Грубое введение в тензоры

[Утундрий]

Munin в сообщении #769047 писал(а):

использовали обозначение ${,\mu}$ до его введения

Как же, а вон тамочки сверху привинчено! (в той части, которая вторая, но изложена первой).

Однако продолжим. Гуляя по саду смыслов, встречали мы три типа яблок: с индексом сверху, с индексом снизу и с индексом как сверху так и снизу. Это вдохновило нас на рассмотрения знакочешуйна змия (© В.А. Фок) вида $Z_{\mu \nu o...}^{\alpha \beta \gamma ...} $. Хорош он тем, что если уж равен весь как есть покомпонентно нулю, то уж равен: как параметры не перепараметризуй, всё равно равен нулю будет.

Рассмотрим ещё одну двухиндексную величину $v_{,\nu }^\mu$, характеризующую изменение $v^\mu$ при сдвиге на $dx^\nu$. Посмотрим, насколько хорошо характеризующую. Вычисляем: $v_{,\nu '}^{\mu '} = \left( {v^{\mu '} } \right)_{,\nu } x_{,\nu '}^\nu = \left( {x_{,\mu }^{\mu '} v^\mu } \right)_{,\nu } x_{,\nu '}^\nu = x_{,\mu \nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v^\mu + x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v_{,\nu }^\mu$. Упс, неприятность. Из $v_{,\nu }^\mu = 0 $ совсем не следует $v_{,\nu '}^{\mu '} = 0 $. Получается, в одних координатах изменения, предположим, нет, а в других уже есть? Нет, такой хоккей закон нам не нужен! Значит "определять изменение" мы $v_{,\nu }^\mu$ не доверим.

Надо бы ей слегка подрихтовать. Как? А на это укажет сам испортивший нам всю картину член $x_{,\mu \nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v^\mu$. Наверняка модификация должна свестись к аддитивной добавке, да при том по $v^\mu$ не иначе как линейной.

Итак, введём новую закорюку: $v_{;\nu }^\mu \equiv v_{,\nu }^\mu + \Gamma _{\alpha \nu }^\mu v^\alpha$. Да не просто введём, а потребуем $v_{;\nu '}^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v_{;\nu }^\mu$, что однозначно определит закон преобразования $\Gamma$ (найдите оный самостоятельно). Называется закорюка ковариантной производной. Определена она пока что токмо для контра-вектора, а как ея на всё прочее довыопределить - про то разговор особый.

[Munin]

Утундрий в сообщении #769148 писал(а):

Как же, а вон тамочки сверху привинчено! (в той части, которая вторая, но изложена первой).

Не привинчено, а сваливается на бедного читателя, как сугроб на голову. Читатель-то думает, что градиент - это $\operatorname{grad}f$ или $\nabla f.$

[Утундрий]

Munin в сообщении #769152 писал(а):

Читатель-то думает

Читатель что-то молчит. Наверное и сам сообразил, что из $df = f_{,\mu } dx^\mu$ ничего кроме $f_{,\mu } \equiv {{\partial f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial f} {\partial x^\mu }}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x^\mu }}$ не воспоследует.

[Утундрий]

Нет вопросов к докладчику? Значит ползём далее...

Обнаружив неприятное $v_{,\nu '}^{\mu '} = x_{,\alpha \nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v^\alpha + x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v_{,\nu }^\mu$ мы сочинили $v_{;\nu }^\mu \equiv v_{,\nu }^\mu + \Gamma _{\alpha \nu }^\mu v^\alpha$ и потребовали, чтобы $v_{;\nu '}^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu v_{;\nu }^\mu$. Подставляем и получаем: $v^\alpha \left( {x_{,\alpha }^{\alpha '} \Gamma _{\alpha '\nu '}^{\mu '} - x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu \Gamma _{\alpha \nu }^\mu + x_{,\alpha \nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu } \right) = 0$ откуда, в силу произвольности $v^\alpha $, следует $\Gamma _{\alpha '\nu '}^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\alpha '}^\alpha x_{,\nu '}^\nu \Gamma _{\alpha \nu }^\mu + x_{,\mu }^{\mu '} x_{,\alpha '\nu '}^\mu $. Повторяя все рассуждения для $w_{\mu ,\nu } $, сочиняя величину $w_{\mu ;\nu } \equiv w_{\mu ,\nu } - \tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha w_\alpha $ и требуя её тензорности, получаем для ${\tilde \Gamma }$ в точности тот же самый закон преобразования, что и для $\Gamma $ (поэтому в определении стоит знак минус и индексы расположены так, как они расположены).

