Доказательство Кантора

[arseniiv]

Если аккуратно следить за скобками, без аксиомы регулярности вы биекцию всё равно не получите.

Sed в сообщении #770549 писал(а):

Тогда положим $a=2^a$

Что ж вы сразу с этого не начали? Давайте положим и используем единичную функцию $\operatorname{id}_a = \{(x,x)\mid x\in a\}$, конечно.

Только не думайте, что если $a = \{\varnothing,\{a\}\}$, то $a = 2^a$: это множество таким свойством не обладает.
$2^{\{\varnothing,\{a\}\}} = \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{a\}\},a\} \ne \{\varnothing,\{a\}\}$.

Множество, равное своему булеану, должно быть бесконечным: $x\in a\Rightarrow \{x\}\subset a \Rightarrow \{x\}\in a$, притом что $\varnothing\subset a \Rightarrow\varnothing\in a$, и $\mathbb N\sim\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\},\{\{\{\varnothing\}\}\},\ldots\}\subset a$.

Ну пускай есть хоть какое-то $a = 2^a$. Совершенно без участия любимой вами аксиомы регулярности с ним есть противоречия в виде парадокса Рассела (который тут возникает из применения как раз теоремы Кантора к вашему множеству и единичному отображению). Пусть $b = \{x\in a| x\notin x\} \subset a$. Тогда и $b \in a$. Попробуйте установить, принадлежит ли $b$ себе. Получается, наличие множества $a$, равного своему булеану, делает теорию множеств противоречивой.

[provincialka]

Не изучила весь текст, но одно сразу заметно: путаются упорядоченные пары $(.,.)$ и множества из двух элементов $\{.,.\}$.

[arseniiv]

В принципе, часть с путающимися парами и множествами можно опустить — она, как мне кажется, служила прелюдией к идее «а что если $a = 2^a$» с неудачной её реализацией.

[Urnwestek]

Цитата:

$a =\{\{\},\{a\}\}$.

Лучше дать разные имена своему множеству и элементу в элементе в нём, во избежание путаницы: $A =\{\{\},\{a\}\}$

Цитата:

$f$: $((\{\} \to \{\}), (\{a\} \to \{a\}) )$

$f$ не является функцией из $A$ в $2^A$ так как $\{a\}$ не является подмножеством $A$ будем считать, что вы хотели написать: $f$: $((\{\} \to \{\}), (\{a\} \to \{\{a\}\}) )$

Цитата:

Множество $B=f(b)=\varnothing$ более явно: $\varnothing = \{\varnothing \in \{\varnothing,\{a\}\} | \varnothing \notin \varnothing\}$.

Нет, множество $B = \{\varnothing\}$ так как существует ровно один элемент в $A$ (это $\varnothing$), который не принадлежит своему образу (так как $f(\varnothing) = \varnothing$), значит, он должен принадлежать множеству $B$.

Как видите, в вашей биекции нету такого элемента $x \in A$ что $f(x) = B = \{\varnothing\}$

[Sed]

arseniiv в сообщении #770578 писал(а):

Ну Только не думайте, что если $a = \{\varnothing,\{a\}\}$, то $a = 2^a$: это множество таким свойством не обладает.
$2^{\{\varnothing,\{a\}\}} = \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{a\}\},a\} \ne \{\varnothing,\{a\}\}$.

А я вот записываю множество подмножеств множества $a$ так $2^a=\{\{\},\{a\}\}$ и считаю это "политически" правильным.

arseniiv в сообщении #770578 писал(а):

Ну пускай есть хоть какое-то $a=2^a$. Совершенно без участия любимой вами аксиомы регулярности с ним есть противоречия в виде парадокса Рассела (который тут возникает из применения как раз теоремы Кантора к вашему множеству и единичному отображению). Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$ . Тогда и $b\in a$. Попробуйте установить, принадлежит ли $b$ себе. Получается, наличие множества $a$, равного своему булеану, делает теорию множеств противоречивой.

