Делитель нуля и обратный элемент

[Someone]

Manticore в сообщении #769030 писал(а):

Но ведь $a \cdot a^{-1}=1$?

Ну и что? У Вас написано

Manticore в сообщении #768992 писал(а):

$ab=0$, $b \neq 0, a \neq 0$
$ab \cdot a^{-1}=0 \cdot a^{-1}$
$\Rightarrow b=0 \cdot a^{-1}$
т.е. $b=0$, противоречие.

То есть, Вы используете преобразования $(ab)a^{-1}=(aa^{-1})b=1b=b$. Первое равенство в этой цепочке незаконно, оно требует двух свойств операции умножения, о которых у Вас ничего не сказано.

А вообще, в произвольных кольцах с единицей, где об операции умножения ничего не известно, кроме наличия единичного элемента, требуемое утверждение (обратимый элемент не является делителем нуля) верно?

Manticore, как у Вас определяется кольцо? Точное определение приведите.

[Manticore]

VAL
Простите за глупый вопрос, но тогда и $b\cdot a \cdot a^{-1}$ не всегда равно $b$?
Так или иначе, здесь же есть единица, значит, кольцо ассоциативно, и есть коммутативность? Почему это не так?

[Joker_vD]

Manticore в сообщении #769048 писал(а):

но тогда $b\cdot a \cdot a^{-1}$ не всегда равно $b$?

Нет. $baa^{-1}=b(aa^{-1})=b1=b$.

Manticore в сообщении #769048 писал(а):

Так или иначе, здесь же есть единица, значит, кольцо ассоциативно, и есть коммутативность? Почему это не так?

Кольцо матриц $2\times2$ — умножение здесь ассоциативно, с единицей, но некоммутативно. Потому что вот так вот.

[Manticore]

Someone

Someone в сообщении #769042 писал(а):

А вообще, в произвольных кольцах с единицей, где об операции умножения ничего не известно, кроме наличия единичного элемента, требуемое утверждение (обратимый элемент не является делителем нуля) верно?

Я помню, что да. Что это верно для произвольного кольца.

Someone в сообщении #769042 писал(а):

Manticore, как у Вас определяется кольцо?

Множество, на котором заданы операции $+$ и $\times$ , а также выполнены свойства:
Сложение:
коммутативность, ассоциативность, есть нейтральный элемент $0$, существует обратный элемент относительно сложения.
Умножение:
коммутативность, ассоциативность, нейтральный элемент $1$, согласованность умножения и сложения - дистрибутивность.

-- 29.09.2013, 17:34 --

$ab=0, a \neq 0, b \neq 0, b\cdot b^{-1}=1$
$a=a\cdot 1=a\cdot b \cdot b^{-1}=0 \cdot b^{-1} \Rightarrow b=0$

[VAL]

Manticore в сообщении #769063 писал(а):

Множество, на котором заданы операции $+$ и $\times$ , а также выполнены свойства:
Сложение:
коммутативность, ассоциативность, есть нейтральный элемент $0$, существует обратный элемент относительно сложения.

Один? Или к каждому?

Цитата:

Умножение:
коммутативность, ассоциативность, нейтральный элемент $1$, согласованность умножения и сложения - дистрибутивность.

У вас получилось ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей.
Даже ассоциативность часто не включают в определение кольца. А уж коммутативность и наличие единицы и подавно. Впрочем, наличие единицы у вас оговорено в условии. Но не коммутативность, которой вы упорно пользуетесь, хотя она совсем не нужна для доказательства требуемого утверждения.

Цитата:

$ab=0, a \neq 0, b \neq 0, b\cdot b^{-1}=1$
$a=a\cdot 1=a\cdot b \cdot b^{-1}=0 \cdot b^{-1} \Rightarrow b=0$

Странный вывод! Из того, что $a\cdot1=0$ следует, что $b=0$?!

Я начинаю думать, что вы специально развлекаетесь.

[Manticore]

VAL в сообщении #769067 писал(а):

Один? Или к каждому?

Для любого элемента обратный именно к нему - единственен.

VAL в сообщении #769067 писал(а):

Странный вывод! Из того, что $a\cdot1=0$ следует, что $b=0$?!

