Сопряженные числа

[geomath]

А содержательно что все это значит?

[ИСН]

В некотором смысле, "на самом деле" это банальные комплексные числа, а А и Б - кубические корни из 1.

[STilda]

Цитата:

А содержательно что все это значит?

Не понял вопроса.

Непонятно как тут ввелось понятие сопряженных чисел.

Цитата:

В некотором смысле, "на самом деле" это банальные комплексные числа, а А и Б - кубические корни из 1.

Да, похоже, чем-то. В плане умножения. Но в сложении не похоже. Впрочем можно привести в пример и другую алгебру чисел, не сводящуюся к комплексным числам. Но это будет другой топик уже... Может и более интересный, чем сопряженные числа )).

[ИСН]

STilda писал(а):

Да, похоже, чем-то. В плане умножения. Но в сложении не похоже.

Что значит не похоже? Если A и Б - это означенные корни, т.е. $-{1\over 2}\pm{\sqrt{3}\over 2}i$, а С - это 1, то как раз и будет

STilda писал(а):

По сложению: А+Б+С=0.

[STilda]

В приведенной мой алгебре, А, Б, С попарно не складываются впринципе, как (+) и (i) в комплексных числах. Кубические корни из 1 же складываются. Тоесть как минимум разная физическая интерпретация будет, (если будет).
Ну и можно другую алгебру сочинить, там такой аналогии нельзя будет провести.
(немножко отклонились от темы, ну ничего)

P.S. Про алгебры чисел мы затеяли разговор в http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9024

[tolstopuz]

STilda писал(а):

В приведенной мой алгебре, А, Б, С попарно не складываются впринципе, как (+) и (i) в комплексных числах.

А разве А и Б не дают в сумме -С?

[STilda]

tolstopuz писал(а):

А разве А и Б не дают в сумме -С?

Так у меня нет такого качества как "минус" в алгебре. Можно лишь мысленно найти аналогию что набор качеств $A+B$ работает как $-C$, потому что $(A+B)+C=0$.
И это только привычка мышления, что если есть "мнимая" единица А, то обязательно должна быть двойственная к ней (-А) и такая, что А+(-А)=0.

[AD]

STilda писал(а):

И это только привычка мышления, что если есть "мнимая" единица А, то обязательно должна быть двойственная к ней (-А) и такая, что А+(-А)=0.

Это аксиома группы. Поскольку вы строили неформально, то мы это сами додумали. Оказалось, неправильно. Но тогда то, что вы нагородили - это не алгебра и не поле (просто потому, что в кольцах (а значит, и в полях и в алгебрах) аксиоматизировано существование -А, а вы нам минус писать не даете). Из вашего построения мне, например, не понятно, рассматриваете ли вы числа вида "(-1)А", или коэффициенты предполагаются положительными.

[STilda]

Вижу, что тема постепенно переходит в ту что я назвал "Иные поля чисел". И последнии посты стоило поместить именно туда. Так что в дальнейшем на эту тему наверно давайте там и говорить.

AD писал(а):

STilda писал(а):

И это только привычка мышления, что если есть "мнимая" единица А, то обязательно должна быть двойственная к ней (-А) и такая, что А+(-А)=0.

Это аксиома группы. Поскольку вы строили неформально, то мы это сами додумали. Оказалось, неправильно. Но тогда то, что вы нагородили - это не алгебра и не поле (просто потому, что в кольцах (а значит, и в полях и в алгебрах) аксиоматизировано существование -А, а вы нам минус писать не даете). Из вашего построения мне, например, не понятно, рассматриваете ли вы числа вида "(-1)А", или коэффициенты предполагаются положительными.