Дано $a=2^a$. Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$.
Пусть в $a$ для всех элементов верно $x\in x$. Вывод, множество $b$ пусто $b=\{\}$.
Ответ на Ваш вопрос - $b \notin b$.
Только не говорите, что из этого следует, что множество $b$ не пусто. В $a$ нет такого $x$ для которого $x \notin x$ по условию, множество так определено изначально. Аксиома выделения не может выделить какого-либо элемента этого множества, только подмножество, в данном случае – пустое.
Возможно, запись вида $\{x \in A| \varphi\}$, являющаяся сокращенной формой для записи множества, выделяемого по аксиоме выделения не очень то и удачная, т.к. кажется, что выделяемое подмножество не может быть пустым, а только $\{\{\}\}$.
На самом деле выделение в множестве квадратов множества со свойством "быть кругом" дает именно пустое множество, а не множество, содержащее пустое множество. Ну нет ни одного круглого квадрата (даже пустого ), множество круглых квадратов $=\varnothing = \{\}$, а не $\{\varnothing\}$.

arseniiv в сообщении #770578 писал(а):

Лучше дать разные имена своему множеству и элементу в элементе в нём, во избежание путаницы: $A=\{\{\},\{a\}\}$

Зачем ? Вы собираетесь давать разные имена равным множествам ? Это все-равно, что различать единицы по цвету, эта зеленая, эта красная… на 1+1=2 это никак не повлияет.

arseniiv в сообщении #770578 писал(а):

Нет, множество $B= \{\varnothing\}$ так как существует ровно один элемент в $A$ (это $\varnothing$), который не принадлежит своему образу (так как $f(\varnothing = \varnothing$), значит, он должен принадлежать множеству $B$.

Нет, множество $B=\varnothing = \{\}$, а не $\{\varnothing\}$, а потому и в $f(x)$ вместо икса ставить нечего, ну нет такого элемента $A$, который не соответствовал бы какому-либо элементу $2^A$. Этот так сказать контрпример Кантора, когда внутри скобок $\{ x\in A: \varphi \}$ якобы записано что-то осмысленное и непротиворечивое, а потому и на выходе не может быть $B=\{\}$

[arseniiv]

Sed в сообщении #770608 писал(а):

А я вот записываю множество подмножеств множества $a$ так $2^a=\{\{\},\{a\}\}$ и считаю это "политически" правильным.

Это не булеан $a$. В конце концов, если булеан $a$ конечен, то и $a$ конечно, и количества их элементов не равны (это более слабая теорема, чем Кантора, и если вы сомневаетесь и в ней…). Так что $2^a$ не может иметь вид $\{\varnothing, \{a\}\}$ — в конечном случае это неверно, в бесконечном случае это тоже неверно из-за конечности $2^a$.

Sed в сообщении #770608 писал(а):

Дано $a=2^a$. Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$.
Пусть в $a$ для всех элементов верно $x\in x$. Вывод, множество $b$ пусто $b=\{\}$.
Ответ на Ваш вопрос - $b \notin b$.

Кто сказал, что для всех элементов $a$ верно $x\in x$?

Если ответ на мой вопрос — $b\notin b$, из этого следует, по определению $b$, что $b\in b$. А если $b\in b$, то $b\notin b$. Замечаете?

P. S. Цитируйте аккуратнее. Последние две цитаты — не мои.

[Urnwestek]

Sed
Цитируйте аккуратнее, последние две цитаты принадлежат мне, а не arseniiv.

Цитата:

Вы собираетесь давать разные имена равным множествам ?

Если эти множества действительно равны, то множества $a =\{\{\},\{a\}\}$ не существует. Множество не может быть элементом самого себя. И элементом элемента самого себя быть не может. И вообще у множества должен быть минимальный по отношению $\in$ элемент. Следствие аксиомы регулярности.

Цитата:

Нет, множество $B=\varnothing = \{\}$, а не $\{\varnothing\}$, а потому и в $f(x)$ вместо икса ставить нечего, ну нет такого элемента $A$, который не соответствовал бы какому-либо элементу $2^A$.

Нет, множество $B = \{\varnothing\}$, а не $\varnothing$, а потому и в $f(x)$ вместо икса поставить есть что, ну есть такой элемент в $2^A$ что не существует элемента в $A$ которому соответствовал бы этот самый элемент из $2^A$.

А если серьезно, то у вас глобальное непонимание записи $\{x\in A| x\in f(x)\}$ вот этот кусок

Цитата:

$\{\varnothing \in \{\varnothing,\{a\}\} | \varnothing \notin \varnothing\}$.

