Делитель нуля и обратный элемент

[Manticore]

Здравствуйте! Есть пара вопросов по заданию: "докажите, что если элемент кольца имеет обратный относительно умножения, то он не является делителем нуля".

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это $a, b$, если $ab=0$ и $a\neq 0, b\neq 0$. Но когда это возможно? Я так думаю, что должен быть принцип, схожий с принципом множеств: мол, есть множество $\lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$, тогда $2+3=1$, но я всё равно ничего не понимаю.
Как бы то ни было, пытался доказать так:
$ab=0, a \neq 0, b \neq 0, ab \cdot (ab)^{-1}=1$
$ab \cdot (ab)^{-1}=0 \cdot (ab)^{-1}$
$\Rightarrow 1=0 \cdot (ab)^{-1}$, т.е. $(ab)^{-1}$ является обратным элементом для нуля, что невозможно.
Верно ли это?

[mihailm]

Manticore в сообщении #768124 писал(а):

...докажите, что если всякий элемент кольца имеет обратный относительно умножения...

Ноль тоже что ли имеет?

[whitefox]

Manticore в сообщении #768124 писал(а):

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это $a, b$, если $ab=0$ и $a\neq 0, b\neq 0$. Но когда это возможно?

Рассмотрим кольцо вычетов по модулю 6.
Имеем $2\cdot3\equiv0\pmod6$
То есть в этом кольце 2 и 3 делят ноль, но сами нулю не равны.

[Manticore]

mihailm
Слова "всякий" нет в задании, извините. Без нуля, конечно.

whitefox
Понятно! Спасибо.

-- 26.09.2013, 21:53 --

Или, вообще, получается так:
$1=0 \cdot (ab)^{-1}$
$1=0 \cdot 0^{-1}$
$1=0^0$
Противоречие.

[provincialka]

А почему вы берете обратный элемент к произведению, $(ab)^{-1}$? Ведь оно равно 0, а у нуля точно нет обратного.
Давайте по порядку. Какой элемент имеет обратный и что про него надо доказать?

[VAL]

Manticore в сообщении #768124 писал(а):

Здравствуйте! Есть пара вопросов по заданию: "докажите, что если элемент кольца имеет обратный относительно умножения, то он не является делителем нуля".

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это $a, b$, если $ab=0$ и $a\neq 0, b\neq 0$. Но когда это возможно?

Наиболее простые и распространенные примеры делителей нуля смотрите в кольцах классов вычетов по модулю (такой пример уже привел whitefox) и в кольцах квадратных матриц (например, возьмите квадратные матрицы $2\times2$ с целыми элементами).

Цитата:

Я так думаю, что должен быть принцип, схожий с принципом множеств: мол, есть множество $\lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$, тогда $2+3=1$

А это что принцип такой?
Все остальные помогающие не отреагировали. Это я один такой темный?!

Цитата:

Как бы то ни было, пытался доказать так:
$ab=0, a \neq 0, b \neq 0, ab \cdot (ab)^{-1}=1$
$ab \cdot (ab)^{-1}=0 \cdot (ab)^{-1}$
$\Rightarrow 1=0 \cdot (ab)^{-1}$, т.е. $(ab)^{-1}$ является обратным элементом для нуля, что невозможно.
Верно ли это?

Зачем Вы берете сразу два элемента (и обратный к их произведению)? Вам ведь дан всего один элемент (допустим $a$), имеющий обратный. Этим и воспользуйтесь. Предположите, что он является делителем нуля и приведите это предположение в противоречие с обратимостью.

[provincialka]

VAL, я уже давала ТС такой совет, но он, похоже, куда-то пропал...

[VAL]

provincialka в сообщении #768264 писал(а):

VAL, я уже давала ТС такой совет, но он, похоже, куда-то пропал...

Это традиция. Из всех участников дискуссии ТС обычно исчезает первым

Я бы не стал вмешиваться, но меня заинтриговало отсутствие реакции помогающих на загадочный "принцип множеств". Вдруг я чего-то не знаю? (Т.е. я, разумеется, чего-то не знаю. Но вдруг на самом деле имеется какой-то "принцип множеств").

[provincialka]

Нет, разумеется. Может, ТС что-то слышал о сравнениях по модулю, и они в таком виде отложились в его мозгу?
Судя по "логичности" остальных рассуждений, вряд ли можно ждать от него надежной информации.

[Manticore]

provincialka
Любой элемент, ну то есть можно взять $ab=0$, где один из них или оба имеют обратный. И надо доказать, что это невозможно. Вроде так?

VAL в сообщении #768250 писал(а):

А это что принцип такой?
Все остальные помогающие не отреагировали. Это я один такой темный?!

В моём примере получилось, что существует только $4$ числа, и ни $2+3$, ни $4+1$ не дадут $5$, может, я просто неправильно выражаю мысли.

Я не понимаю, почему нельзя взять обратные элементы для $a$ и $b$ одновременно. Раз нельзя - ну так и получается, что нельзя.
А если брать один, может, так:
$ab=0$, $b \neq 0, a \neq 0$
$ab \cdot a^{-1}=0 \cdot a^{-1}$
$\Rightarrow b=0 \cdot a^{-1}$
т.е. $b=0$, противоречие.

Извините, что пропал, не было возможности зайти на форум.

[Tookser]

Manticore в сообщении #768992 писал(а):

Я не понимаю, почему нельзя взять обратные элементы для $a$ и $b$ одновременно. Раз нельзя - ну так и получается, что нельзя.

Вы можете взять обратные для $a$, для $b$ и перемножить их (порядок здесь важен.
Ваше последнее рассуждение верно. Разве что нужно доказать, что $0\cdot a=0$ но это несложно.

[Someone]

Manticore в сообщении #768992 писал(а):

Я не понимаю, почему нельзя взять обратные элементы для $a$ и $b$ одновременно.

Потому что Вы тогда вместо доказательства требуемого утверждения "элемент $a$ не имеет обратного" докажете, в лучшем случае, совсем другое утверждение "элементы $a$ и $b$ не могут иметь обратные элементы одновременно".

[provincialka]

Почти верно, только как у вас "сократилось" $a$ в левой части? Разве умножение коммутативно?
А зачем требовать обратимость обоих элементов, $a,b$? Мы же исследуем $a$. А уж тем более, нельзя требовать обратимости произведения, ведь оно равно 0.

[Manticore]

provincialka в сообщении #769002 писал(а):

Почти верно, только как у вас "сократилось" $a$ в левой части? Разве умножение коммутативно?

Но ведь $a \cdot a^{-1}=1$?

-- 29.09.2013, 15:34 --

Tookser
$c-c=0$
$a \cdot 0= a \cdot (c-c) = ac - ac = 0$
Думаю, что так. Вроде разобрался.
Спасибо всем.

[VAL]

Manticore в сообщении #769030 писал(а):

provincialka в сообщении #769002 писал(а):

Почти верно, только как у вас "сократилось" $a$ в левой части? Разве умножение коммутативно?

Но ведь $a \cdot a^{-1}=1$?

$a\cdot a^{-1}$, конечно, $1$. Но $a\cdot b\cdot a^{-1}$ не обязательно $b$.