Нет вопросов к докладчику? Значит ползём далее...
Обнаружив неприятное
мы сочинили
и потребовали, чтобы
. Подставляем и получаем:
откуда, в силу произвольности
, следует
. Повторяя все рассуждения для
, сочиняя величину
и требуя её тензорности, получаем для
в точности тот же самый закон преобразования, что и для
(поэтому в определении стоит знак минус и индексы расположены так, как они расположены).
Посмотрим теперь на инвариант
и поразмыслим, как его можно ковариантно продифференцировать? Собственно, уже градиент его
вполне себе тензор и ничего кроме и выдумать нельзя. Было бы неплохо, однако, доопределить нашу операцию
также и на скалярах. Что они, лучше других, что ли? Положим поэтому
для любой скалярной (не имеющей индексов) функции
. В случае с нашим инвариантом это даст
. Выразим теперь обычные производные через ковариантные и гамма-символы:
.
Если бы не третье слагаемое, перед нами было бы родное и до боли знакомое правило Лейбница дифференцирования произведения. Не знаю как у вас, а у меня возникает сильное желание сие пооезное правило сохранить и для ковариантного дифференцирования. Вопрос только - можно ли это сделать? Ответ - можно! Потому как разность
является тензором (докажите сами), следовательно - будучи положена равной нулю в каких-то одних координатах, остаётся нулём всегда. Итак, задавшись целью и впредь пользовать правило Лейбница, мы вынуждены положить
.