2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 15:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если аккуратно следить за скобками, без аксиомы регулярности вы биекцию всё равно не получите.

Sed в сообщении #770549 писал(а):
Тогда положим $a=2^a$
Что ж вы сразу с этого не начали? Давайте положим и используем единичную функцию $\operatorname{id}_a = \{(x,x)\mid x\in a\}$, конечно.

Только не думайте, что если $a = \{\varnothing,\{a\}\}$, то $a = 2^a$: это множество таким свойством не обладает.
$2^{\{\varnothing,\{a\}\}} = \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{a\}\},a\} \ne \{\varnothing,\{a\}\}$.

Множество, равное своему булеану, должно быть бесконечным: $x\in a\Rightarrow \{x\}\subset a \Rightarrow \{x\}\in a$, притом что $\varnothing\subset a \Rightarrow\varnothing\in a$, и $\mathbb N\sim\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\},\{\{\{\varnothing\}\}\},\ldots\}\subset a$.

Ну пускай есть хоть какое-то $a = 2^a$. Совершенно без участия любимой вами аксиомы регулярности с ним есть противоречия в виде парадокса Рассела (который тут возникает из применения как раз теоремы Кантора к вашему множеству и единичному отображению). Пусть $b = \{x\in a| x\notin x\} \subset a$. Тогда и $b \in a$. Попробуйте установить, принадлежит ли $b$ себе. Получается, наличие множества $a$, равного своему булеану, делает теорию множеств противоречивой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не изучила весь текст, но одно сразу заметно: путаются упорядоченные пары $(.,.)$ и множества из двух элементов $\{.,.\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 15:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В принципе, часть с путающимися парами и множествами можно опустить — она, как мне кажется, служила прелюдией к идее «а что если $a = 2^a$» с неудачной её реализацией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 15:54 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Цитата:
$a =\{\{\},\{a\}\}$.

Лучше дать разные имена своему множеству и элементу в элементе в нём, во избежание путаницы: $A =\{\{\},\{a\}\}$

Цитата:
$f$: $((\{\} \to \{\}), (\{a\} \to \{a\}) )$

$f$ не является функцией из $A$ в $2^A$ так как $\{a\}$ не является подмножеством $A$ будем считать, что вы хотели написать: $f$: $((\{\} \to \{\}), (\{a\} \to \{\{a\}\}) )$

Цитата:
Множество $B=f(b)=\varnothing$ более явно: $\varnothing = \{\varnothing \in \{\varnothing,\{a\}\} | \varnothing \notin \varnothing\}$.


Нет, множество $B = \{\varnothing\}$ так как существует ровно один элемент в $A$ (это $\varnothing$), который не принадлежит своему образу (так как $f(\varnothing) = \varnothing$), значит, он должен принадлежать множеству $B$.

Как видите, в вашей биекции нету такого элемента $x \in A$ что $f(x) = B = \{\varnothing\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 16:41 
Заблокирован


02/10/13

22
arseniiv в сообщении #770578 писал(а):
Ну Только не думайте, что если $a = \{\varnothing,\{a\}\}$, то $a = 2^a$: это множество таким свойством не обладает.
$2^{\{\varnothing,\{a\}\}} = \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{a\}\},a\} \ne \{\varnothing,\{a\}\}$.

А я вот записываю множество подмножеств множества $a$ так $2^a=\{\{\},\{a\}\}$ и считаю это "политически" правильным. :-)
arseniiv в сообщении #770578 писал(а):
Ну пускай есть хоть какое-то $a=2^a$. Совершенно без участия любимой вами аксиомы регулярности с ним есть противоречия в виде парадокса Рассела (который тут возникает из применения как раз теоремы Кантора к вашему множеству и единичному отображению). Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$ . Тогда и $b\in a$. Попробуйте установить, принадлежит ли $b$ себе. Получается, наличие множества $a$, равного своему булеану, делает теорию множеств противоречивой.