Посмотрим теперь на инвариант $v^\mu w_\mu$ и поразмыслим, как его можно ковариантно продифференцировать? Собственно, уже градиент его $\left( {v^\mu w_\mu } \right)_{,\nu } $ вполне себе тензор и ничего кроме и выдумать нельзя. Было бы неплохо, однако, доопределить нашу операцию $;$ также и на скалярах. Что они, лучше других, что ли? Положим поэтому $f_{;\mu } \equiv f_{,\mu } $ для любой скалярной (не имеющей индексов) функции $f$. В случае с нашим инвариантом это даст $\left( {v^\mu w_\mu } \right)_{;\nu } = \left( {v^\mu w_\mu } \right)_{,\nu } = v_{,\nu }^\mu w_\mu + v^\mu w_{\mu ,\nu } $. Выразим теперь обычные производные через ковариантные и гамма-символы: $\left( {v^\mu w_\mu } \right)_{;\nu } = v_{;\nu }^\mu w_\mu + v^\mu w_{\mu ;\nu } + v^\mu w_\alpha \left( {\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha } \right)$.

Если бы не третье слагаемое, перед нами было бы родное и до боли знакомое правило Лейбница дифференцирования произведения. Не знаю как у вас, а у меня возникает сильное желание сие пооезное правило сохранить и для ковариантного дифференцирования. Вопрос только - можно ли это сделать? Ответ - можно! Потому как разность ${\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha }$ является тензором (докажите сами), следовательно - будучи положена равной нулю в каких-то одних координатах, остаётся нулём всегда. Итак, задавшись целью и впредь пользовать правило Лейбница, мы вынуждены положить $\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha \equiv \Gamma _{\mu \nu }^\alpha $.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #768786 писал(а):

Поглядим на компоненты контра- и ко- векторов как на обобщения дифференциала $dx^\mu$ и градиента $f_{,\mu }$ соответственно.

Я бы так же начал излагать (с градиента скаляра и дифференциала). Так многие делают. Правда многие потом быстро соскакивают на рассказ про метрику, а Вы вон до сих пор про неё ни слова не сказали, что более правильно, так до тензора Римана-Кристоффеля короче будет.

Утундрий в сообщении #769417 писал(а):

$\left( {v^\mu w_\mu } \right)_{;\nu } = v_{;\nu }^\mu w_\mu + v^\mu w_{\mu ;\nu } + v^\mu w_\alpha \left( {\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha } \right)$.

Откуда-то взялась тильда над Гаммой...

[casualvisitor]

Oleg Zubelevich в сообщении #768724 писал(а):

Царская дорога существует, только она не самая тривиальная: надо освоить определение тензорного произведения в общей инвариантной формулировке.

Если определять тензоры как полилинейные формы, то царская дорога сокращается с нескольких страниц до полустраницы. И таким путем уже несколько десятков лет идут авторы многих учебников по диф. геометрии и ОТО. Вот как выглядит эта дорога в книжке N. Jeevanjee, An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists (выбор этой книжки для примера довольно случаен):




Neos, полилинейная функция (часто говорят "полилинейная форма") $T$, о которой идет речь в приведенном отрывке, - это Ваш "геометрический объект". $C$ - поле скаляров. $V^{*}$ - векторное пространство, двойственное (сопряженное, dual) по отношению к исходному векторному пространству $V$, т.е. векторное пространство линейных числовых функций (линейных форм, линейных функционалов, ковекторов) на $V$. Если $\{e_{i}\}$ - базис в $V$, то двойственный (сопряженный, dual) ему базис $\{e^{i}\}$ в $V^{*}$ определяется соотношениями $e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}$.

