Грубое введение в тензоры

[Munin]

Утундрий в сообщении #770669 писал(а):

Положим, одной метрикой реализацию зафиксировать и правда нельзя. Но можно попытаться дополнительно навводить ещё какой-нибудь ерунды и, возможно, добиться этой самой, которая единственность. Что это даст?

Во-первых, ничего не даст, во-вторых, и ерунды особо навводить нельзя, если только не иметь в виду нечто совершенно натужное. Даже если вы вложили что-то в $n$-мерие, его в свою очередь можно вложить в $n+1$-мерие, а там хоть сворачивай в трубочку.

-- 04.10.2013 21:37:43 --

Oleg Zubelevich в сообщении #770676 писал(а):

Кстати, в определении вложения римановость не участвует.

Кстати, вложений существует куча разных (некоторые из них называются погружениями), и определений у них, разумеется, не одно на всех.

[Утундрий]

Munin в сообщении #770733 писал(а):

Во-первых, ничего не даст, во-вторых, и ерунды особо навводить нельзя, если только не иметь в виду нечто совершенно натужное. Даже если вы вложили что-то в $n$-мерие, его в свою очередь можно вложить в $n+1$-мерие, а там хоть сворачивай в трубочку.

Хоть сворачивай в трубочку не нарушая, надо понимать, метрики?

[Munin]

Утундрий в сообщении #770741 писал(а):

Хоть сворачивай в трубочку не нарушая, надо понимать, метрики?

Яволь!

Ну, собственно, нарисуйте плоского крокодила на листе бумаги, вместе с его метрикой. И сверните в трубочку вместе с листом бумаги. (Примечание - метрику рассматривать как длину геодезической, лежащей в этом листе бумаги.)

[Утундрий]

Munin в сообщении #770756 писал(а):

Яволь!

Тогда порочный круг.

[Toucan]

По просьбе ТС часть дискуссии выделена в отдельную тему: «Вложения и погружения»

[Munin]

Не знаю, почему я вообразил, что вложение риманова многообразия в евклидово пространства "жёсткое" - это общая проблема, а не лично мой "глюк"?..

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #770647 писал(а):

никак "гаммы" не ущемляют, а только эксплуатируют

Резонно коннечно. Но рассказывая про дифференцирование тензорных полей ничего не сказать про дифференцирование Ли тоже не хорошо. Оно ведь тоже дифференцирование (тоже с правилом Лейбница). В определённом смысле дифференцирование Ли более простое (нет гамм), а значит более "фундаментальное" чем дифференцирование с гаммами.

Там ещё одна деталька есть. Как меня справедливо поправил Oleg Zubelevich, в производной Ли гаммы сокращаются не всегда. Для того чтобы в производной Ли частные производные можно было бы свободно заменять на ковариантные, нужно (внезапно ) чтобы связность была симметрична:

$$ \Gamma^k_{i j} = \Gamma^k_{j i} $$

В общем, есть крамольная мысль на счёт очерёдности того чего когда вводить. А что если сначала вводить "фундаментальное" дифференцирование Ли; потом дифференцирование с симметричными гаммами; потом вводить метрику (и её связь с симметричными гаммами), а вот уже когда-нибудь потом обобщать всё это хозяйство до случая нериманова ненулевого кручения...

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #771875 писал(а):

А что если сначала вводить "фундаментальное" дифференцирование Ли

Ну, пока ещё не поздно. И кстати, ведь тензорную добавку можно просто отбросить и определить "Ли" только через обычные производные.

[Zai]

Цитата:

...имея только сноповязалку и швейную машинку...

В приложениях лагражевой механики сплошных сред преобразование тензора напряжений обывательски превращается в производную Яумана от тензора напряжений (поворот). Еще есть конечность объемных деформаций - что-то от тензора Пиола- Киргоффа.
Вы же запуталисть в трех соснах осознания ортогональности(ковариантности и контрвариантности) в бородатых ушедших в прошлое физики теориях криволинейных координат.

[Утундрий]

Zai в сообщении #774543 писал(а):

Вы же запуталисть

Где?

Zai в сообщении #774543 писал(а):

производную Яумана

Zai в сообщении #774543 писал(а):

тензора Пиола- Киргоффа

Вот это как раз то, чего я всеми силами стараюсь избегать: громкие трескучие словеса.

[Zai]

(Оффтоп)

Цитата:

трескучие...

Сожалею. В прикладной механике отсутствует это понятие. В какой бы Вы не находились изменяющейся по времени системе координат, вращение системы координат сказыватеся на компонентах тензора. Также как и значительтные изотропные сжатия. Если же Вы кроме вращения и сжатия приведете что-то иное - будет удивительно.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Да пребудут со мной меры деформации Альманси, Фингера, Коши-Грина и обратная ей! И да сопоставятся они тензорам конечной деформации! И да сформулируются условия совместности в нелинейном виде! Формулу Чезаро вызываю, формулу Чезаро вызываю, формулу Чезаро вызываю... И да разделятся внешние силы на на мёртвые и следящие! И да прибудет тензор напряжений Коши! И да окажется, что $\wp$ - линейный! Уравнения движения и уравнения равновесия и условия на границе да придут! Первый тензор напряжений Пиола-Киргхофа призываю! Энергетический (известный такоже под именем Приведенный) тензор напряжений призываю! И да обнулится элементарная работа внешних сил на актуальных перемещениях! Преобразуем выражение, преобразуем выражение, преобразуем выражение... Закон состояния теории упругости, к тебе взываю! Как определить мне понятие твёрдого тела? Первое и Второе начало термодинамики призываю, первое и второе начало термодинамики призываю, первое и второе начало термодинамики призываю... Удельная дополнительная работа, явись!