Дано $a=2^a$. Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$.
Пусть в $a$ для всех элементов верно $x\in x$. Вывод, множество $b$ пусто $b=\{\}$.
Ответ на Ваш вопрос - $b \notin b$.
Только не говорите, что из этого следует, что множество $b$ не пусто. В $a$ нет такого $x$ для которого $x \notin x$ по условию, множество так определено изначально. Аксиома выделения не может выделить какого-либо элемента этого множества, только подмножество, в данном случае – пустое.
Возможно, запись вида $\{x \in A| \varphi\}$, являющаяся сокращенной формой для записи множества, выделяемого по аксиоме выделения не очень то и удачная, т.к. кажется, что выделяемое подмножество не может быть пустым, а только $\{\{\}\}$.
На самом деле выделение в множестве квадратов множества со свойством "быть кругом" дает именно пустое множество, а не множество, содержащее пустое множество. Ну нет ни одного круглого квадрата (даже пустого :-) ), множество круглых квадратов $=\varnothing = \{\}$, а не $\{\varnothing\}$.

arseniiv в сообщении #770578 писал(а):
Лучше дать разные имена своему множеству и элементу в элементе в нём, во избежание путаницы: $A=\{\{\},\{a\}\}$

Зачем ? Вы собираетесь давать разные имена равным множествам ? Это все-равно, что различать единицы по цвету, эта зеленая, эта красная… на 1+1=2 это никак не повлияет.

arseniiv в сообщении #770578 писал(а):
Нет, множество $B= \{\varnothing\}$ так как существует ровно один элемент в $A$ (это $\varnothing$), который не принадлежит своему образу (так как $f(\varnothing = \varnothing$), значит, он должен принадлежать множеству $B$.

Нет, множество $B=\varnothing = \{\}$, а не $\{\varnothing\}$, а потому и в $f(x)$ вместо икса ставить нечего, ну нет такого элемента $A$, который не соответствовал бы какому-либо элементу $2^A$. Этот так сказать контрпример Кантора, когда внутри скобок $\{ x\in A: \varphi \}$ якобы записано что-то осмысленное и непротиворечивое, а потому и на выходе не может быть $B=\{\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 16:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sed в сообщении #770608 писал(а):
А я вот записываю множество подмножеств множества $a$ так $2^a=\{\{\},\{a\}\}$ и считаю это "политически" правильным. :-)
Это не булеан $a$. В конце концов, если булеан $a$ конечен, то и $a$ конечно, и количества их элементов не равны (это более слабая теорема, чем Кантора, и если вы сомневаетесь и в ней…). Так что $2^a$ не может иметь вид $\{\varnothing, \{a\}\}$ — в конечном случае это неверно, в бесконечном случае это тоже неверно из-за конечности $2^a$.

Sed в сообщении #770608 писал(а):
Дано $a=2^a$. Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$.
Пусть в $a$ для всех элементов верно $x\in x$. Вывод, множество $b$ пусто $b=\{\}$.
Ответ на Ваш вопрос - $b \notin b$.
Кто сказал, что для всех элементов $a$ верно $x\in x$?

Если ответ на мой вопрос — $b\notin b$, из этого следует, по определению $b$, что $b\in b$. А если $b\in b$, то $b\notin b$. Замечаете?

P. S. Цитируйте аккуратнее. Последние две цитаты — не мои.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 17:20 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Sed
Цитируйте аккуратнее, последние две цитаты принадлежат мне, а не arseniiv.

Цитата:
Вы собираетесь давать разные имена равным множествам ?

Если эти множества действительно равны, то множества $a =\{\{\},\{a\}\}$ не существует. Множество не может быть элементом самого себя. И элементом элемента самого себя быть не может. И вообще у множества должен быть минимальный по отношению $\in$ элемент. Следствие аксиомы регулярности.

Цитата:
Нет, множество $B=\varnothing = \{\}$, а не $\{\varnothing\}$, а потому и в $f(x)$ вместо икса ставить нечего, ну нет такого элемента $A$, который не соответствовал бы какому-либо элементу $2^A$.

Нет, множество $B = \{\varnothing\}$, а не $\varnothing$, а потому и в $f(x)$ вместо икса поставить есть что, ну есть такой элемент в $2^A$ что не существует элемента в $A$ которому соответствовал бы этот самый элемент из $2^A$.

А если серьезно, то у вас глобальное непонимание записи $\{x\in A| x\in f(x)\}$ вот этот кусок
Цитата:
$\{\varnothing \in \{\varnothing,\{a\}\} | \varnothing \notin \varnothing\}$.

лично для меня бессмысленный набор символов. Ну, кое-какую интерпретацию я могу ему дать, но это на волю моей фантазии.

