2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение26.09.2013, 21:29 
Здравствуйте! Есть пара вопросов по заданию: "докажите, что если элемент кольца имеет обратный относительно умножения, то он не является делителем нуля".

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это $a, b$, если $ab=0$ и $a\neq 0, b\neq 0$. Но когда это возможно? Я так думаю, что должен быть принцип, схожий с принципом множеств: мол, есть множество $\lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$, тогда $2+3=1$, но я всё равно ничего не понимаю.
Как бы то ни было, пытался доказать так:
$ab=0, a \neq 0, b \neq 0, ab \cdot (ab)^{-1}=1$
$ab \cdot (ab)^{-1}=0 \cdot (ab)^{-1}$
$\Rightarrow 1=0 \cdot (ab)^{-1}$, т.е. $(ab)^{-1}$ является обратным элементом для нуля, что невозможно.
Верно ли это?

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение26.09.2013, 21:36 
Manticore в сообщении #768124 писал(а):
...докажите, что если всякий элемент кольца имеет обратный относительно умножения...

Ноль тоже что ли имеет?

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение26.09.2013, 21:41 
Аватара пользователя
Manticore в сообщении #768124 писал(а):
Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это $a, b$, если $ab=0$ и $a\neq 0, b\neq 0$. Но когда это возможно?

Рассмотрим кольцо вычетов по модулю 6.
Имеем $2\cdot3\equiv0\pmod6$
То есть в этом кольце 2 и 3 делят ноль, но сами нулю не равны.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение26.09.2013, 21:50 
mihailm
Слова "всякий" нет в задании, извините. Без нуля, конечно.

whitefox
Понятно! Спасибо.

-- 26.09.2013, 21:53 --

Или, вообще, получается так:
$1=0 \cdot (ab)^{-1}$
$1=0 \cdot 0^{-1}$
$1=0^0$
Противоречие.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение26.09.2013, 22:26 
Аватара пользователя
А почему вы берете обратный элемент к произведению, $(ab)^{-1}$? Ведь оно равно 0, а у нуля точно нет обратного.
Давайте по порядку. Какой элемент имеет обратный и что про него надо доказать?

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение27.09.2013, 10:42 
Manticore в сообщении #768124 писал(а):
Здравствуйте! Есть пара вопросов по заданию: "докажите, что если элемент кольца имеет обратный относительно умножения, то он не является делителем нуля".

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это $a, b$, если $ab=0$ и $a\neq 0, b\neq 0$. Но когда это возможно?
Наиболее простые и распространенные примеры делителей нуля смотрите в кольцах классов вычетов по модулю (такой пример уже привел whitefox) и в кольцах квадратных матриц (например, возьмите квадратные матрицы $2\times2$ с целыми элементами).
Цитата:
Я так думаю, что должен быть принцип, схожий с принципом множеств: мол, есть множество $\lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$, тогда $2+3=1$
А это что принцип такой?
Все остальные помогающие не отреагировали. Это я один такой темный?! :shock:
Цитата:
Как бы то ни было, пытался доказать так:
$ab=0, a \neq 0, b \neq 0, ab \cdot (ab)^{-1}=1$
$ab \cdot (ab)^{-1}=0 \cdot (ab)^{-1}$
$\Rightarrow 1=0 \cdot (ab)^{-1}$, т.е. $(ab)^{-1}$ является обратным элементом для нуля, что невозможно.
Верно ли это?
Зачем Вы берете сразу два элемента (и обратный к их произведению)? Вам ведь дан всего один элемент (допустим $a$), имеющий обратный. Этим и воспользуйтесь. Предположите, что он является делителем нуля и приведите это предположение в противоречие с обратимостью.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение27.09.2013, 11:31 
Аватара пользователя
VAL, я уже давала ТС такой совет, но он, похоже, куда-то пропал...