Я использовал немного новое понятие "качество числа". Положительность, отрицательность, мнимость, минус мнимость - это качества чисел (стоило сюда и ноль приписать и единицу, но не буду еще). Есть еще и количественная сторона числа. В группе по сути постулируется существование нейтрального качества и существование противоположного качества. Чтоб построить поле чисел сначала постулируют законы отношений между качествами. Потом качествами "награждают" количества и начинают слаживать, умножать, извлекать корни и так далее... А я вот взял и убрал из законов взаимодействия качественных единиц принцип парной компенсации ( А+Б=0 (по сути Б это противоположное А качество) ), и вообще хочу рассмотреть поля чисел с тремя качествами. У меня в поле некое число будет компенсироваться только двумя, а не одним. Это моя новая аксиома. Врядли кто-то запретит ее ввести, если она не будет противоречить остальным аксиомам конструкции. Аксиомы я перечислял выше, в виде правил взаимодействия трех качеств. Там есть и нейтральные элементы - С для умножения и 0 для сложения. Только количество качеств (качественных единиц) получится больше чем в действительных числах, но меньше чем в комплексных. (Комлексные числа удвоили количество качественных единиц из-за привычки мышления. Есть процедуры удвоения всякие. Тоже из-за нее.)
Поэтому нету в таком "тройном" поле такой записи как (-1)А, -А1. Есть А5, (А+Б)2, С3, ... Тут 5, 2, 3 несут только количество, без качества, а их качество пишется рядом. Это полностью аналогично обычным полям. Мы пишем +3, 4i, -5i, 3i+(-2) ... (Прошу не путать знак операции сложения со знаком плюс перед числом, означающем его положительность, тоесть качество (мы его опускаем где возможно)). Для "тройного" поля характеристика "отрицательности" числа также неопределена как и "мнимости" для действительного числа.

AD писал(а):

не понятно, рассматриваете ли вы числа вида "(-1)А", или коэффициенты предполагаются положительными.

В свете вышесказанного комментария, у меня коэффициенты будут и не отрицательные и не положительные (и не мнимые, ...). Они будут натуральными числами, тоесть беcкачественными. (натуральность не в смысле того, что они не дробные.)

P.S. Не знаю, на сколько мне удается понятно изложить мысль.
И еще, это не я все выдумал. Есть Теория Многополярности Ленского В.В. Это все оттуда. А я пытаюсь ее освоить.

P.P.S. В этом топике хотелось бы услышать мысли по поводу того, по каким аналогиям можно ввести понятие сопряженных чисел в таком "тройном" поле.

[Руст]

STilda писал(а):

P.P.S. В этом топике хотелось бы услышать мысли по поводу того, по каким аналогиям можно ввести понятие сопряженных чисел в таком "тройном" поле.

Под сопряжением всегда понимается автоморфизм s, квадрат которой совпадает с тождественным автоморфизмом.

[AD]

STilda писал(а):

Я использовал немного новое понятие "качество числа".

А на определение можно взглянуть?

Добавлено спустя 11 минут 40 секунд:

STilda писал(а):

А я вот взял и убрал из законов взаимодействия качественных единиц принцип парной компенсации ( А+Б=0 (по сути Б это противоположное А качество) ), и вообще хочу рассмотреть поля чисел с тремя качествами. У меня в поле некое число будет компенсироваться только двумя, а не одним.

То есть картинка такая, что типа три луча в три стороны от нуля расходятся? Или просто одна восьмая трехмерного пространства?

Нет, надо формально строить, так не честно.
Предложите хоть какой-нибудь вариант.

Давайте я за вас начну, в меру своего понимания.

Рассматривается множество $\widetilde{\mathbb{S}}=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$. На нем отношение эквивалентности $=$, операции $+$ и $\cdot$, определяемые по правилу
$x=y \Leftrightarrow ...$
$x+y=...$,
$x\cdot y=...$
(здесь выписываются формулы)
итд.

Руст писал(а):

Под сопряжением всегда понимается автоморфизм s, квадрат которой совпадает с тождественным автоморфизмом.

А вот у STildы не квадрат, а куб наверное

[Руст]

AD писал(а):

Руст писал(а):

Под сопряжением всегда понимается автоморфизм s, квадрат которой совпадает с тождественным автоморфизмом.

