2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 18:22 


16/08/09
304
Рассмотрим уравнение:

$x^3  + ax^2 y + bxy^2  + y^3  = z^3 \qquad\qquad(1)
$

Если число

$q = b^2  - 6b + 4a(1 - c) + 3(4c - 1)\qquad\qquad(2)$

является таким, что $\sqrt q $ рациональное число, тогда имеем такое решение:

$\begin{array}{l}
 x = (3 - b \pm \sqrt {q)} p - 2(c - 1)s\qquad\qquad(3) \\ 
 y = 2(a - 3)p + (b - 3 \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(4) \\ 
 z = (2a - 3 - b \pm \sqrt q )p + (b - 1 - 2c \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(5) \\ 
 \end{array}
$
Числа p,s являются любыми целыми числами.

Теперь если мы примем, что

$\begin{array}{l}
 a = 0 \\ 
 b = 0 \\ 
 c = 1 \\ 
 \end{array}
$

Уравнение (1) преобразуется в уравнение

$x^3  + y^3  = z^3\qquad\qquad(6)$

А решение выглядит уже так:

$\begin{array}{l}
 x = (3 \pm 3)p\qquad\qquad(7) \\ 
 y =  - 6p + ( - 3 \pm 3)s\qquad\qquad(8) \\ 
 z = ( - 3 \pm 3)p + ( - 3 \pm 3)s\qquad\qquad(9) \\ 
 \end{array}
$

Очевидно, что при любых значениях p,s уравнение (6) имеет только тривиальные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Цитата:
Если число

$q = b^2 - 6b + 4a(1 - c) + 3(4c - 1)\qquad\qquad(2)$

является таким, что $\sqrt q $ рациональное число, тогда имеем такое решение:

$\begin{array}{l} x = (3 - b \pm \sqrt {q)} p - 2(c - 1)s\qquad\qquad(3) \\ y = 2(a - 3)p + (b - 3 \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(4) \\ z = (2a - 3 - b \pm \sqrt q )p + (b - 1 - 2c \pm \sqrt q )s\qquad\qquad(5) \\ \end{array} $
Числа p,s являются любыми целыми числами.
А можете ли Вы доказать, что других решений, то есть, не тех, что даются этими формулами, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 19:02 


16/08/09
304
shwedka в сообщении #771016 писал(а):
А можете ли Вы доказать, что других решений, то есть, не тех, что даются этими формулами, нет?


Уважаемая shwedka!

На данный момент не могу с полной уверенностью сказать, что удалось доказать единственность этого решения :-(
Ответный вопрос: Если бы удалось доказать, что вы вообще скажете о таком подходе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Belfegor в сообщении #771026 писал(а):
Ответный вопрос: Если бы удалось доказать, что вы вообще скажете о таком подходе?

Если удастся доказать, тогда скажу, что думаю. А сейчас стыд девичий не позволяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 19:15 


16/08/09
304
shwedka в сообщении #771029 писал(а):
А сейчас стыд девичий не позволяет.


Вот те на :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 20:10 
Заблокирован


22/07/13

43
Мне интересно. Это та самая Шведка или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 20:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5729
 !  individa, замечание за искажение ника участницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:00 


31/03/06
1384
Пусть $p=1$, $s=0$.
Пусть $a=0$, $b=0$, $c=19$.

Тогда $q=225$, $\sqrt{q}=15$,

$x=18$, $y=-6$, $z=12$.

Равенство $x^3+y^3=z^3$ не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:28 


16/08/09
304
Исправление в уравнении (1), забыл с

$x^3  + ax^2 y + bxy^2  + cy^3  = z^3 \qquad\qquad(1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:32 
Заблокирован


22/07/13

43
Конечно не получиться. Нашли решения одного уравнения, а подставляете в другое. "С" это коэффициент при Y^3. Он просто его пропустил когда писал формулу. Опечатка там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 21:43 


16/08/09
304
Уважаемый Феликс Шмидель!
Извините, была опечатка, я её исправил, ваше замечание остаётся в силе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение05.10.2013, 22:48 


31/03/06
1384
Belfegor в сообщении #771137 писал(а):
Уважаемый Феликс Шмидель!
Извините, была опечатка, я её исправил, ваше замечание остаётся в силе?


Нет, но всё равно подставим: $a=0$, $b=0$, $c=19$.

Получим:

$x=18(p-2s)$, $y=-6(p-2s)$, $z=12(p-2s)$.

Вы утверждаете, что уравнение $x^3+19 y^3=z^3$ не имеет других решений.

Во-первых, имеет: $x=3$, $y=-1$, $z=2$.

А во-вторых, числа $p$ и $s$ не играют роли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 01:09 


31/03/06
1384
Кроме этого, ваше решение $(x, y, z)$ удовлетворяет равенству: $z=x+y$.
Имея уравнение вида (1) при произвольных $a$, $b$ и $c$ можно поставить вопрос, имеет ли оно решение, удовлетворяющее равенству $z=x+y$? Ответ будет: имеет, при условии, что (дискриминант квадратного уравнения) $q$ является квадратом.
Можно даже попытаться определить таким способом, имеется ли решение, удовлетворяющее равенству $z=x+k y$, где $k$ - произвольное целое число.
Но у нас не получится определить таким способом, имеется ли решение, удовлетворяющее равенству $z=m x+k y$,
потому, что в этом случае не удаётся понизить степень кубического уравнения до квадратного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 01:21 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #771188 писал(а):
Получим:

$x=18(p-2s)$, $y=-6(p-2s)$, $z=12(p-2s)$.

Вы утверждаете, что уравнение $x^3+19 y^3=z^3$ не имеет других решений.

Во-первых, имеет: $x=3$, $y=-1$, $z=2$.


Уважаемый Феликс Шмидель!
Но если мы примем $p-2s=1$
то получим: $x=18$, $y=-6$, $z=12$, а сократив на 3
получим ваше решение:$x=3$, $y=-1$, $z=2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новый подход к решению ВТФ для n=3
Сообщение06.10.2013, 07:14 
Заблокирован


22/07/13

43
Шмидель послушайте. В этом уравнении получается почему то всегда 2 примитивных решения. Хотя когда смотришь на формулу, на первый взгляд это не видно. Вообще говоря эта такая запись для Вас. После подстановки коэффициентов может возникнуть необходимость разделить на наибольший общий делитель. Пришёл к Z=X+Y, не потому что так решается легче, а потому что в ходе решения после всех сокращений это получилось. Лучше было бы если проверили есть ли решения, которых можно найти по другой формуле. И ещё я не понимаю Ваше утверждение о каком-то квадратном уравнении и его дискриминанте. Это говорит о том, что не знаете как решаются бинарные квадратичные формы. Формула есть, её уже напечатал проверьте и убедитесь, что и она даёт два примитивных решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ydgin


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group