Вот смотрите, запись $\{x\in A| P(x) \}$ в формальном языке $L_1 Set$ это сокращенная запись выражения $\exists z $\forall x ((x \in A \wedge P(x)) \leftrightarrow (x \in z) )  $ То есть моё выражение декларирует множество z, состоящее из всех x из А, для которых выполняется P(x), попробуйте записать подобную формулу для вашего выражения выше.
Ещё одно объяснение: попробуем записать выражение выше на русском $\{$ все <иксы> из <A> такие, что любой взятый <икс> <не принадлежат своему образу по функции f> $\}$ теперь попробуем записать то, что написали вы $\{$все <пустые множества> из <A> такие, что любое взятое <пустое множество> <пустое множество не принадлежит пустому множеству>$\}$. Это же даже не звучит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 17:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sed, если вы серьёзно утверждаете, что $a = \{\varnothing, \{a\}\}$ — булеан сам себе, то докажите это. $\forall u\mathbin. u\in 2^x = u\subset x$, чтобы не было никаких расхождений. Т. е. вам нужно доказать, что верно $$\forall b \left( b\in a \leftrightarrow b = \varnothing \vee \forall c \left( c\in b \leftrightarrow c=a \right)\right) \to \forall d \left( d\in a \leftrightarrow \forall e \left( e\in d \to e\in a \right)\right).$$
Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):
Если эти множества действительно равны, то множества $a =\{\{\},\{a\}\}$ не существует. Множество не может быть элементом самого себя. И элементом элемента самого себя быть не может. И вообще у множества должен быть минимальный по отношению $\in$ элемент. Следствие аксиомы регулярности.
Sed утверждает, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности и пытается построить к ней контрпример в теории множеств без аксиомы регулярности. Конечно, это безуспешно, и я надеюсь, он это увидит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 17:42 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Цитата:
Sed утверждает, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности и пытается построить к ней контрпример в теории множеств без аксиомы регулярности. Конечно, это безуспешно, и я надеюсь, он это увидит.


Ну раз утверждает, то я попрошу (можете, конечно, мою просьбу не выполнять) Sed доказать существование такого множества в $ZFC$ без аксиомы регулярности. Если докажете, это будет означать противоречивость обычной $ZFC$, с аксиомой регулярности; быстро реабилитируетесь в глазах математического сообщества. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 17:52 
Заблокирован


02/10/13

22
Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):
Sed
Цитируйте аккуратнее, последние две цитаты принадлежат мне, а не arseniiv.

arseniiv в сообщении #770616 писал(а):
P. S. Цитируйте аккуратнее. Последние две цитаты — не мои.

Тысяча извинений.

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):
Цитата:
Вы собираетесь давать разные имена равным множествам ?

Если эти множества действительно равны, то множества $a =\{\{\},\{a\}\}$ не существует. Множество не может быть элементом самого себя. И элементом элемента самого себя быть не может. И вообще у множества должен быть минимальный по отношению $\in$ элемент. Следствие аксиомы регулярности.

Я же сказал выше, что мои рассуждения строятся при отказе от аксиомы регулярности. Известно, что теория множеств без аксиомы регулярности не противоречива.

Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):
Нет, множество $B = \{\varnothing\}$, а не $\varnothing$, а потому и в $f(x)$ вместо икса поставить есть что, ну есть такой элемент в $2^A$ что не существует элемента в $A$ которому соответствовал бы этот самый элемент из $2^A$.

Извините, но с этим я не соглашусь.

Понимаете ли, я не поверю, что имея множество квадратов можно выделить из них хотя бы один элемент, обладающий свойством "быть круглым". Если это все-таки попытаться сделать, то выделенное множество будет именно пустым (т.е. ни одного элемента в нем нет). Если Вы сомневаетесь, считаете, что один то элемент в этом множестве должен быть, ну, предъявите мне, пожалуйста, этот единственный элемент, этот "круглый квадрат".
Вообще, можете взять любое множество и задав любое противоречивое свойство, подставить его в аксиому выделения, и предъявить мне элемент Вашего множества, который этим свойством обладает.
Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):
А если серьезно, то у вас глобальное непонимание записи $\{x\in A| x\in f(x)\}$ вот этот кусок
Цитата:
$\{\varnothing \in \{\varnothing,\{a\}\} | \varnothing \notin \varnothing\}$.