Да, потому что $a$ - ненулевой элемент.

-- 29.09.2013, 18:04 --

Простите, наверное, я просто криво выразился - $b=0$ - я имел в виду, что значит $b$ - не делитель нуля.
Т.е. имеем противоречие.

[VAL]

Manticore в сообщении #769072 писал(а):

VAL в сообщении #769067 писал(а):

Один? Или к каждому?

Для любого элемента обратный именно к нему - единственен.

Это само собой.
Но главное, что он есть для любого.

Цитата:

VAL в сообщении #769067 писал(а):

Странный вывод! Из того, что $a\cdot1=0$ следует, что $b=0$?!

Да, потому что $a$ - ненулевой элемент.

Еще раз. Имеем $a\cdot1=0$. Что отсюда следует?! Причем здесь $b$?!

[Manticore]

VAL в сообщении #769076 писал(а):

Еще раз. Имеем $a\cdot1=0$. Что отсюда следует?! Причем здесь $b$?!

При том, что $1=b\cdot b^{-1}$
Подставлю туда, получаю $a\cdot b \cdot b^{-1}=0$
Но мы знаем, что $ab=0$, значит, $0 \cdot b^{-1}=0$
То есть из этого следует, что $a=0$, а это невозможно, значит, $b$ - не делитель нуля...(если имеет обратный элемент)

[Xaositect]

А если для $b$ не существует $b^{-1}$?

[Manticore]

Xaositect в сообщении #769085 писал(а):

А если для $b$ не существует $b^{-1}$?

Тогда нам нечего доказывать. Нам же нужен обратимый элемент.

[Xaositect]

А, у нас $b$ по предположению обратим, а не $a$. Извиняюсь.

Вроде бы теперь все верно. Если $ab = 0$ и $b$ обратим, то $a = 0$.

[Manticore]

Xaositect
Да, извините, я перешёл на $b$ почему-то.
Ну в общем вроде я разобрался, спасибо всем за ответы.

[Someone]

Xaositect в сообщении #769091 писал(а):

Вроде бы теперь все верно. Если $ab = 0$ и $b$ обратим, то $a = 0$.

Ну, если кольцо ассоциативное, то да.
Всё-таки для произвольного кольца с единицей (не коммутативного и не ассоциативного) это утверждение — что обратимый элемент не является делителем нуля — верно или нет?

Manticore в сообщении #769063 писал(а):

Умножение:
…, ассоциативность, …

Это, наверное, следовало сформулировать в условии задачи. Для доказательства достаточно ассоциативности.

[VAL]

Manticore в сообщении #769082 писал(а):

VAL в сообщении #769076 писал(а):

Еще раз. Имеем $a\cdot1=0$. Что отсюда следует?! Причем здесь $b$?!

При том, что $1=b\cdot b^{-1}$
Подставлю туда, получаю $a\cdot b \cdot b^{-1}=0$
Но мы знаем, что $ab=0$, значит, $0 \cdot b^{-1}=0$
То есть из этого следует, что $a=0$, а это невозможно, значит, $b$ - не делитель нуля...(если имеет обратный элемент)

Вот теперь похоже на доказательство.

Но все равно кривовато.

Лучше так:

Дано: $b$ обратим.
Предположим он является делителем нуля.
Тогда найдется ненулевой элемент $a$, такой что $ab=0$.
Домножим обе части последнего равенства справа на $b^{-1}$.
Получим $(a\cdot b)\cdot b^{-1}=0$, т.е $a\cdot (b\cdot b^{-1})=0$, т.е. $a\cdot 1=0$, т.е $a=0$, что противоречит выбору $a$.

В доказательстве использована ассоциативность (выделил явно этот момент).

To Someone:
Как правило ассоциативность включают в аксиомы кольца.
В противном случае обычно говорят о неассоциативных кольцах.

[Xaositect]

Someone в сообщении #769112 писал(а):

Всё-таки для произвольного кольца с единицей (не коммутативного и не ассоциативного) это утверждение — что обратимый элемент не является делителем нуля — верно или нет?

Нет, напр. седенионы.