Мощность подмножеств натурального ряда

[Someone]

У иррациональных периодичности не должно быть. Периодическая $m$-ичная дробь (в системе счисления с любым основанием $m$) — это признак рационального числа. Его можно вычислить по формуле суммы геометрической прогрессии. (Период может состоять из одной цифры $0$.)

[science88]

Someone в сообщении #776968 писал(а):

Его можно вычислить по формуле суммы геометрической прогрессии.

Получается что не везде будет прогрессия. Для числа
$0.1=0.0001100110011...=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}+...$
прогрессия не наблюдается.

[Someone]

Вы не туда смотрите. Круглыми скобками выделен период дроби.

$$0{,}1_{10}=0{,}0(0011)_2=\frac 3{2^5}+\frac 3{2^9}+\frac 3{2^{13}}+\ldots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac 3{32}\cdot\left(\frac 1{16}\right)^k=\frac{\frac 3{32}}{1-\frac 1{16}}=\frac 3{32}\cdot\frac{16}{15}=\frac 1{10}$$

У Вас прогрессия получится, если объединить слагаемые попарно.

[science88]

Someone в сообщении #776568 писал(а):

1) Доказать, что класс $\mathfrak G$ счётный.

Разобьем наш класс $\mathfrak G$ (у которого подмножества с конечным дополнением) на группы:

0)натуральный ряд;
1)$N\backslash\{1\},N\backslash\{2\}...$;
2)$a)N\backslash\{1,2\},N\backslash\{1,3\}...;b)N\backslash\{2,3\},N\backslash\{2,4\}...;c)...$;
$3)a)N\backslash\{1,2,3\},N\backslash\{1,2,4\}...;b)N\backslash\{2,3,4\},N\backslash\{2,3,5\}...;c)...;$
...................
0)Представляет собой единичный элемент в классе $\mathfrak G$;
1)Элементы группы нумеруются натуральным рядом в полном соответствие;
2)$a$)Соответствие $n\leftrightarrow n-1$; $b$)$n\leftrightarrow n-2;$c$)n\leftrightarrown-3; $d$)...$;
Количество подгрупп ($a,b,c,d...$) в группе 2 - счётное количество, так как их можно занумеровать. Число $x$ в $N\backslash\{x,y\}$ не изменяется в пределах подгруппы, им и будем нумеровать количество подгрупп.
3)$a$)$n\leftrightarrown-2;$b$)n\leftrightarrown-3....$
Здесь тоже самое, группа есть объединение подгрупп (каждая из подгрупп является счётной), количество которых - счётное.
.......................

$$\mathfrak G=0\cup 1\cup 2\cup 3\cup....$$

$$2=2a\cup 2b\cup 2c\cup....$$

$$3=3a\cup 3b\cup 3c\cup....$$

$$............$$

Количество групп - счётное. Группы можно нумеровать по количеству элементов в дополнение у подмножеств натурального ряда ($n\leftrightarrow n-1$).

Осталось доказать, что объединение счётных множеств есть счётное множество. Это можно сделать составив таблицу и используя диагональный метод нумеровать элементы.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

science88, наберите все формулы и термы $\TeX$ом нормально. Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов. Посмотрите, как писать фигурные скобки. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[science88]

Как можно доказать несчетность класса $\mathfrak B$? Возможно, вначале не делая отображения в [0,1). Если разбить класс $\mathfrak B$ на группы:
1)$\{0\},\{1\},\{2\}...$;2)$\{2,4,6...\}$; $\{1,3,5...\}$; 3)$a)N\backslash\{2^k\},k \in\mathbb N,\mathbb Z_+;b)N\backslash\{3^k\}....$; 4)$N\backslash\{2^{k+1}\}....$
то я не смогу их пересчитать (перенумеровать)? Можно ли это доказать?

[Someone]

science88 в сообщении #777041 писал(а):

Разобьем наш класс $\mathfrak G$ (у которого подмножества с конечным дополнением) на группы:
…
Количество групп - счётное. Группы можно нумеровать по количеству элементов в дополнение у подмножеств натурального ряда ($n\leftrightarrow n-1$).

Как доказательство счётности $\mathfrak G$ не пойдёт. Ваше разбиение настолько сложно, что Вы не смогли его внятно объяснить.
Давайте попробуем попроще. Пусть подкласс $G_0$ включает только натуральный ряд $\mathbb N$, а для $n\in\mathbb N$ пусть $G_n$ включает те подмножества натурального ряда, для которых наибольшее не входящее в них число равно $n$: $G_n=\{M\subseteq\mathbb N:n\notin M\wedge\forall m>n(m\in M)\}$. Конечно, надо подсчитать, сколько элементов в каждом $G_n$, убедиться, что $\mathfrak G=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}G_n$, после чего уже нетрудно перенумеровать все элементы $\mathfrak G$.

science88 в сообщении #777252 писал(а):

Как можно доказать несчетность класса $\mathfrak B$?