лично для меня бессмысленный набор символов. Ну, кое-какую интерпретацию я могу ему дать, но это на волю моей фантазии.

Вот смотрите, запись $\{x\in A| P(x) \}$ в формальном языке $L_1 Set$ это сокращенная запись выражения $\exists z $\forall x ((x \in A \wedge P(x)) \leftrightarrow (x \in z) ) $ То есть моё выражение декларирует множество z, состоящее из всех x из А, для которых выполняется P(x), попробуйте записать подобную формулу для вашего выражения выше.
Ещё одно объяснение: попробуем записать выражение выше на русском $\{$ все <иксы> из <A> такие, что любой взятый <икс> <не принадлежат своему образу по функции f> $\}$ теперь попробуем записать то, что написали вы $\{$все <пустые множества> из <A> такие, что любое взятое <пустое множество> <пустое множество не принадлежит пустому множеству>$\}$. Это же даже не звучит.

[arseniiv]

Sed, если вы серьёзно утверждаете, что $a = \{\varnothing, \{a\}\}$ — булеан сам себе, то докажите это. $\forall u\mathbin. u\in 2^x = u\subset x$, чтобы не было никаких расхождений. Т. е. вам нужно доказать, что верно

$$\forall b \left( b\in a \leftrightarrow b = \varnothing \vee \forall c \left( c\in b \leftrightarrow c=a \right)\right) \to \forall d \left( d\in a \leftrightarrow \forall e \left( e\in d \to e\in a \right)\right).$$

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):

Если эти множества действительно равны, то множества $a =\{\{\},\{a\}\}$ не существует. Множество не может быть элементом самого себя. И элементом элемента самого себя быть не может. И вообще у множества должен быть минимальный по отношению $\in$ элемент. Следствие аксиомы регулярности.

Sed утверждает, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности и пытается построить к ней контрпример в теории множеств без аксиомы регулярности. Конечно, это безуспешно, и я надеюсь, он это увидит.

[Urnwestek]

Цитата:

Sed утверждает, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности и пытается построить к ней контрпример в теории множеств без аксиомы регулярности. Конечно, это безуспешно, и я надеюсь, он это увидит.

Ну раз утверждает, то я попрошу (можете, конечно, мою просьбу не выполнять) Sed доказать существование такого множества в $ZFC$ без аксиомы регулярности. Если докажете, это будет означать противоречивость обычной $ZFC$, с аксиомой регулярности; быстро реабилитируетесь в глазах математического сообщества. (:

[Sed]

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):

Sed
Цитируйте аккуратнее, последние две цитаты принадлежат мне, а не arseniiv.

arseniiv в сообщении #770616 писал(а):

P. S. Цитируйте аккуратнее. Последние две цитаты — не мои.

Тысяча извинений.

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):

Цитата:

Вы собираетесь давать разные имена равным множествам ?

Если эти множества действительно равны, то множества $a =\{\{\},\{a\}\}$ не существует. Множество не может быть элементом самого себя. И элементом элемента самого себя быть не может. И вообще у множества должен быть минимальный по отношению $\in$ элемент. Следствие аксиомы регулярности.

Я же сказал выше, что мои рассуждения строятся при отказе от аксиомы регулярности. Известно, что теория множеств без аксиомы регулярности не противоречива.

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):

Нет, множество $B = \{\varnothing\}$, а не $\varnothing$, а потому и в $f(x)$ вместо икса поставить есть что, ну есть такой элемент в $2^A$ что не существует элемента в $A$ которому соответствовал бы этот самый элемент из $2^A$.

Извините, но с этим я не соглашусь.

Понимаете ли, я не поверю, что имея множество квадратов можно выделить из них хотя бы один элемент, обладающий свойством "быть круглым". Если это все-таки попытаться сделать, то выделенное множество будет именно пустым (т.е. ни одного элемента в нем нет). Если Вы сомневаетесь, считаете, что один то элемент в этом множестве должен быть, ну, предъявите мне, пожалуйста, этот единственный элемент, этот "круглый квадрат".
Вообще, можете взять любое множество и задав любое противоречивое свойство, подставить его в аксиому выделения, и предъявить мне элемент Вашего множества, который этим свойством обладает.

