Соблюдаются ли аксиомы группы при суммировании векторов?

[robez]

Добрый день всем математикам.
Появилась насущная проблема построить простейшую демонстрационную модель группы и встал вопрос можно ли с этой целью использовать сумму векторов на плоскости?
В принципе четыре аксиомы соблюдаются если рассматривать вектор как преобразование одной точки в другую:
Для любых векторов на плоскости $v_1, v_2, v_3$ :
1) для любых трех $v_1, v_2, v_3$ верно равенство $(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + ( v_2 + v_2)$(закон ассоциативности);
2) Существует преобразование которое ничего не меняет (нулевой вектор).
3) для любого элемента $v_1$существует обратный
4)$v_1 + v_2 = v_2 + v_1$ (закон коммутативности)

Объектами преобразования выступают точки, а преобразованиями – векторы. Например из точки $ A_{0,0}$ в точку $ B_{2,3}$ можно попасть прибавив вектор $ v_1 (+2,+3)$. Из $ B_{2,3}$ в $ C_{1,5}$ можно попасть прибавив вектор $ v_2 (-1,+2)$. Так мы можем попасть из А в С через В применив последовательно $A + v_1+ v_2 = C$, или из А в С через $ D_{-1,2}$ применив $A + v_2+ v_1 = C$.
Проблема в том что нельзя дважды прибавлять один и тот же вектор. То есть запрещены операции добавления несколько раз одного и того же вектора: например $A + v_2+ v_2 + v_1 $. В итоге должно получиться проекция N-мерного неправильного куба на евклидову плоскость. Вершины такого куба будут нашими точками, а грани - разрешенными операциями перехода между вершинами. Вопрос состоит в том, можно ли говорить о сохранении аксиом группы для таких операций?

Далее я хочу перейти к неалгоритмизируемым процедурам. Т.е. разделить операции и векторы с сохранением аксиоматики. Для этого векторы будут различаться в зависимости от исходной точки, что равносильно переносу точки $D^1_{-1,2}$ в другое место $D^2_{-2,1}$.
Раньше вектор $v_1(+2,+3)$ был одинаков в обоих случаях:
$A_{0,0} + v_1(+2,+3) = B_{2,3}, D_{-1,2} + v_1(+2, +3) = C_{1,5} $
Теперь вектор распадается на множество линий $v_1 = ( L^1_{AB}(+2,+3) | L^1_{DC}(+3, +4) )$, связывающих конкретные точки.
$A_{0,0} + L^1_{AB}(+2,+3) = B_{2,3}, D^2_{-2,1} + L^1_{DC}(+3, +4) = C_{1,5} $

Если все линии имеют одинаковую направленность, то операция точно совпадет с вектором, иначе мы получаем неалгоритмизированную функцию заданную множеством неодинаковых линий переводящих пресонально одну точку в другую. Если аксиомы группы сохраняются для таких функций, то нои будут сохранятся даже если мы произвольно поменяет координаты любой точки и перезадаем связанные с точкой линии. Эта ситуация сохраняется даже для точек и линий о которых мы ничего не знаем и, тем самым, поскольку на неалгоритмизируемые процедуры не накладывается никаких ограничений, мы можем добавлять сколько угодно точек и даже менять точки в любой момент времени скорректировав связанные с ними линии.

Такая упрощенная модель представляет одну точку как инженерную систему любой сложности, а другую точку как измененную версию этой инженерной системы. Очевидно, что операция преобразования в таком случае очень нетривиальна, потому рассматривать повторное применение операции изменения системы к уже измененной системе не имеет никакого смысла. Цель построения простой модели состоит в следующем выводе, раз в случае если операции преобразования представляют собой просто векторы, то переход из одной точки в другую можно представить как изменения системы координат. Тогда у нас будет всего одна точка, а все операции будут двигать систему координат туда сюда. При переходе к неалгоритмизируемым процедурам появляется интересная формулировка: все неэквивалентные версии сложной инженерной системы является не более чем проекцией одной абстрактной системы в разные системы координат и, более того, все неэквивалентные преобразования таких систем записываются как эквивалентные преобразования с сохранением аксиоматики группы. Этим способом мы можем включить все инженерные системы какие захотим и переходить от одной к другой по правилам формально напоминающим эквивалентные преобразования.

Ну далее можно начинать говорить про неалгоритмизированые инварианты таких неалгоритмизируемых преобразовний, но это уже выходит за рамки нашей простой модели. Впервые такую терминологию использовал Габриэль Крон в своем "Тензорном анализе электрических цепей".

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

robez, наберите все формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
вернул

[IWannaToKnow]

Цитата:

Вопрос состоит в том, можно ли говорить о сохранении аксиом группы для таких операций?

Нет, в любой группе должен быть определён результат операции для любых её членов (в некоторых учебниках это оговаривается как пятая аксиома группы - замкнутость) и $v_2+v_2$ не исключение.

Цитата:

Далее я хочу перейти к неалгоритмизируемым процедурам. Т.е. разделить операции и векторы с сохранением аксиоматики.

Зачем? В чём проблема у вектора быть и преобразованием какого-то множества точек и элементом какой-нибудь группы одновременно?

Цитата:

Такая упрощенная модель представляет одну точку как инженерную систему любой сложности, а другую точку как измененную версию этой инженерной системы.