лично для меня бессмысленный набор символов. Ну, кое-какую интерпретацию я могу ему дать, но это на волю моей фантазии.

Ну, поставьте явно вместо букв в записи $B=\{x\in A | x\notin B\}$ любой элемент любого множества $A$ и посмотрите, что получится. Внутри скобочек именно этот элемент и окажется, после этого посмотрите, есть ли этот элемент в исходном множестве $A$ ?
Можете его предъявить ?
Urnwestek в сообщении #770624 писал(а):
Вот смотрите, запись $\{x\in A| P(x) \}$ в формальном языке $L_1 Set$ это сокращенная запись выражения $\exists z $\forall x ((x \in A \wedge P(x)) \leftrightarrow (x \in z) )  $ То есть моё выражение декларирует множество z, состоящее из всех x из А, для которых выполняется P(x), попробуйте записать подобную формулу для вашего выражения выше.

Это просто формальная запись того, что любое множество можно заключить в скобки и полученное выражение тоже будет множеством. При чем тут аксиома выделения ?
arseniiv в сообщении#770616 писал(а):
Sed в сообщении #770608 писал(а):
А я вот записываю множество подмножеств множества $a$ так $2^a=\{\{\},\{a\}\}$ и считаю это "политически" правильным. :-)
Это не булеан $a$. В конце концов, если булеан $a$ конечен, то и $a$ конечно, и количества их элементов не равны (это более слабая теорема, чем Кантора, и если вы сомневаетесь и в ней…). Так что $2^a$ не может иметь вид $\{\varnothing, \{a\}\}$ — в конечном случае это неверно, в бесконечном случае это тоже неверно из-за конечности $2^a$.

Это просто конечное сокращение другой (бесконечной) записи конечного множества $a=2^a$. Множество конечно, просто его полная запись бесконечна.

arseniiv в сообщении #770616 писал(а):
Sed в сообщении #770608 писал(а):
Дано $a=2^a$. Пусть $b=\{x\in a|x\notin x \}\subset a$.
Пусть в $a$ для всех элементов верно $x\in x$. Вывод, множество $b$ пусто $b=\{\}$.
Ответ на Ваш вопрос - $b \notin b$.
Кто сказал, что для всех элементов $a$ верно $x\in x$?

Я так задал множество, нельзя ? Если Вы считаете, что Ваш "метод" работает для всех множеств, то должен работать и для моего множества (как частный случай).

arseniiv в сообщении#770616 писал(а):
Если ответ на мой вопрос — $b\notin b$, из этого следует, по определению $b$, что $b\in b$. А если $b\in b$, то $b\notin b$. Замечаете?

Я замечаю, что если предположить, что в множестве квадратов есть круглый квадрат, то из этого можно вывести все, что угодно.
Неверно само Ваше рассуждение, а не исходная посылка.

-- 04.10.2013, 19:08 --

arseniiv в сообщении #770625 писал(а):
утверждает, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности и пытается построить к ней контрпример в теории множеств без аксиомы регулярности. Конечно, это безуспешно, и я надеюсь, он это увидит.

Не совсем так.Я пытаюсь показать, что теорема Кантора опирается на аксиому регулярности путем указания на противоречивость используемого метода доказательства (т.е. какого-то логического перехода).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 18:10 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Цитата:
Известно, что теория множеств без аксиомы регулярности не противоречива.

Известно, что это не может быть известно.

Цитата:
Я же сказал выше, что мои рассуждения строятся при отказе от аксиомы регулярности.

Докажите, что ваше множество существует. Я сильно подозреваю, что в такой теории утверждения о существовании и о несуществовании данного множества недоказуемы.

Цитата:
Ну, поставьте явно вместо букв в записи $B=\{x\in A | x\notin B\}$ любой элемент любого множества $A$

В данной записи вместо $x$ подставлять ничего нельзя. Это не функция, не отношение и не предикат. Вот в $P(x) = x\in A \wedge x \notin B\ можно что-то подставить. И если множества $A$ и $B$ это множества из задачи выше, то соответствующий элемент я вам предъявил.

Цитата:
Вообще, можете взять любое множество и задав любое противоречивое свойство

Свойство $P(x) = x \notin  f(x)$ из задачи выше непротиворечиво.