А вот у STildы не квадрат, а куб наверное

Если куб автоморфизма s тождествен, а сам нет, то собственные значения кубические корни от 3 - комплексные и поэтому над R не будут собственных подпространств. Конечно можно ввести повороты на 120 градусов в плоскости или циклические перестановки в 3 мерном пространстве (x,y,z) -->(y,z,x), однако вряд ли их можно назвать полноправными сопряжениями.

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

Я использовал немного новое понятие "качество числа".

А на определение можно взглянуть?

Так я назвал такие характеристики как:
- для действительных чисел: положительность, отрицательность, (ноль).
- для комплексных еще к этим прибавить: мнимую единицу, минус мнимую единицу.
... ( ну и так дальше ) ...
- для кватернионов будут свои: i, j, k, +, -, -i, -j, -k, 0.
- для квадрогиперболических - свои. в гиперкомплексных тоже от подобного отталкиваются. в пространственных комплексных числах (Елисеев) - свои.
Эти качества (полярности) рассматриваются отдельно от количества потому, что в поле (кольце, группе и т.д.) всегда задаются правила взаимодействий между ними, и эти правила действую паралельно с правилами количественных преобразований. И возможности системы зависят именно от правил взаимодействий качеств, это как-бы ядро системы.

AD писал(а):

То есть картинка такая, что типа три луча в три стороны от нуля расходятся? Или просто одна восьмая трехмерного пространства?

Геометрическая интерпретация - это дело вкуса и удобства. Как хотите так и изображайте. Нужно конечно следить за адекватностью аналогий. Например. Почему мы отрицательную полуось направили противоположно положительной? Почему не перпендикулярно? Подумаешь, был бы у нас первая (или какая она там) четверть плоской декартовой системы координат вместо оси. Но это было бы не адекватно по свойствам. Точка в такой четверти подразумевала б (с позиций зрения) наличия сразу двух свойств и положительности и отрицательности (по горизонтальной полуоси и по вертикальной соответственно). Но действительное число может иметь только одно из этих свойств. Либо +5, либо -5 (ноль сей час не в счет). Потому адекватнее изобразить точкой на оси, либо в положительной либо в отрицательной половине.
Для комплексных чисел - можно и плоскость. Тут, заметьте, точка может лежать только в одной из четвертей (с позиций зрения), что адекватно (с позиций алгебры) тому, что может быть 1+i, -i-3, -i+4, 2-i, (одновременно два качества, но не больше!).
У меня выполняется (A)+(B)+(C)=(0). Тоесть в числе не может быть сразу три качества (A), (B), (C). Потому что (2A)+(3B)+(1C)=(A)+(2B). (Аналог (+2)+(-1)=(+1)).
Исходя из таких рассуждений, кажется более адекватно считать, что это три луча в плоскости в разные стороны расходятся от нуля.

AD писал(а):

Нет, надо формально строить, так не честно.
Предложите хоть какой-нибудь вариант.

Я предложил полную модель в конце страницы 1 этого топика. Все правила заданы. Количественная сторона операций - класическая.
Например в таком поле будет:
(2А+3Б)*(1А+1С)=2А*А+3А*Б+2А*С+3Б*С=2Б+3С+2А+3Б=2А+5Б+3С=3Б+1С
Операцию деления я вводил как в комплексных числах через умножение числителя и знаменателя на сопряженные числа. Заметьте, по сложению группа трехполярная по умножению осталась двухполярная (если дробь обычная, один обратный элемент). (Такого у Ленского не встречал, может это некорректно?.)

Про сопряженные числа, Русту спасибо, но сам пока не думал.

[Руст]

STilda писал(а):

[Например в таком поле будет:
(2А+3Б)*(1А+1С)=2А*А+3А*Б+2А*С+3Б*С=2Б+3С+2А+3Б=2А+5Б+3С=3Б+1С

Если это верно для всех А, Б, С из данного "поля", то такое "поле" состоит только из одного 0.

[STilda]

Руст писал(а):

Если это верно для всех А, Б, С из данного "поля", то такое "поле" состоит только из одного 0.

Нужно правильно понимать что такое А Б и С. Это вместо (+) и (-) перед действительными числами.