Neos в сообщении #768679 писал(а):

Начинающие будут благодарны тому, кто распишет ... на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения.

Каждая компонента тензора - это значение полилинейной формы (той, которая "геометрический объект") на некотором наборе векторов, составленном из векторов базиса исходного векторного пространства, а также из векторов сопряженного базиса сопряженного векторного пространства. Векторам базиса исходного векторного пространства соответствуют ковариантные индексы компоненты тензора. Векторам сопряженного базиса - контравариантные индексы.

Neos в сообщении #768679 писал(а):

Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований.

Потому что замена базиса в исходном пространстве приводит к контраградиентной замене сопряженного базиса.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #769675 писал(а):

Откуда-то взялась тильда над Гаммой...

А вы помедитируйте, откуда именно. Перечитать немногословные пояснения тоже невредно будет.

-- 01.10.2013 17:51:18 --

casualvisitor
Осталось ввести операции: тензорное произведение, свёртку, разные симметризации и антисимметризации. Упомянуть тензоры метрический и Леви-Чивиты (можно с ними подождать до метрики и Римана, но имхо, полезно "приземлить" абстрактные представления на давно-хорошо-знакомые 3D-векторы как можно раньше - это даст топливо интуиции).

[SergeyGubanov]

А, понятно, увидел откуда тильда растёт... Первый раз смотрел "по-диагонали".

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #769675 писал(а):

короче

А это пока что "занудный способ". Чтобы не просто ввести, а как-то мотивировать.

[Утундрий]

В прошлый раз мы заплатили за удобство (правило Лейбница) высокую цену, пожертвовав половину из имеющихся "гамм". Естественно теперь попытаться выжать из приобретения как можно больше. Не будем мелочиться и распространим его сразу на все мономы: $\left( {v^\alpha w_\beta u^\gamma ...} \right)_{;\mu } \equiv v_{;\mu }^\alpha w_\beta u^\gamma ... + v^\alpha w_{\beta ;\mu } u^\gamma ... + v^\alpha w_\beta u_{;\mu }^\gamma ... + ...$. В глазах рябит от многоточий... Давайте запишем это для частного случая: $\left( {v^\alpha w_\beta } \right)_{;\mu } \equiv v_{;\mu }^\alpha w_\beta + v^\alpha w_{\beta ;\mu } $. Подставив в правой части определения ковариантных производных, переобозначив немые индексы (это те, по которым производится свёртка-суммирование) и слегка преобразовав, получим: $\left( {v^\alpha w_\beta } \right)_{;\mu } = \left( {v^\alpha w_\beta } \right)_{,\mu } + \Gamma _{\nu \mu }^\alpha \left( {v^\nu w_\beta } \right) - \Gamma _{\beta \mu }^\nu \left( {v^\alpha w_\nu } \right)$. Если теперь взять много-много пар вида ${v^\alpha w_\beta }$ и рассмотреть их сумму $v^\alpha w_\beta + z^\alpha u_\beta + p^\alpha a_\beta + ...$, то мы заметим две вещи. Во-первых, ковариантная производная составляется для всей суммы точно так же как мы её составляли для отдельной пары. Во-вторых, взяв достаточное число слагаемых, можно аппроксимировать любой смешанный тензор $t_\beta ^\alpha $. Следовательно, общее правило таково: $t_{\beta ;\mu }^\alpha = t_{\beta ,\mu }^\alpha + \Gamma _{\nu \mu }^\alpha t_\beta ^\nu - \Gamma _{\beta \mu }^\nu t_\nu ^\alpha $. Обобщение на произвольное число индексов не представляет труда.