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):

А если серьезно, то у вас глобальное непонимание записи $\{x\in A| x\in f(x)\}$ вот этот кусок

Цитата:

$\{\varnothing \in \{\varnothing,\{a\}\} | \varnothing \notin \varnothing\}$.

лично для меня бессмысленный набор символов. Ну, кое-какую интерпретацию я могу ему дать, но это на волю моей фантазии.

Ну, поставьте явно вместо букв в записи $B=\{x\in A | x\notin B\}$ любой элемент любого множества $A$ и посмотрите, что получится. Внутри скобочек именно этот элемент и окажется, после этого посмотрите, есть ли этот элемент в исходном множестве $A$ ?
Можете его предъявить ?

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):

Вот смотрите, запись $\{x\in A| P(x) \}$ в формальном языке $L_1 Set$ это сокращенная запись выражения $\exists z $\forall x ((x \in A \wedge P(x)) \leftrightarrow (x \in z) ) $ То есть моё выражение декларирует множество z, состоящее из всех x из А, для которых выполняется P(x), попробуйте записать подобную формулу для вашего выражения выше.

Это просто формальная запись того, что любое множество можно заключить в скобки и полученное выражение тоже будет множеством. При чем тут аксиома выделения ?

arseniiv в сообщении#770616 писал(а):

Sed в сообщении #770608 писал(а):

А я вот записываю множество подмножеств множества $a$ так $2^a=\{\{\},\{a\}\}$ и считаю это "политически" правильным.

Это не булеан $a$. В конце концов, если булеан $a$ конечен, то и $a$ конечно, и количества их элементов не равны (это более слабая теорема, чем Кантора, и если вы сомневаетесь и в ней…). Так что $2^a$ не может иметь вид $\{\varnothing, \{a\}\}$ — в конечном случае это неверно, в бесконечном случае это тоже неверно из-за конечности $2^a$.

Это просто конечное сокращение другой (бесконечной) записи конечного множества $a=2^a$. Множество конечно, просто его полная запись бесконечна.

arseniiv в сообщении #770616 писал(а):

Sed в сообщении #770608 писал(а):

Дано $a=2^a$. Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$.
Пусть в $a$ для всех элементов верно $x\in x$. Вывод, множество $b$ пусто $b=\{\}$.
Ответ на Ваш вопрос - $b \notin b$.

Кто сказал, что для всех элементов $a$ верно $x\in x$?

Я так задал множество, нельзя ? Если Вы считаете, что Ваш "метод" работает для всех множеств, то должен работать и для моего множества (как частный случай).

arseniiv в сообщении#770616 писал(а):

Если ответ на мой вопрос — $b\notin b$, из этого следует, по определению $b$, что $b\in b$. А если $b\in b$, то $b\notin b$. Замечаете?

Я замечаю, что если предположить, что в множестве квадратов есть круглый квадрат, то из этого можно вывести все, что угодно.
Неверно само Ваше рассуждение, а не исходная посылка.

-- 04.10.2013, 19:08 --

arseniiv в сообщении #770625 писал(а):

утверждает, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности и пытается построить к ней контрпример в теории множеств без аксиомы регулярности. Конечно, это безуспешно, и я надеюсь, он это увидит.

Не совсем так.Я пытаюсь показать, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности путем указания на противоречивость используемого метода доказательства (т.е. какого-то логического перехода).

[Urnwestek]

Цитата:

Известно, что теория множеств без аксиомы регулярности не противоречива.

Известно, что это не может быть известно.

Цитата:

Я же сказал выше, что мои рассуждения строятся при отказе от аксиомы регулярности.

Докажите, что ваше множество существует. Я сильно подозреваю, что в такой теории утверждения о существовании и о несуществовании данного множества недоказуемы.

Цитата:

Ну, поставьте явно вместо букв в записи $B=\{x\in A | x\notin B\}$ любой элемент любого множества $A$

В данной записи вместо $x$ подставлять ничего нельзя. Это не функция, не отношение и не предикат. Вот в $P(x) = x\in A \wedge x \notin B\ можно что-то подставить. И если множества $A$ и $B$ это множества из задачи выше, то соответствующий элемент я вам предъявил.

Цитата:

Вообще, можете взять любое множество и задав любое противоречивое свойство

Свойство $P(x) = x \notin f(x)$ из задачи выше непротиворечиво.

