Грубое введение в тензоры

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #769833 писал(а):

Мне нравится следующий способ построения этой науки в конечномерном случае.

Если аккуратно перенести это определение на модули над коммутативными кольцами, то уже этого достаточно для работы с многообразиями; модули сечений всяких расслоений типа касательного, кокасательного и их тензорных степеней конечно порождены над кольцом гладких функций.

-- 02.10.2013, 06:07 --

Утундрий в сообщении #769843 писал(а):

Как-то В. И. Арнольд (если моя мемори не фрагилис) удачно сравнил преимущество аксиоматического подхода с преимуществом воровства по сравнению с честной работой...

Во-первых, мне кажется, что Арнольд в своих учебниках старался использовать как раз инвариантные определения, а не "соответствие, которое каждой точке многообразия и каждой системе координат в окрестности этой точки сопоставляет набор функций в этой окрестности, преобразующийся при замене системы координат по определенному правилу".

Во-вторых, одни и те же теоремы можно доказывать по разному. Можно (и часто полезно) написать всё в координатах на пару страниц. А можно придумать инвариантное доказательство на пару строчек. По-моему, второе не менее полезно. Если какое-то утверждение верно в любой системе координат, то, может быть, оно и вообще не связано с системами координат, и в его формулировке тоже можно без них обойтись?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Общий случай (необязательно $X,Y$ конечномерны)

Через $F$ обозначим пространство билинейных форм $f:X^*\times Y^*\to \mathbb{R}$.
Тензорным произведением $x\otimes y,\quad x\in X,\quad y\in Y$ назовем билинейную форму $h \in F$, которая действует по правилу $h(u,v)=u(x)v(y)$.

Тензорным произведением $X\otimes Y$ называется линейная оболочка множества $\{x\otimes y\in F\mid x\in X,y\in Y\}$.
Дальше легко проверить, что если $\{e_i\}$ --- базис Гамеля в $X$ и $\{p_j\}$ -- базис в $Y$ то $e_i\otimes p_j$ -- базис в $X\otimes Y$ Универсальность после этого тоже почти очевидна.

Пусть $g:X\times Y\to\mathbb{R}$ -- билинейная форма. Поставим ей в соответствие линейную функцию $\psi: X\otimes Y\to\mathbb{R}$ по правилу: $\psi(e_i\otimes p_r):=g(e_i,p_r)$. Далее $\psi$ продолжается по линейности. В частности $g(x,y)=\psi(x\otimes y)$

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #769825 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #769816 писал(а):

Я к тому, что полилинейные формы - это более общее понятие, а тензоры - чуток более специфическое

Вообще-то нет.

Вообще-то да.

Munin в сообщении #769825 писал(а):

Про спиноры я бы тоже послушал, но не от такого "грамотея", как вы.

"Грамотей" это когда как вы.

[Утундрий]

g______d в сообщении #769865 писал(а):

Во-первых, мне кажется, что Арнольд в своих учебниках старался использовать как раз инвариантные определения, а не "соответствие, которое каждой точке многообразия и каждой системе координат в окрестности этой точки сопоставляет набор функций в этой окрестности, преобразующийся при замене системы координат по определенному правилу".

Возможно, но и я ссылался не на его книгу, а на его фразу.

g______d в сообщении #769865 писал(а):

Во-вторых, одни и те же теоремы можно доказывать по разному. Можно (и часто полезно) написать всё в координатах на пару страниц. А можно придумать инвариантное доказательство на пару строчек. По-моему, второе не менее полезно. Если какое-то утверждение верно в любой системе координат, то, может быть, оно и вообще не связано с системами координат, и в его формулировке тоже можно без них обойтись?

Полезно, но не поначалу. Понятно, что топтаться так или иначе придётся по одному набору фактов, но впервые делать это желательно каким-то одним способом. Ведь начав с обсракных определений, всё равно придётся проделать примерно то же количество шагов, только в обратном направлении.

Что до "быстра", то будет и "быстра". Но - потом. Пока что медленно и печально я буду гнуть свою линию, пока не выгну ея окончательно. Нет, ну разве не забавно, что правило Лейбница - оказывается - такая мощная штука?

SergeyGubanov в сообщении #769816 писал(а):

Кстати, опять же про спиноры

Может быть где-то после тетрад.

[Munin]

Утундрий в сообщении #770057 писал(а):

Ведь начав с обсракных определений, всё равно придётся проделать примерно то же количество шагов, только в обратном направлении.

Вот это вызывает у меня сомнения. Вы проверяли?

[Утундрий]

Munin в сообщении #770069 писал(а):

Вы проверяли?

Нет, это просто ощущение.

