, но потом, говорят, всё заглохло.

Это не заглохло, а изменило направление с КТП на КМ, и привело к доказательству в 1976 годы строгой теоремы об общем виде уравнений эволюции во времени квантовых состояний и квантовых наблюдаемых. Эти два уравнения обычно называют уравнениями Линдблада (1 - для состояний; 2 - для наблюдаемых). Они и является современным заменителем уравнения Шредингера (и уравнения фон Неймана) для квантовых состояний и уравнения Гейзенберга для квантовых наблюдаемых. Данные уравнения для статистического оператора, а не уравнение Шредингера и волновые функции, являются основными в современной квантовой механике, особенно последние 10 лет.

Общий вид уравнения получается при наложении самых общих ограничений на эволюцию квантовых состояний. На статистический оператор (оператор матрица плотности) накладывались выполнение для любого $t\ge 0$ лишь три требования: (1) $\rho^{\dagger}(t)= \rho$; (2) $\rho (t) \ge 0$; (3) $\operatorname{Tr} [\rho(t)]=1$. Правда в исходной теореме (1976) несколько усилили второе требование: вместо неотрицательности использовали вполне-положительность.

Lindblad G., On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math. Phys. 48 (1976) 119.
Attal S., Joye A., Pillet C.-A., Open Quantum Systems: The Markovian Approach. (Springer, 2006)
http://en.wikipedia.org/wiki/Lindblad_equation

[MeV]

Non-math в сообщении #778499 писал(а):

Это не заглохло, а изменило направление с КТП на КМ, и привело к доказательству в 1976 годы строгой теоремы об общем виде уравнений эволюции во времени квантовых состояний и квантовых наблюдаемых.

Я бы не стал ставить знак равенства между статистической квантовой механикой и квантовой механикой. Это все равно что сравнивать термодинамику с кинетической теорией. Как термодинамика смогла установить общие ограничения на пути эволюции систем, не в даваясь в подробности того, как системы устроены на микроуровне, так и уравнения Линдблада (обобщенное описание Марковского процесса) описывает эволюцию квантовой системы. Термодинамику кстати разработали еще до создания кинетической теории в эпоху понятия теплорода. Теперь мы знаем, что теплорода нет, но выводы термодинамики от этого не пострадали, так как математически были строго доказаны. Так и уравнения Линдблада это не квантовая механика, а рабочий инструмент как и термодинамика.

И как оказалось, что не все законы термодинами следуют из кинетической теории. Закон возрастания энтропии (необратимость) не следует из законов механики. Больцман с Пуанкаре так и не достигли согласия. Больцман считал порядок просто менее вероятным чем беспорядок, а Пуанкаре в ответ доказал теорему о возврате.

Идея применения понятия Марковского процесса для КМ на основании отсутствия в ней скрытых параметров подкупает своей смелостью, но как то не до конца убеждает в правомочности ее применения. Логически все верно, но наша логика или интерпретация всегда имела проблемы с КМ. Даже если уравнения Линдблада можно применять, они только описывают эволюцию КМ системы, но не объясняют причин.