Новый подход к решению ВТФ для n=3

[Deggial]

individa, предупреждение за неоформление формул $\TeX$ом.

[Феликс Шмидель]

individa в сообщении #771274 писал(а):

В этом уравнении получается почему то всегда 2 примитивных решения. Хотя когда смотришь на формулу, на первый взгляд это не видно. Вообще говоря эта такая запись для Вас. После подстановки коэффициентов может возникнуть необходимость разделить на наибольший общий делитель. Пришёл к Z=X+Y, не потому что так решается легче, а потому что в ходе решения после всех сокращений это получилось. Лучше было бы если проверили есть ли решения, которых можно найти по другой формуле. И ещё я не понимаю Ваше утверждение о каком-то квадратном уравнении и его дискриминанте. Это говорит о том, что не знаете как решаются бинарные квадратичные формы. Формула есть, её уже напечатал проверьте и убедитесь, что и она даёт два примитивных решения.

О каких двух решениях Вы говорите? Там есть $\pm$ - вот и два решения.
Бинарная квадратичная форма в данном случае решается очень просто: решается квадратное уравнение для нахождения $\frac{x}{y}$. Но чтобы получить бинарную квадратичную форму, нужно подставить $z=x+y$ в первоначальное уравнение. А иначе, как Вы её получите?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #771012 писал(а):

Рассмотрим уравнение:

$x^3 + ax^2 y + bxy^2 + y^3 = z^3$

Приветствую, Belfegor!
Вы рассматриваете более общий вид уравнения третьей степени от трёх переменных в целых числах, и если почувствовали, что пора: "Замахнуться так сказать на Шекспира", то следует добавить слагаемые $x^2z, xz^2, y^2z, yz^2$.
Предлагаю в этой связи перейти сразу к уравнению: $ax^2y+bxy^2+cx^2z+dxz^2+ez^2y+fzy^2+gx^3+hy^3+iz^3+jxyz=0$ в целых числах.
И разбираться с ним поэтапно, и для каждой элементарной симметрической формы третьей степени от трёх переменных:
$xyz=0$
$x^3+y^3+z^3=0$
$x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2=0$
Хватит возиться с УФ
Пора,нам "ВТФ-Братья" , задуматься над тем: какой же вид должно иметь "Обобщённое Уравнения Ферма"?

[Belfegor]

ishhan в сообщении #771346 писал(а):

какой же вид должно иметь "Обобщённое Уравнения Ферма"?

Уважаемый ishhan!

Каково ваше видение ОУФ?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #771360 писал(а):

Каково ваше видение ОУФ?

Я уже намекал на это в теме о "симметрических формах и ВТФ", но могу ещё раз привести этот вид ОУФ:

$$x^iy^k+x^ky^i+x^iz^k+x^kz^i+z^iy^k+z^ky^i=0$$

Где $x,y,z$-целые , $ i+k=n$ натуральные с нулём.
Это уравнение переходит в УФ если один из показателей $ i,k$ равен нулю.
И думаю, что это не моё видение, а очевидный факт, не зависящий ни от чего.
Так как, форма $ x^n+y^n+z^n$, при помощи которой обычно записывают УФ, является одной из многочисленных симметрических форм от трёх переменных вида $ x^iy^k+x^ky^i+x^iz^k+x^kz^i+z^iy^k+z^ky^i$ и степени $n$, если $ i+k=n$.

[individa]

Если Феликс Шмидель говорит, что бинарная квадратичная форма решается элементарно, то пускай представит формулу решения данного диофантового уравнения в течении суток. Я его уже напечатал там http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 13110.html Его представленная формула должна быть другой. И прекращайте с умным видом рассуждать о том, о чём представление вообще не имеете!

[Феликс Шмидель]

individa в сообщении #771608 писал(а):

Если Феликс Шмидель говорит, что бинарная квадратичная форма решается элементарно, то пускай представит формулу решения данного диофантового уравнения в течении суток. Я его уже напечатал там http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 13110.html Его представленная формула должна быть другой. И прекращайте с умным видом рассуждать о том, о чём представление вообще не имеете!

Мы с Вами говорим о разных вещах. Я имел ввиду уравнение, где бинарная квадратичная форма (с двумя переменными $x$ и $y$) равна нулю.
Такое уравнение решается просто и этим способом можно получить формулы решения в этой теме (подставив в исходное уравнение $z=x+y$).
При этом, параметры $p$ и $s$ не играют никакой роли.
Вы говорите о гораздо более сложных уравнениях, где бинарная квадратичная форма (с двумя переменными) равна квадрату третьего переменного или о более сложных случаях.
Я действительно не имею представления как они решаются, но я о них и не рассуждал.

[individa]

Бинарная квадратичная форма есть бинарная квадратичная форма, формулировка идёт ещё к Гауссу и менять её никто, насколько я знаю не собирался. Вообще повторяю вопрос, потому что мне всё равно не понятно, каким это образом при данной подстановке при заданных уравнениях можно будет это решить? Да и вообще, что забыли 10 проблема Гильберта имеет отрицательное решение. Значит при заданных коэффициентах, по определению, решить это диофантово уравнение нельзя! Параметры p,s- не играют роли после решения, а до решения они ох как большую роль играют.