Цитата:
Это просто формальная запись того, что любое множество можно заключить в скобки и полученное выражение тоже будет множеством.

Дело в том, что cимволы $\{ , \}$ вообще не принадлежат синтаксису языка теории множеств, и служат лишь условными символами, нужными лишь для большего удобства. Откройте Манина "Доказуемое и недоказуемое" у него там на 10-20 страницах вроде хорошо это изложено.
Но даже если и можно строить ТМ как-то по-другому, с участием этих символов, то эта запись явно не того, что "любое множество можно заключить в скобки, и полученное выражение тоже будет множеством".

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 18:21 
Заблокирован


02/10/13

22
Urnwestek в сообщении #770649 писал(а):
Цитата:
Ну, поставьте явно вместо букв в записи $B=\{x\in A | x\notin B\}$ любой элемент любого множества $A$

В данной записи вместо $x$ подставлять ничего нельзя. Это не функция, не отношение и не предикат. Вот в $P(x) = x\in A \wedge x \notin B\ можно что-то подставить. И если множества $A$ и $B$ это множества из задачи выше, то соответствующий элемент я вам предъявил.

Какой "соответствующий" ? Вы просто предъявили мне все элементы множества $A$, да, я согласен, что ни один из них не принадлежит множеству $B$ (не обладает свойством $x\in B$, т.к. множество $B$ пусто (потому что условие его задающее – противоречиво).

Urnwestek в сообщении #770649 писал(а):
Цитата:
Вообще, можете взять любое множество и задав любое противоречивое свойство

Свойство $P(x) = x \notin  f(x)$ из задачи выше непротиворечиво.

Если $f(x)$ биекция, то противоречиво.
Urnwestek в сообщении #770649 писал(а):

Дело в том, что cимволы $\{ , \}$ вообще не принадлежат синтаксису языка теории множеств, и служат лишь условными символами, нужными лишь для большего удобства.

Грех не воспользоваться, столь удобным инструментом, которым во всей математической литературе не брезгують. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 18:37 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Цитата:
Грех не воспользоваться, столь удобным инструментом, которым во всей математической литературе не брезгують. :wink:

Разумеется не грех. Плохо пользоваться инструментом, принцип действия которого не понимаешь. В математике, по крайней мере, уж точно. Поэтому я вам и предложил выписать соответствующее выражение. Ну, не хотите — дело ваше.
Цитата:
Если $f(x)$ биекция, то противоречиво.

Нет.
Цитата:
Какой "соответствующий" ? Вы просто предъявили мне все элементы множества $A$, да, я согласен, что ни один из них не принадлежит множеству $B$ (не обладает свойством $x\in B$, т.к. множество $B$ пусто (потому что условие его задающее – противоречиво).

Давайте по порядку, для вашего примера (с вашего позволения, я его немного упрощу):
$A = \{ \{\}, D \}$ ($D$ - любое множество)
$ f : A \to 2^A$
$f( \{\} ) = \{\}$
$f( D ) = \{D\}$

1) Выпишите полностью множество $2^A$
1.1) Принадлежит ли $\{\}$ множеству $2^A$
1.2) Принадлежит ли $\{\{\}\}$ множеству $2^A$
1.3) Принадлежит ли $D$ множеству $2^A$
1.4) Принадлежит ли $\{D\}$ множеству $2^A$
2) Перечислите все элементы множества $A$ такие, что $x \notin f(x)$
2.1) Сколько их?
2.2) Выпишите множество $B$ всех элементов из $A$ таких, что $x \notin f(x)$ (названных в пункте 2)
3) Существует ли в множестве $A$ элемент $b$ такой, что $f(b) = B$ ? Если да, то назовите его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 18:50 
Заблокирован


02/10/13

22
1. $A=2^A=\{\{\},D\}$
1.1 да
1.2 нет
1.3 да
1.4 нет
2. Таковых нет, т.к. $f$ - биекция (эти с позволения сказать "элементы" – противоречивые сущности, обладающие свойством $x \in A \land x \notin A$).
2.1. 0
2.2. Множество $B$ пусто $B=\{\}$
3. Нет, т.к. $B$ задано противоречиво, а $\varnothing \notin \varnothing$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Кантора
Сообщение04.10.2013, 18:53 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Ещё, если позволите, одно задание:
0.5. Дать определение $2^A$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group