Вспомним одного старого знакомого $x_{,\beta }^\alpha $. Как было показано, сие есть тензор. У него имеется стандартное обозначение $\delta _\beta ^\alpha$ и важные свойства: $\delta _\beta ^\alpha v^\beta = v^\alpha$ и $\delta _\beta ^\alpha w_\alpha = w_\beta$ благодаря которым его называют "единичным тензором".

Теперь посчитаем его ковариантную производную: $\delta _{\beta ;\mu }^\alpha = \delta _{\beta ,\mu }^\alpha + \Gamma _{\nu \mu }^\alpha \delta _\beta ^\nu - \Gamma _{\beta \mu }^\nu \delta _\nu ^\alpha = 0 + \Gamma _{\beta \mu }^\alpha - \Gamma _{\beta \mu }^\alpha = 0$. Внезапно

Хотя, на самом-то деле, ничего случайного в таком результате нет. Ковариантное постоянство $\delta _\beta ^\alpha$ следует из правил Лейбница и из неоднозначности записи операции свёртки. В самом деле: $v^\alpha w_\alpha = v^\beta w_\alpha \delta _\beta ^\alpha$. Откуда $v_{;\mu }^\alpha w_\alpha + v^\alpha w_{\alpha ;\mu } = v_{;\mu }^\beta w_\alpha \delta _\beta ^\alpha + v^\beta w_{\alpha ;\mu } \delta _\beta ^\alpha + v^\beta w_\alpha \delta _{\beta ;\mu }^\alpha$, то есть $v^\beta w_\alpha \delta _{\beta ;\mu }^\alpha = 0$ или просто $\delta _{\beta ;\mu }^\alpha = 0$.

[SergeyGubanov]

casualvisitor в сообщении #769698 писал(а):

Если определять тензоры как полилинейные формы, то...

Это всё круто конечно, но как тензоры от, например, спиноров отличать будете? Или от всяких разных иных многокомпонентных величин (лоренцевские там, всякие "внутренние симметрии", у таких объектов ведь тоже индексы есть прямо как у полилинейных форм)? Я к тому, что полилинейные формы - это более общее понятие, а тензоры - чуток более специфическое, а если конкретно, то завязанное именно на дифференцирование ($dx^{\mu}$, $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$).

Утундрий в сообщении #769793 писал(а):

Внезапно

Жжёте. У Вас ещё много такого? Кстати, опять же про спиноры, нет ли у Вас планов и в них тоже грубое введение сделать?

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #769816 писал(а):

Я к тому, что полилинейные формы - это более общее понятие, а тензоры - чуток более специфическое

Вообще-то нет.

Про спиноры я бы тоже послушал, но не от такого "грамотея", как вы.

[Oleg Zubelevich]

Мне нравится следующий способ построения этой науки в конечномерном случае.

Тензорным произведением векторных пространств $X$ и $Y$ назовем пространство билинейных форм $f:X^*\times Y^*\to \mathbb{R}$ и обозначим это пространство через $X\otimes Y$.

Тензорным произведением $x\otimes y,\quad x\in X,\quad y\in Y$ назовем билинейную форму $h\in X\otimes Y$, которая действует по правилу $h(u,v)=u(x)v(y)$.

Дальше легко проверить, что если $e_1,\ldots ,e_m$ --- базис в $X$ и $p_1,\ldots, p_n$ -- базис в $Y$ то $e_i\otimes p_j$ -- базис в $X\otimes Y$. Ну и так далее.

[Утундрий]

Как-то В. И. Арнольд (если моя мемори не фрагилис) удачно сравнил преимущество аксиоматического подхода с преимуществом воровства по сравнению с честной работой...

[casualvisitor]

Oleg Zubelevich в сообщении #769833 писал(а):

Мне нравится следующий способ построения этой науки в конечномерном случае.

По существу, это - другой способ изложения в рамках уже продемонстрированного мной подхода. В "моем" варианте произведения определяются точно так же, как и в "Вашем". Но тензоры вводятся быстрее и, пожалуй, чуть проще. С точки зрения построения теории в целом разницы, наверное, нет.