Но я почти закончил эту покомпонентную газету... В прошлый раз мы добились от ковариантной производной чего хотели, но при этом не заметили как кое-что потеряли. Дабы узреть сию потерю, ковариантно продифференцируем $v^\alpha$ дважды: $v_{;\mu \nu }^\alpha \equiv \left( {v_{;\mu }^\alpha } \right)_{;\nu } = \left( {\Gamma _{\beta \mu ,\nu }^\alpha + \Gamma _{\sigma \nu }^\alpha \Gamma _{\beta \mu }^\sigma } \right)v^\beta - \Gamma _{[\mu \nu ]}^\beta v_{;\beta }^\alpha + ... $ где опущено симметричное относительно перестановки $\mu \leftrightarrow \nu $ слагаемое, а квадратные скобки означают альтернирование. Откуда следует $v_{;\mu \nu }^\alpha - v_{;\mu \nu }^\alpha + 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^\beta v_{;\beta }^\alpha = \left( {\Gamma _{\beta \mu ,\nu }^\alpha + \Gamma _{\sigma \nu }^\alpha \Gamma _{\beta \mu }^\sigma - \left\langle {\mu ,\nu } \right\rangle } \right)v^\beta $. То есть, ковариантное дифференцирование вообще говоря некоммутативно. Штучка ${\left\langle {\mu ,\nu } \right\rangle }$ придумана для упрощения записи и обозначает "все, что перед этим, после применения к нему $\mu \leftrightarrow \nu $ ". То, что в скобках является тензором, называется тензором кривизны и обозначается $R_{\beta \nu \mu }^\alpha $. С альтернированной "гаммой" такая же история - это тензор и называется он тензором кручения. Факт тензорности можно проверить напрямую и для кручения это совсем просто - нужно просто взять готовый закон преобразования, выписанный выше. С кривизной можно схитрить, применив "теорему Дирака о частном", в вольном пересказе гласящую следующее: "Если в некотором сбалансированном выражении для всех участвующих величин - кроме одной - известно, что они тензоры, то и последняя - тензор".

Дальше, наверное, надо вводить метрику. И вот с метрикой правило Лейбница развернётся во всей красе.

[casualvisitor]

Утундрий в сообщении #770057 писал(а):

начав с обсракных определений, всё равно придётся проделать примерно то же количество шагов, только в обратном направлении.

А дело не в том, с чего начинать, а в том, давать "обсракные определения" или нет. При "классическом" изложении тензоров "обсракные определения" не даются. И потому возникают и остаются без ответа совершенно естественные вопросы.

(Вот такие вопросы)

Вот такие вопросы:

Neos в сообщении #768679 писал(а):

Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения.

Отсутствие ответа на такие вопросы приводит к вот таким "философским размышлениям":

Neos в сообщении #768728 писал(а):

Повидимому фраза: " Не тупи -считай! ", одна из
мантр при воспитании теоретиков. И наверное это правильно. Просто ни в одном "букваре" этого не написано. Это часть "внутренней кухни", которая недоступна "людям с улицы". В "неудачников" превращаются те, кто игнорирует это правило. О многом стоит поговорить.

и ко все повторяющимся дискуссиям:

Цитата:

На этом форуме несколько раз уже были такие описания:
«Матрица прямого и обратного перехода в тензорном иссчислении»
«Ковариантный / контравариантный вектор»
«Что такое ковектор?»...
«Тензоры - как себе представить?»
«Геометрический смысл билинейной формы и др.»

Не думаю, что этот список полый или окончательный.

Если же "обсракные определения" давать, то, конечно, с них надо и начинать. Именно для того, чтобы подобные вопросы не возникали. "Всё равно придётся проделать примерно то же количество шагов".

[g______d]

Утундрий в сообщении #770057 писал(а):

Нет, ну разве не забавно, что правило Лейбница - оказывается - такая мощная штука?

Ну да, одна из моих любимых формул – определение связности в расслоении: $\nabla(fg)=df\otimes g+f\nabla g$ ($f$ – гладкая функция, $g$ – сечение расслоения $E$ над многообразием $M$, $\nabla \colon C^{\infty}(E)\to C^{\infty}(T^*M\otimes E)$).

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #770128 писал(а):

Дальше, наверное, надо вводить метрику. И вот с метрикой правило Лейбница развернётся во всей красе.

До введения метрики можно рассказать ещё про:

1) Картановскую внешнюю дифференциальную 2-форму кривизны, и вот на ней-то показать тождества Бьянки. Правда сначала придётся грубо вводить в дифференциальные формы в том случае если ранее у читателя с ними опыта работы не было.

2) Производную Ли от всяческих тензорных полей, правило Лейбница для неё. Показать что в производной Ли частные производные можно заменить на ковариантные (связности $\Gamma^{i}_{j k}$ всё равно сокращаются).

3) Инвариантное дифференцирование тензорных полей по параметрам. Там тоже используется производная Ли, правда, не многие об этом знают.

(Если в двух словах, то...)

