Тензоры - алгебраические объекты. Поэтому вполне имеет смысл
начать с
и вводить, вводить, вводить...
... тензоры. До введения понятия многообразия.
Многие учебники начинают с определения многообразия, потом вводят касательное пространство, и уже в нем определяют тензоры. Поскольку касательное пространство есть
, этот подход
ничем не отличается от предыдущего по существу. Но может несколько смешать алгебру и геометрию в голове изучающего материал впервые.
"Быстрый путь", т.е. рассмотрение поверхности в евклидовом пространстве вместо общего многообразия, вполне честен, хотя и отнюдь не быстр.
Никаких преимуществ в части определения тензоров он не дает. Скорее, напротив. Но в отношении метрики и кривизны именно этот путь
Хорош тем, что несколько понятнее, зачем вводится.
Хорошо и правильно до римановых многообразий знакомить людей с элементарной диф. геометрией поверхностей в
. Хотя бы в минимальном объеме.