Грубое введение в тензоры

[ИгорЪ]

Учитель! Я честно написал то что засело...

[Утундрий]

ИгорЪ
Как Вы относитесь к арифметическому пространству?

[ИгорЪ]

Утундрий
О! Почти как к параллельному переносу. И к связности. С атеистическим благоговением Сидхартхи...

[Утундрий]

Видимо такой тон надо понимать как намёк начать излагать первым? Что ж, я не прочь. Отосплюсь и излОжу.

[ИгорЪ]

Дык чё излагать то, если без непонятного новое объяснить невозможно! Вам придется ввести что то кроме Зингера!

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #765982 писал(а):

без непонятного новое объяснить невозможно!

Допустим, но такая задача и не ставится. Цель всего лишь описать правила и научить эффективно играть по этим правилам.

[ИгорЪ]

Ясно. Думаю, иного пути как труд здесь нет. Скорость овладения зависит от таланта ученика и терпения гуру. Какую то тензорную мнемонику с картинками я видел у Пенроуза , в толстой книге про всю физику, но не вникал, гляньте, м. б. методически это что то особенно простое.

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #765993 писал(а):

то тензорную мнемонику с картинками я видел у Пенроуза

Выдал, ЖЖЖукообразные такие. Как вспомню, так взрогну

[ИгорЪ]

Диаграммы Фейнмана, тоже насекомые...

[Munin]

Утундрий в сообщении #765996 писал(а):

Выдал, ЖЖЖукообразные такие. Как вспомню, так взрогну

Тоже впечатление отрицательное. Перестарался он малость.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Ну, это как в теории доказательств — можно рисовать деревья вывода и их нормализовать (то есть перерисовывать его), а можно писать лямбда-выражения и их бета-редуцировать, это одно и то же.Угадайте, что удобнее и нагляднее (подсказка: не деревья). Но вот, скажем, для линейной логики удобнее именно рисовать proof-nets, которые действительно похожи на диаграммы Пенроуза, потому что символьным аналогом будут многопоточные программы, записанные в CSP-стиле.

[Munin]

Теорией доказательств не пользовался. Но имхо, принципы "удобнее" и "нагляднее" могут входить в противоречие. Если человек хорошо знает область, ему не нужна особая наглядность от нотации, он воспринимает её и так. А вот удобство для него критично. А для новичка наоборот. С тензорами, в частности, есть трудность в привыкании к "нотации Эйнштейна" (опусканию значков суммирования). Когда привыкнешь, то её не замечаешь, а читать формулы просто и удобно, но поначалу надо всё-таки пописать сигмы, попривыкнуть, что с чем умножается и суммируется, и научиться на личном опыте не путаться в индексах. Аналогично (хоть и более узкоприменимо) с бра-кет-нотацией Дирака.

[Утундрий]

В общем, нащупываются два (нечестных) пути.

Быстрый: $\left( {x \in \mathbb{R}^n } \right) \mapsto \vec r\left( x \right) \in \mathbb{E}^n$. Хорош тем, что всё получается однозначно. Плох - тем же.

Занудный: начать с $\mathbb{R}^n }$ и вводить, вводить, вводить... Хорош тем, что несколько понятнее, зачем вводится. Плох названием.

[Munin]

А можно оба перевести на русский?

А-а-а, это про римановы многообразия, что ли?

-- 26.09.2013 23:29:01 --

Утундрий в сообщении #768066 писал(а):

Быстрый: $\left( {x \in \mathbb{R}^n } \right) \mapsto \vec r\left( x \right) \in \mathbb{E}^n$. Хорош тем, что всё получается однозначно.

Хочу развеять один миф: риманово многообразие вкладывается в $\mathbb{E}^{m}$ ($m\geqslant n$ конечно же) не однозначно. Возьмём двумерную сферу - мы привыкли, что она вкладывается в 3D как мяч. Но на самом деле, её можно мять туда-сюда, для внутренней геометрии нечувствительно.

[casualvisitor]

Тензоры - алгебраические объекты. Поэтому вполне имеет смысл

Утундрий в сообщении #768066 писал(а):

начать с $\mathbb{R}^n }$ и вводить, вводить, вводить...

... тензоры. До введения понятия многообразия.

Многие учебники начинают с определения многообразия, потом вводят касательное пространство, и уже в нем определяют тензоры. Поскольку касательное пространство есть $\mathbb{R}^n $, этот подход ничем не отличается от предыдущего по существу. Но может несколько смешать алгебру и геометрию в голове изучающего материал впервые.

"Быстрый путь", т.е. рассмотрение поверхности в евклидовом пространстве вместо общего многообразия, вполне честен, хотя и отнюдь не быстр. Никаких преимуществ в части определения тензоров он не дает. Скорее, напротив. Но в отношении метрики и кривизны именно этот путь

Утундрий в сообщении #768066 писал(а):

Хорош тем, что несколько понятнее, зачем вводится.

Хорошо и правильно до римановых многообразий знакомить людей с элементарной диф. геометрией поверхностей в $\mathbb{R}^3 }$. Хотя бы в минимальном объеме.