Если в двух словах, то есть значит $n$ координат $x^i$ и $m$ параметров $t^a$. В координатном пространстве есть связность $\Gamma^{i}_{j k}$ и кривизна $R^{i}_{j k l}$. И в пространстве параметров, вообще говоря, тоже есть какая-то своя связность $\Gamma^{a}_{b c}$ и своя кривизна $R^{a}_{b c d}$. Покуда координаты от параметров не зависят, эти два пространства живут сами по себе. Смотрите что же происходит когда координаты (да и все тензорные поля в $X$-пространстве) начинают зависеть от параметров $t^a$. Допустимые преобразования координат и параметров таковы:

$$ \tilde{x}^i = f^{i} (x^1, ... , x^n; t^1, ... , t^m); $$

$$ \tilde{t}^a = h^{a} (t^1, ... , t^m); $$

То есть параметры $t^a$ преобразуются только сами через себя, а вот координаты $x^i$ преобразуются сами через себя и ещё зависят от параметров. Из-за таких преобразований возникают специфические поля $V^i_a$ (они навроде связностей). По трансформационным свойствам поля $V^i_a$ ведут себя подобно величинам $\frac{\partial x^i}{\partial t^a}$. Инвариантное дифференцирование тензорных полей по параметрам $t^a$:

$$ D_{a} f = \frac{\partial f}{\partial t^a} + V^j_a \frac{\partial f}{\partial x^j} $$

$$ D_{a} Q^i = \frac{\partial Q^i}{\partial t^a} + V^j_a \frac{\partial Q^i}{\partial x^j} - Q^j \frac{\partial V^i_a}{\partial x^j} $$

$$ D_{a} Q_i = \frac{\partial Q_i}{\partial t^a} + V^j_a \frac{\partial Q_i}{\partial x^j} + Q_j \frac{\partial V^j_a}{\partial x^i} $$

В этих выражениях, что замечательно, частные производные по $x^i$ могут быть заменены на ковариантные (это потому, что связности $\Gamma^{i}_{j k}$ всё равно сократятся). В этом нет ничего удивительного, так как там стоят как раз таки производные Ли вдоль полей $V^i_a$, а производные Ли такой симметрией обладают.

Инвариантные производные по параметрам некоммутативны $D_a D_b \ne D_b D_a$, соответственно дополнительно к $R^i_{j k l}$ и $R^a_{b c d}$ появляется ещё одна кривизна -- "кросс-кривизна" (у неё два индекса тензорные из пространства X, и два индекса тензорные из пространства параметров). В общем, богатенькая получается математическая структура.

Частный случай $m=1$, единственный параметр $t$ имеет следующий физический смысл: инвариантная производная Эйлера по времени $t$ при наличии поля скоростей $V^i$. Здесь же где-то рядом лежит и кориолисово ускорение.

[Oleg Zubelevich]

SergeyGubanov в сообщении #770206 писал(а):

Показать что в производной Ли частные производные можно заменить на ковариантные (связности $\Gamma^{i}_{j k}$ всё равно сокращаются).

да, сокращаются, но не всегда

обсуждалось инвариантное определение ковариантного дифференцирования: post550273.html#p550273 в частности, правила Лейбница, которые некоторым так доставляют

[Утундрий]

SergeyGubanov
1) и 2) никак "гаммы" не ущемляют, а только эксплуатируют. 3) интереснее, но тоже из другой оперы - его можно рассматривать как великую жертву общей группы преобразований в пользу некоторой её подгруппы. Идейно сие где-то рядом с 3+1 расщеплением, например.

-- Пт окт 04, 2013 19:16:30 --

Munin в сообщении #768138 писал(а):

Хочу развеять один миф: риманово многообразие вкладывается в $\mathbb{E}^{m}$ ($m\geqslant n$ конечно же) не однозначно. Возьмём двумерную сферу - мы привыкли, что она вкладывается в 3D как мяч. Но на самом деле, её можно мять туда-сюда, для внутренней геометрии нечувствительно.

Думал-думал, ничего не надумал. Почему это важно?

[Munin]

Утундрий в сообщении #770647 писал(а):

Думал-думал, ничего не надумал. Почему это важно?

Да, в общем-то, и не важно, если помнить. Так, мелкий факт.

[Утундрий]

Положим, одной метрикой реализацию зафиксировать и правда нельзя. Но можно попытаться дополнительно навводить ещё какой-нибудь ерунды и, возможно, добиться этой самой, которая единственность. Что это даст?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #768138 писал(а):

Хочу развеять один миф: риманово многообразие вкладывается в $\mathbb{E}^{m}$ ($m\geqslant n$ конечно же) не однозначно. Возьмём двумерную сферу - мы привыкли, что она вкладывается в 3D как мяч. Но на самом деле, её можно мять туда-сюда, для внутренней геометрии нечувствительно.

Думаю с ужасом, в какой это среде циркулируют такие мифы? Кстати, в определении вложения римановость не участвует.

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #770676 писал(а):

Кстати, в определении вложения римановость не участвует

В определении, может, и не участвует, но получается как следствие.