Опыт со стержнем и диском

[Omega]

Помогите пожалуйста разобраться в устройстве следующего опыта:
Имеется длинный прямой, закреплённый вертикально, неподвижный стержень и диск с диаметром выреза большим, чем диаметр стержня. Известны все геометрические параметры обоих тел, а также и масса диска. Всё происходит в поле силы тяжести.
Опыт таков: диск "насаживают" на верхний конец стержня и быстро раскручивают; затем, диск, спустя некоторое количество времени, начинает спускаться с постоянной скоростью. Вопрос - почему диск спускается без ускорения?

Я всё никак не могу найти объяснения.
Считаю, что эффект возникает в результате силы трения, вектор которой каким-то образом, но направлен в сторону противоположную силе тяжести.
Всем заранее спасибо за помощь.

[nikvic]

Ещё интереснее начало этого процесса при сильной раскрутке: диск может лезть вверх!

Опыт удобно делать на счётах, раскручивая "косточку".

[Omega]

nikvic, к сожалению, Ваши комментарии не несут на мой взгляд никакой информации по поводу моего вышеуказанного вопроса.

[sergeyn91]

Omega в сообщении #764624 писал(а):

Я всё никак не могу найти объяснения.
Считаю, что эффект возникает в результате силы трения, вектор которой каким-то образом, но направлен в сторону противоположную силе тяжести.
Всем заранее спасибо за помощь.

Сила тяжести, действующая на диск, уравновешивается силой трения и силой сопротивления воздуха.

[Denis Russkih]

Интересно, а если воздух убрать и стержень маслом смазать? :)

[Omega]

sergeyn91, скажите из каких же соображений это следует?
Можно ли это доказать так - записать уравнения движения и, проанализировав их, сделать вывод о вышесказанном утверждении?

[nikvic]

Omega в сообщении #764635 писал(а):

к сожалению, Ваши комментарии не несут на мой взгляд никакой информации по поводу моего вышеуказанного вопроса

Механизм известен и связан с прецессией.
Ось кольца и стержня образуют скрещивающиеся прямые. Траектория пятна контакта на стержне - что-то вроде винтовой линии. При сильной раскрутке она ведёт вверх. После стабилизации - вниз с постоянным шагом и постоянной мощностью потерь.

[Omega]

nikvic, спасибо.

nikvic в сообщении #764669 писал(а):

Механизм известен и связан с прецессией.

Можно ли поподробнее, если Вам не трудно, и приведите пожалуйста ещё математическое описание.

[Munin]

Есть сходная задача в теоретической механике: скатывание шара по стенке внутри вертикальной трубы. Так вот, неожиданно оказывается, что шар вообще не скатывается вниз никогда, а всё время движется между некоторыми двумя горизонтальными плоскостями. (Разумеется, задача без трения.)

[Omega]

Всё равно я так ничего и не понимаю: как же этот "механизм" устроен? Пожалуйста помогите.
Вот всё, что пока есть:

[nikvic]

Эта картинка неточна: диаметр кольца, который у вас виден как точка, не горизонтален.

[Omega]

nikvic в сообщении #764723 писал(а):

Эта картинка неточна: диаметр кольца, который у вас виден как точка, не горизонтален.

Это очевидно, просто картинка нарисована на скорую руку.

[Omega]

А можно ли так:
В системе координат ${O,n,\tau,z}$ вектор $\vec{L}$ момента импульса диска имеет координаты $\vec{L}(0;L;0)$ , где, очевидно, $L=mR^{2}\omega$. $m$ и $R$ - масса и радиус диска.
Как известно:

$$[\vec{\Omega};\vec{L}]=\vec{M}_{\text{тр}}$$

$\vec{M}_{\text{тр}}$ - момент внешних сил относительно центра диска. То есть пусть в точке $N$ к диску приложена сила трения $\vec{F_{0}}(F_{1};F_{2};F_{3})$, тогда:

$$[\vec{\Omega};\vec{L}]=\vec{M}_{\text{тр}}\Leftrightarrow \begin{vmatrix} \vec{n} & \vec{\tau} & \vec{k} \\ \Omega_{1} & \Omega_{2} &\Omega_{3} \\ 0 & L & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec{n} & \vec{\tau} & \vec{k} \\ R & 0 &0 \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{vmatrix}$$

Из последнего следует, что $F_{3}=0$ - парадокс того, что отсутствует сила трения, которая должна возникать в результате вращения диска, а из этого следует качение диска по стержню. Также следует, что $\Omega_{3}=0$, поэтому диск, по идее, должен составлять постоянный угол со стержнем. И последнее, что следует, так это то, что $RF_{2}=L\Omega_{1}$ а из этого следует, что диск начнёт прецессировать вокруг оси $n$, то есть прижиматься к стержню, что в свою очередь вызовет увеличение вертикальной составляющей силы трения, которая в конце концов уравновесившись силой тяжести приведёт к тому, что диск начнёт спускаться с постоянной скоростью.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #764696 писал(а):

(Разумеется, задача без трения.)

без проскальзывания

В качестве модели можно расмотреть такую задачу. Вертикаьный стержень, круглый в сечении ненулевого радиуса $r$. На стежень надет тонкий обруч радиуса $R,\quad R>r$. Идеальные связи состоят в том, что обруч не проскальзывает в точке контакта со стержнем, и прямая $l$ ,проходящая через центр обруча и точку контакта, все время горизонтальна. Это 2 неголономные степени свободы (вроде бы).

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #764885 писал(а):

без проскальзывания

Да, я ошибся. Без потерь, имел в виду.