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение27.09.2013, 11:47 
provincialka в сообщении #768264 писал(а):
VAL, я уже давала ТС такой совет, но он, похоже, куда-то пропал...
Это традиция. Из всех участников дискуссии ТС обычно исчезает первым :-)

Я бы не стал вмешиваться, но меня заинтриговало отсутствие реакции помогающих на загадочный "принцип множеств". Вдруг я чего-то не знаю? (Т.е. я, разумеется, чего-то не знаю. Но вдруг на самом деле имеется какой-то "принцип множеств").

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение27.09.2013, 11:49 
Аватара пользователя
Нет, разумеется. Может, ТС что-то слышал о сравнениях по модулю, и они в таком виде отложились в его мозгу?
Судя по "логичности" остальных рассуждений, вряд ли можно ждать от него надежной информации.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение29.09.2013, 13:41 
provincialka
Любой элемент, ну то есть можно взять $ab=0$, где один из них или оба имеют обратный. И надо доказать, что это невозможно. Вроде так?
VAL в сообщении #768250 писал(а):
А это что принцип такой?
Все остальные помогающие не отреагировали. Это я один такой темный?! :shock:

В моём примере получилось, что существует только $4$ числа, и ни $2+3$, ни $4+1$ не дадут $5$, может, я просто неправильно выражаю мысли.

Я не понимаю, почему нельзя взять обратные элементы для $a$ и $b$ одновременно. Раз нельзя - ну так и получается, что нельзя.
А если брать один, может, так:
$ab=0$, $b \neq 0, a \neq 0$
$ab \cdot a^{-1}=0 \cdot a^{-1}$
$\Rightarrow b=0 \cdot a^{-1}$
т.е. $b=0$, противоречие.

Извините, что пропал, не было возможности зайти на форум.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение29.09.2013, 13:45 
Manticore в сообщении #768992 писал(а):
Я не понимаю, почему нельзя взять обратные элементы для $a$ и $b$ одновременно. Раз нельзя - ну так и получается, что нельзя.

Вы можете взять обратные для $a$, для $b$ и перемножить их (порядок здесь важен.
Ваше последнее рассуждение верно. Разве что нужно доказать, что $0\cdot a=0$ но это несложно.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение29.09.2013, 13:52 
Аватара пользователя
Manticore в сообщении #768992 писал(а):
Я не понимаю, почему нельзя взять обратные элементы для $a$ и $b$ одновременно.
Потому что Вы тогда вместо доказательства требуемого утверждения "элемент $a$ не имеет обратного" докажете, в лучшем случае, совсем другое утверждение "элементы $a$ и $b$ не могут иметь обратные элементы одновременно".

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение29.09.2013, 13:53 
Аватара пользователя
Почти верно, только как у вас "сократилось" $a$ в левой части? Разве умножение коммутативно?
А зачем требовать обратимость обоих элементов, $a,b$? Мы же исследуем $a$. А уж тем более, нельзя требовать обратимости произведения, ведь оно равно 0.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение29.09.2013, 15:13 
provincialka в сообщении #769002 писал(а):
Почти верно, только как у вас "сократилось" $a$ в левой части? Разве умножение коммутативно?

Но ведь $a \cdot a^{-1}=1$?

-- 29.09.2013, 15:34 --

Tookser
$c-c=0$
$a \cdot 0= a \cdot (c-c) = ac - ac = 0$
Думаю, что так. Вроде разобрался.
Спасибо всем.

 
 
 
 Re: Делитель нуля и обратный элемент
Сообщение29.09.2013, 15:58 
Manticore в сообщении #769030 писал(а):
provincialka в сообщении #769002 писал(а):
Почти верно, только как у вас "сократилось" $a$ в левой части? Разве умножение коммутативно?

Но ведь $a \cdot a^{-1}=1$?
$a\cdot a^{-1}$, конечно, $1$. Но $a\cdot b\cdot a^{-1}$ не обязательно $b$.

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group