Чем вас не устраивает определение транзитивной группы преобразований, данное, например в Винберге "Курс Алгебры" Гл.4 п.2 ?

Если честно, в местах где вы говорили про "неалгоритмизируемые процедуры" я ничего не понял, но мне почему-то кажется, что слово "алгоритм" вы используете неформально и интуитивно, а не так, как его используют математики.

[ewert]

robez в сообщении #755940 писал(а):

То есть запрещены операции добавления несколько раз одного и того же вектора: например $A + v_2+ v_2 + v_1 $.

Кем запрещены?

[robez]

IWannaToKnow в сообщении #762660 писал(а):

Цитата:

Вопрос состоит в том, можно ли говорить о сохранении аксиом группы для таких операций?

Нет, в любой группе должен быть определён результат операции для любых её членов (в некоторых учебниках это оговаривается как пятая аксиома группы - замкнутость) и $v_2+v_2$ не исключение.

Что-то подобное я и подозревал. Хорошо запреты на количество применения одной и той же операции снимаются. В конце концов для векторов смысла в таком запрете нет. А на практике никто не мешает использовать операцию всего лишь по одному разу, тем более что в принципе потенциально могут быть такие изменения в инженерной системе, которые можно повторять и повторять несколько раз.
Еще замеченные отличия от правильной формулировки:
1) Группа все время пополняется новыми операциями. Я так понимаю что даже если мы выяснили что аксиомы выполняются на $N$ шаге, то на $N + 1$ шаге нужно доказывать повторно.
2) В любой момент может оказаться, что одна из версий инженерной системы оказалась неправильной и все операции с ней связанные нужно скорректировать. То есть опять изменилось довольно много операций и нужно перепроверять соблюдение аксиом.
3) Само понимание «выполнение аксиом группы», чем-то отличается от общепринятого. То есть они соблюдаются даже если набор векторов пополняется еще одним произвольным вектором. Если некоторые точки произвольно меняют свое местоположение. Другими словами, аксиомы группы являются не предпосылками, а окончательным выводом рассуждения, после которого уже ничего больше не выводится.

Цитата:

Цитата:

Далее я хочу перейти к неалгоритмизируемым процедурам. Т.е. разделить операции и векторы с сохранением аксиоматики.

Зачем? В чём проблема у вектора быть и преобразованием какого-то множества точек и элементом какой-нибудь группы одновременно?

Для вектора – никакой, если ко всем точкам он применяется одинаково, а вот если по разному, то это уже будет совокупность разных векторов, которые мы субъективно объединяем в одну операцию. В первом случае операция – это вектор, во втором – для одних точек один вектор, а для других точек – немного другой вектор. Вопрос, почему же мы обобщаем разные вектора под одной операцией, не так прост.

Цитата:

Цитата:

Такая упрощенная модель представляет одну точку как инженерную систему любой сложности, а другую точку как измененную версию этой инженерной системы.

Чем вас не устраивает определение транзитивной группы преобразований, данное, например в Винберге "Курс Алгебры" Гл.4 п.2 ?

Если честно, в местах где вы говорили про "неалгоритмизируемые процедуры" я ничего не понял, но мне почему-то кажется, что слово "алгоритм" вы используете неформально и интуитивно, а не так, как его используют математики.

Думаю не устраивает вот по какой причине. Эквивалентные с точки зрения пользователя инженерные системы не являются эквивалентными с точки зрения самих инженерных систем. Потому инженеру требуется рассматривать в качестве эквивалентных системы с, вообще говоря, существенно разными свойствами. И формализация требований пользователя тут ничего не решает.

[arseniiv]

robez в сообщении #767333 писал(а):

1) Группа все время пополняется новыми операциями. Я так понимаю что даже если мы выяснили что аксиомы выполняются на $N$ шаге, то на $N + 1$ шаге нужно доказывать повторно.

Математические объекты неизменяемы. Если у вас определены множество $G$ и операция $*$, то они всегда одинаковые. Потому и свойства у них всегда те же, и если доказано, что $(G, *)$ — группа, то никуда от этого не деться. Если же вы меняете $G$ на другое множество $G'$, разумеется, $(G', *)$ автоматически группой не станет. Если $G \subsetneq G'$, оно даже алгебраической системой (более общей вещью, чем группа) не будет, потому что $*$ — не операция на $G'$, т. к. не определена на элементах из $G'\setminus G$. Разумеется, операцию придётся доопределить до $*'$ — и не факт, что будет существовать такая $*'$, что $(G', *')$ — группа.

robez в сообщении #767333 писал(а):

Эквивалентные с точки зрения пользователя инженерные системы не являются эквивалентными с точки зрения самих инженерных систем. Потому инженеру требуется рассматривать в качестве эквивалентных системы с, вообще говоря, существенно разными свойствами. И формализация требований пользователя тут ничего не решает.

Зачем вам для описания этого группы? Выберите другую модель.

[patzer2097]

robez в сообщении #755940 писал(а):

Добрый день всем математикам. Появилась насущная проблема построить простейшую демонстрационную модель группы и встал вопрос можно ли с этой целью использовать сумму векторов на плоскости?

Здравствуйте! На мой взгляд, для решения Вашей проблемы было бы идеальным использовать, например, кубик Рубика. Он более подходит для демонстрации, чем сумма векторов на плоскости, и дает больше понимания о том, что такое группа