[Феликс Шмидель]

Насчёт применимости отрицательного решения 10-й проблемы Гильберта к исходному уравнению этой темы можно спорить.
Теорема Матиясевича говорит о том, что нет алгоритма решения некоторых диофантовых уравнений, но почему к ним должно относится исходное уравнение этой темы?

individa в сообщении #771652 писал(а):

Вообще повторяю вопрос, потому что мне всё равно не понятно, каким это образом при данной подстановке при заданных уравнениях можно будет это решить?

Вы говорите о подстановке $z=x+y$? С её помощью нельзя найти всех решений уравнения

$x^3 + ax^2 y + bxy^2 + cy^3 = z^3$ (1)

Но решения вида, в которых $z=x+y$, если такие есть, найти можно.
Подставьте $z=x+y$ в уравнение (1), и Вы без труда получите формулы решения. В этих формулах не будет параметров $p$ и $s$.
Чтобы получить формулы решения с параметрами $p$ и $s$, приведённые в начале этой темы, достаточно помножить $x$, $y$ и $z$ полученного решения на одно и то же выражение $p+r s$, где $r$ - некоторое дробное выражение.

Обычно, если решения диофантовых уравнений включают произвольные параметры, то при различных значениях параметров получаются различные решения.
В этой теме, при подстановке различных значений вместо $p$ и $s$ не получается принципиально различных решений, поэтому формулы решения с этими параметрами не имеют никакого смысла.

[individa]

Да задним числом это всё видно. Откуда корень взялся, но чтоб прийти к этом пришлось небольшой крюк сделать. Корень похожий, но формула всё равно получается другая. Да Вам всё равно не понятно откуда взялось p,s . Если что-то есть оно имеет смысл. Ладно тогда, чтоб облегчить напишите решение $X^3+Y^3+Z^3=3*X*Y*Z$ например. Хотя можно выбрать и более сложное.

[Феликс Шмидель]

Хорошо, только будем решать это уравнение в виде: $x^3+y^3+3 x y z=z^3$, чтобы оно было похоже на уравнение этой темы.
Подставим: $z=x+y$, получим уравнение: $3 x y (x+y)=3 x^2 y+3 y^2 x$, которое является тождеством.
Значит, если $z=x+y$, то $(x, y, z)$ - решение.

-- Пн окт 07, 2013 00:02:59 --

Другое решение: $x=y=-z$ можно получить, если разделить уравнение $x^3+y^3+3 x y z-z^3=0$ на $z-(x+y)$.
Получим квадратное уравнение относительно $z$, дискриминант которого должен быть квадратом, а это возможно только если $x=y$.

-- Пн окт 07, 2013 00:19:35 --

Теперь понятно о каких формулах другого решения уравнения

$x^3 + ax^2 y + bxy^2 + cy^3 = z^3$ (1)

Вы говорите.
В ней могут быть параметры, имеющие смысл - согласен.
Но в формулах автора темы, они не имеют смысла.

[lasta]

Уважаемый Belfegor!
Я не увидел момента доказательства, когда $z$ стало простым числом и стала возможна подстановка $z=x+y$, при которой тривиальность решения очевидна.

[individa]

lasta Потому что вывод этой формулы не написан. Корень от q совпал случайно. Легко проверить приравняв а=3. В первой формуле. И увидеть что решения разные. Если число неизвестных не меняется, а растёт степень уравнения, то число примитивных решений становится конечным числом. Иногда их можно легко угадать посмотрев на уравнение. Но когда мы поймём, что для уравнения 3-й степени число неизвестных должно быть не меньше 4-х, чтоб решений было бесконечно много. Тут уже приходят к тупику так-как надо решать эти уравнения. И ещё насчёт 10 проблемы. Приведите в качестве примера какое нибудь диофантовое уравнение, невозможность решения которого бы это подтверждало.

[Феликс Шмидель]

lasta в сообщении #771783 писал(а):

Уважаемый Belfegor!
Я не увидел момента доказательства, когда $z$ стало простым числом и стала возможна подстановка $z=x+y$, при которой тривиальность решения очевидна.

Число $z$ нигде не предполагается простым, и это предположение не нужно для подстановки $z=x+y$.

individa в сообщении #771803 писал(а):

Легко проверить приравняв а=3. В первой формуле. И увидеть что решения разные.

Не понимаю о чём Вы говорите. Я проверил, что все решения по формулам автора - одинаковые.

individa в сообщении #771803 писал(а):

Если число неизвестных не меняется, а растёт степень уравнения, то число примитивных решений становится конечным числом. Иногда их можно легко угадать посмотрев на уравнение. Но когда мы поймём, что для уравнения 3-й степени число неизвестных должно быть не меньше 4-х, чтоб решений было бесконечно много. Тут уже приходят к тупику так-как надо решать эти уравнения.

По-моему, согласно теореме Фалтинга число решений кубического уравнения конечно и при большем количестве переменных.

[Someone]

(individa)

individa в сообщении #771803 писал(а):

Приведите в качестве примера какое нибудь диофантовое уравнение, невозможность решения которого бы это подтверждало.

Я не понял вопроса. Решение десятой проблемы Гильберта выглядит так: не существует единого алгоритма, который мог бы определить разрешимость любого диофантова уравнения. Это означает, грубо говоря, что для каждого уравнения нужно изобретать свой метод определения наличия или отсутствия решений. И вовсе никто не утверждал, что существует уравнение, для которого невозможно определить, есть у него решения или их нет.