2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 18:22 
Рассмотрим уравнение:

$x^3  + ax^2 y + bxy^2  + y^3  = z^3 \qquad\qquad(1)
$

Если число

$q = b^2  - 6b + 4a(1 - c) + 3(4c - 1)\qquad\qquad(2)$

является таким, что $\sqrt q $ рациональное число, тогда имеем такое решение:

$\begin{array}{l}
 x = (3 - b \pm \sqrt {q)} p - 2(c - 1)s\qquad\qquad(3) \\ 
 y = 2(a - 3)p + (b - 3 \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(4) \\ 
 z = (2a - 3 - b \pm \sqrt q )p + (b - 1 - 2c \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(5) \\ 
 \end{array}
$
Числа p,s являются любыми целыми числами.

Теперь если мы примем, что

$\begin{array}{l}
 a = 0 \\ 
 b = 0 \\ 
 c = 1 \\ 
 \end{array}
$

Уравнение (1) преобразуется в уравнение

$x^3  + y^3  = z^3\qquad\qquad(6)$

А решение выглядит уже так:

$\begin{array}{l}
 x = (3 \pm 3)p\qquad\qquad(7) \\ 
 y =  - 6p + ( - 3 \pm 3)s\qquad\qquad(8) \\ 
 z = ( - 3 \pm 3)p + ( - 3 \pm 3)s\qquad\qquad(9) \\ 
 \end{array}
$

Очевидно, что при любых значениях p,s уравнение (6) имеет только тривиальные решения.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 18:47 
Аватара пользователя
Цитата:
Если число

$q = b^2 - 6b + 4a(1 - c) + 3(4c - 1)\qquad\qquad(2)$

является таким, что $\sqrt q $ рациональное число, тогда имеем такое решение:

$\begin{array}{l} x = (3 - b \pm \sqrt {q)} p - 2(c - 1)s\qquad\qquad(3) \\ y = 2(a - 3)p + (b - 3 \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(4) \\ z = (2a - 3 - b \pm \sqrt q )p + (b - 1 - 2c \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(5) \\ \end{array} $
Числа p,s являются любыми целыми числами.
А можете ли Вы доказать, что других решений, то есть, не тех, что даются этими формулами, нет?

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 19:02 
shwedka в сообщении #771016 писал(а):
А можете ли Вы доказать, что других решений, то есть, не тех, что даются этими формулами, нет?


Уважаемая shwedka!

На данный момент не могу с полной уверенностью сказать, что удалось доказать единственность этого решения :-(
Ответный вопрос: Если бы удалось доказать, что вы вообще скажете о таком подходе?

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 19:05 
Аватара пользователя
Belfegor в сообщении #771026 писал(а):
Ответный вопрос: Если бы удалось доказать, что вы вообще скажете о таком подходе?

Если удастся доказать, тогда скажу, что думаю. А сейчас стыд девичий не позволяет.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 19:15 
shwedka в сообщении #771029 писал(а):
А сейчас стыд девичий не позволяет.


Вот те на :shock:

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 20:10 
Мне интересно. Это та самая Шведка или нет?

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 20:19 
Аватара пользователя
 !  individa, замечание за искажение ника участницы.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:00 
Пусть $p=1$, $s=0$.
Пусть $a=0$, $b=0$, $c=19$.

Тогда $q=225$, $\sqrt{q}=15$,

$x=18$, $y=-6$, $z=12$.

Равенство $x^3+y^3=z^3$ не получается.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:28 
Исправление в уравнении (1), забыл с

$x^3  + ax^2 y + bxy^2  + cy^3  = z^3 \qquad\qquad(1)$

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:32 
Конечно не получиться. Нашли решения одного уравнения, а подставляете в другое. "С" это коэффициент при Y^3. Он просто его пропустил когда писал формулу. Опечатка там.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:43 
Уважаемый Феликс Шмидель!
Извините, была опечатка, я её исправил, ваше замечание остаётся в силе?

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 22:48 
Belfegor в сообщении #771137 писал(а):
Уважаемый Феликс Шмидель!
Извините, была опечатка, я её исправил, ваше замечание остаётся в силе?


Нет, но всё равно подставим: $a=0$, $b=0$, $c=19$.

Получим:

$x=18(p-2s)$, $y=-6(p-2s)$, $z=12(p-2s)$.

Вы утверждаете, что уравнение $x^3+19 y^3=z^3$ не имеет других решений.

Во-первых, имеет: $x=3$, $y=-1$, $z=2$.

А во-вторых, числа $p$ и $s$ не играют роли.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 01:09 
Кроме этого, ваше решение $(x, y, z)$ удовлетворяет равенству: $z=x+y$.
Имея уравнение вида (1) при произвольных $a$, $b$ и $c$ можно поставить вопрос, имеет ли оно решение, удовлетворяющее равенству $z=x+y$? Ответ будет: имеет, при условии, что (дискриминант квадратного уравнения) $q$ является квадратом.
Можно даже попытаться определить таким способом, имеется ли решение, удовлетворяющее равенству $z=x+k y$, где $k$ - произвольное целое число.
Но у нас не получится определить таким способом, имеется ли решение, удовлетворяющее равенству $z=m x+k y$,
потому, что в этом случае не удаётся понизить степень кубического уравнения до квадратного.

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 01:21 
Феликс Шмидель в сообщении #771188 писал(а):
Получим:

$x=18(p-2s)$, $y=-6(p-2s)$, $z=12(p-2s)$.

Вы утверждаете, что уравнение $x^3+19 y^3=z^3$ не имеет других решений.

Во-первых, имеет: $x=3$, $y=-1$, $z=2$.


Уважаемый Феликс Шмидель!
Но если мы примем $p-2s=1$
то получим: $x=18$, $y=-6$, $z=12$, а сократив на 3
получим ваше решение:$x=3$, $y=-1$, $z=2$

 
 
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 07:14 
Шмидель послушайте. В этом уравнении получается почему то всегда 2 примитивных решения. Хотя когда смотришь на формулу, на первый взгляд это не видно. Вообще говоря эта такая запись для Вас. После подстановки коэффициентов может возникнуть необходимость разделить на наибольший общий делитель. Пришёл к Z=X+Y, не потому что так решается легче, а потому что в ходе решения после всех сокращений это получилось. Лучше было бы если проверили есть ли решения, которых можно найти по другой формуле. И ещё я не понимаю Ваше утверждение о каком-то квадратном уравнении и его дискриминанте. Это говорит о том, что не знаете как решаются бинарные квадратичные формы. Формула есть, её уже напечатал проверьте и убедитесь, что и она даёт два примитивных решения.

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group