В смысле, $\mathfrak P$? Мы, вроде бы, доказательство из Колмогорова и Фомина пытаемся дополнить, а там $\mathfrak P$.
А зачем Вам нужно доказывать его несчётность? Это для данной задачи не нужно.
Если Вас это доказательство интересует, мы его можем потом разобрать.

[science88]

Я ввел свои обозначения. Я разделил класс на группы. В пределах группы одинаковое xyz... . Которое есть дополнением подмножеств $N\backslash\{xyz...\}$. Разбивая таким образом я пройдусь по всему натуральному ряду. Но так как за нулевую группу 0) я принял натуральный ряд, то мне надо его присоединить к общему объединению групп (объединение и будет классом $\mathfrak G$). То есть чтобы доказать счётность объединения групп и установить соответствие надо $n\leftrightarrow n-1$.

-- 19.10.2013, 19:25 --

Someone в сообщении #777298 писал(а):

В смысле, $\mathfrak P$? Мы, вроде бы, доказательство из Колмогорова и Фомина пытаемся дополнить, а там $\mathfrak P$.
А зачем Вам нужно доказывать его несчётность? Это для данной задачи не нужно.
Если Вас это доказательство интересует, мы его можем потом разобрать.

Да, $\mathfrak P$. Ошибочка там. Для задачи доказывать не надо. Просто сложилась зрительная иллюзия что класс $\mathfrak P$ может быть счётным. Хотелось бы наглядно посмотреть (так как это видно в доказательстве несчетности вещественных чисел), что $\mathfrak P$ - несчётный. Или наглядности не получится....

[science88]

У меня в доказательстве тройной цикл получился:
I)вначале доказывается счётность элементов в подгруппе;
II)далее доказывается что количество подгрупп - счётное;
Пункты I) и II) повторяем для каждой группы.
III)и в конце доказывается что количество групп - счётное.
Поэтому так сложно для понимания.

-- 19.10.2013, 21:27 --

Пример разбиения для конечного $M=\{1,2,3,4\}$:
0)$\{1,2,3,4\}$

1)$M\backslash\{1\},M\backslash\{2\},M\backslash\{3\},M\backslash\{4\}$

2)a)$M\backslash\{1,2\},M\backslash\{1,3\},M\backslash\{1,4\}$
b)$M\backslash\{2,3\},M\backslash\{2,4\}$
c)$M\backslash\{3,4\}$

3)a)$M\backslash\{1,2,3\},M\backslash\{1,2,4\}$
b)$M\backslash\{2,3,4\}$

[science88]

science88 в сообщении #777310 писал(а):

Но так как за нулевую группу 0) я принял натуральный ряд, то мне надо его присоединить к общему объединению групп (объединение и будет классом $\mathfrak G$). То есть чтобы доказать счётность объединения групп и установить соответствие надо $n\leftrightarrow n-1$.

Соответствие $n\leftrightarrow n+1$ будет, так как нумерация от 0. Исправил

[Someone]

science88 в сообщении #777360 писал(а):

Поэтому так сложно для понимания.

И очень сложно для объяснения. Если Вам придётся это объяснять преподавателю на экзамене, боюсь, Вы не справитесь.

Я же Вам предлагаю совсем простой способ.
$G_0$ — ничего не выкидываем.
$G_1$ — выкидываем число $1$.
$G_2$ — выкидываем число $2$ и всевозможные подмножества множества $\{1\}$.
$G_3$ — выкидываем число $3$ и всевозможные подмножества множества $\{1,2\}$.
$G_4$ — выкидываем число $4$ и всевозможные подмножества множества $\{1,2,3\}$.
И так далее.
Каждая группа здесь конечна, так что без ссылок на какие-либо теоремы можно прямо указать нумерацию.

science88 в сообщении #777310 писал(а):

Просто сложилась зрительная иллюзия что класс $\mathfrak P$ может быть счётным.

Но ведь указано же взаимно однозначное отображение $\mathfrak P$ на полуинтервал $[0,1)$.
Если что, можно и прямо доказать несчётность $\mathfrak P$ диагональным методом. Двоичная система счисления для этого не очень удобна (и троичная тоже), но справиться можно.

Вы там пройдитесь по четырём пунктам, которые я указал. Если по какому-то пункту есть вопросы, то спрашивайте. А потом, если захотите, докажем несчётность $\mathfrak P$.