Добрый день всем математикам.
Появилась насущная проблема построить простейшую демонстрационную модель группы и встал вопрос можно ли с этой целью использовать сумму векторов на плоскости?
В принципе четыре аксиомы соблюдаются если рассматривать вектор как преобразование одной точки в другую:
Для любых векторов на плоскости
:
1) для любых трех
верно равенство
(закон ассоциативности);
2) Существует преобразование которое ничего не меняет (нулевой вектор).
3) для любого элемента
существует обратный
4)
(закон коммутативности)
Объектами преобразования выступают точки, а преобразованиями – векторы. Например из точки
в точку
можно попасть прибавив вектор
. Из
в
можно попасть прибавив вектор
. Так мы можем попасть из А в С через В применив последовательно
, или из А в С через
применив
.
Проблема в том что нельзя дважды прибавлять один и тот же вектор. То есть запрещены операции добавления несколько раз одного и того же вектора: например
. В итоге должно получиться проекция N-мерного неправильного куба на евклидову плоскость. Вершины такого куба будут нашими точками, а грани - разрешенными операциями перехода между вершинами. Вопрос состоит в том, можно ли говорить о сохранении аксиом группы для таких операций?
Далее я хочу перейти к неалгоритмизируемым процедурам. Т.е. разделить операции и векторы с сохранением аксиоматики. Для этого векторы будут различаться в зависимости от исходной точки, что равносильно переносу точки
в другое место
.
Раньше вектор
был одинаков в обоих случаях:
Теперь вектор распадается на множество линий
, связывающих конкретные точки.
Если все линии имеют одинаковую направленность, то операция точно совпадет с вектором, иначе мы получаем неалгоритмизированную функцию заданную множеством неодинаковых линий переводящих пресонально одну точку в другую. Если аксиомы группы сохраняются для таких функций, то нои будут сохранятся даже если мы произвольно поменяет координаты любой точки и перезадаем связанные с точкой линии. Эта ситуация сохраняется даже для точек и линий о которых мы ничего не знаем и, тем самым, поскольку на неалгоритмизируемые процедуры не накладывается никаких ограничений, мы можем добавлять сколько угодно точек и даже менять точки в любой момент времени скорректировав связанные с ними линии.
Такая упрощенная модель представляет одну точку как инженерную систему любой сложности, а другую точку как измененную версию этой инженерной системы. Очевидно, что операция преобразования в таком случае очень нетривиальна, потому рассматривать повторное применение операции изменения системы к уже измененной системе не имеет никакого смысла. Цель построения простой модели состоит в следующем выводе, раз в случае если операции преобразования представляют собой просто векторы, то переход из одной точки в другую можно представить как изменения системы координат. Тогда у нас будет всего одна точка, а все операции будут двигать систему координат туда сюда. При переходе к неалгоритмизируемым процедурам появляется интересная формулировка: все неэквивалентные версии сложной инженерной системы является не более чем проекцией одной абстрактной системы в разные системы координат и, более того, все неэквивалентные преобразования таких систем записываются как эквивалентные преобразования с сохранением аксиоматики группы. Этим способом мы можем включить все инженерные системы какие захотим и переходить от одной к другой по правилам формально напоминающим эквивалентные преобразования.
Ну далее можно начинать говорить про неалгоритмизированые инварианты таких неалгоритмизируемых преобразовний, но это уже выходит за рамки нашей простой модели. Впервые такую терминологию использовал Габриэль Крон в своем "Тензорном анализе электрических цепей".