Цитата:

Это просто формальная запись того, что любое множество можно заключить в скобки и полученное выражение тоже будет множеством.

Дело в том, что cимволы $\{ , \}$ вообще не принадлежат синтаксису языка теории множеств, и служат лишь условными символами, нужными лишь для большего удобства. Откройте Манина "Доказуемое и недоказуемое" у него там на 10-20 страницах вроде хорошо это изложено.
Но даже если и можно строить ТМ как-то по-другому, с участием этих символов, то эта запись явно не того, что "любое множество можно заключить в скобки, и полученное выражение тоже будет множеством".

[Sed]

Urnwestek в сообщении #770649 писал(а):

Цитата:

Ну, поставьте явно вместо букв в записи $B=\{x\in A | x\notin B\}$ любой элемент любого множества $A$

В данной записи вместо $x$ подставлять ничего нельзя. Это не функция, не отношение и не предикат. Вот в $P(x) = x\in A \wedge x \notin B\ можно что-то подставить. И если множества $A$ и $B$ это множества из задачи выше, то соответствующий элемент я вам предъявил.

Какой "соответствующий" ? Вы просто предъявили мне все элементы множества $A$, да, я согласен, что ни один из них не принадлежит множеству $B$ (не обладает свойством $x\in B$, т.к. множество $B$ пусто (потому что условие его задающее – противоречиво).

Urnwestek в сообщении #770649 писал(а):

Цитата:

Вообще, можете взять любое множество и задав любое противоречивое свойство

Свойство $P(x) = x \notin f(x)$ из задачи выше непротиворечиво.

Если $f(x)$ биекция, то противоречиво.

Urnwestek в сообщении #770649 писал(а):

Дело в том, что cимволы $\{ , \}$ вообще не принадлежат синтаксису языка теории множеств, и служат лишь условными символами, нужными лишь для большего удобства.

Грех не воспользоваться, столь удобным инструментом, которым во всей математической литературе не брезгують.

[Urnwestek]

Цитата:

Грех не воспользоваться, столь удобным инструментом, которым во всей математической литературе не брезгують.

Разумеется не грех. Плохо пользоваться инструментом, принцип действия которого не понимаешь. В математике, по крайней мере, уж точно. Поэтому я вам и предложил выписать соответствующее выражение. Ну, не хотите — дело ваше.

Цитата:

Если $f(x)$ биекция, то противоречиво.

Нет.

Цитата:

Какой "соответствующий" ? Вы просто предъявили мне все элементы множества $A$, да, я согласен, что ни один из них не принадлежит множеству $B$ (не обладает свойством $x\in B$, т.к. множество $B$ пусто (потому что условие его задающее – противоречиво).

Давайте по порядку, для вашего примера (с вашего позволения, я его немного упрощу):
$A = \{ \{\}, D \}$ ($D$ - любое множество)
$ f : A \to 2^A$
$f( \{\} ) = \{\}$
$f( D ) = \{D\}$

1) Выпишите полностью множество $2^A$
1.1) Принадлежит ли $\{\}$ множеству $2^A$
1.2) Принадлежит ли $\{\{\}\}$ множеству $2^A$
1.3) Принадлежит ли $D$ множеству $2^A$
1.4) Принадлежит ли $\{D\}$ множеству $2^A$
2) Перечислите все элементы множества $A$ такие, что $x \notin f(x)$
2.1) Сколько их?
2.2) Выпишите множество $B$ всех элементов из $A$ таких, что $x \notin f(x)$ (названных в пункте 2)
3) Существует ли в множестве $A$ элемент $b$ такой, что $f(b) = B$ ? Если да, то назовите его.

[Sed]

1. $A=2^A=\{\{\},D\}$
1.1 да
1.2 нет
1.3 да
1.4 нет
2. Таковых нет, т.к. $f$ - биекция (эти с позволения сказать "элементы" – противоречивые сущности, обладающие свойством $x \in A \land x \notin A$).
2.1. 0
2.2. Множество $B$ пусто $B=\{\}$
3. Нет, т.к. $B$ задано противоречиво, а $\varnothing \notin \varnothing$

[Urnwestek]

Ещё, если позволите, одно задание:
0.5. Дать определение $2^A$.