Кострикин. Снова линейность

[Oleg Zubelevich]

Базисы к этому вопросу как раз имеют прямое отношение. Потому, что по условию система $\lbrace l_1,\cdots,l_n\rbrace$ содержит базис. Оператор однозначно определяется своими значениями на элементах базиса, следовательно на остальных элементах системы $\lbrace l_1,\cdots,l_n\rbrace$ он уже не может быть задан произвольно.

[bot]

Не сбивайте ТС. Линейная независимость не имеет ни малейшего отношения к вопросу об единственности. Здесь используется только порождаемость.

[Oleg Zubelevich]

bot в сообщении #764051 писал(а):

Здесь используется только порождаемость.

а только из пораждаемости невозможно понять механизм несуществования оператора. И вообще смешно противопоставлять басисы и пораждаемость при том, что система векторов пораждает пространство тогда и только тогда ,когда содержит базис.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #764071 писал(а):

а только из пораждаемости невозможно понять механизм несуществования оператора.

а единственность и не имеет отношения к несуществованию; и вообще про несуществование в задаче формально ничего не говорится, оно лишь молча допускается.

[Barabashka]

Если семейство векторов содержит лишь часть базисов всего пространства, то оно порождает только подпространство всего пространства. Я думаю ничто не мешает утверждать, что существуте функция нелинейная на всем пространстве, но линейная на данном подпространстве пороженное данным семейством векторов. Я полагаю такую функцию можно довести до линейности всего пространства. Поэтому скорее всего он сказал, что семейство векторов порождает все пространство $L$. А далее доказывается, что если это базисы, то линейная функция существует.

[bot]

Вы зря встреваете в наши разборки. Линейность $f-f'$ проверили?

[Oleg Zubelevich]

Ну зачем же так усложнять Набор элементов $\lbrace l_1,\cdots,l_n\rbrace$ содержит базис, по значениям на элементах базиса оператор (если он вообще существует) определяется однозначно, что и доказывает единственность . ЧТД

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #764216 писал(а):

Ну зачем же так усложнять Набор элементов $\lbrace l_1,\cdots,l_n\rbrace$ содержит базис, по значениям на элементах базиса оператор (если он вообще существует) определяется однозначно, что и доказывает единственность .

У Кострикина всё, конечно, гораздо сложнее. Он на момент первого пункта не имеет даже ни малейшего представления о том, что такое базис вообще, и тем не менее доказывает в две строчки. А две строчки -- это очень сложно.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #764222 писал(а):

Он на момент первого пункта не имеет даже ни малейшего представления о том, что такое базис вообще

Ага, базис не проходили, а линейные операторы проходили . Вы только Кострикину свои педагогические достижения не приписывайте.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #764228 писал(а):

т.е. базис не проходили, а линейные операторы проходили.

Дело не в том, что когда проходили. Дело в том, что когда уместно. Вот Кострикин последнее почему-то понимает (в данном конкретном случае как минимум). Странно, да?...

[bot]

(Оффтоп)

Долго сдерживался, чтобы не сбивать ТС, но раз уж пошла такая пьянка...
1. Динейная независимость не имеет отношения к единственности.
2. Порождаемость не имеет отношения к существованию

Barabashka, доказали линейность? Это первая строчка. Вторая потом.

[Barabashka]

$(f-f')(l_1+l_2) = f(l_1+l_2)-f'(l_1+l_2)=f(l_1)+f(l_2)-f'(l_1)-f'(l_2) = f(l_1)-f'(l_1) + f(l_2)-f'(l_2) = (f-f')(l_1) + (f-f')(l_2)$

[bot]

В строчку не уместилось, ну да ладно. Ещё для линейности что нужно?

[Barabashka]

$(f-f')(\lambda l) = f(\lambda l) - f'(\lambda l) =$
$ \lambda f(l) +\lambda (-f'(l)) = \lambda(f(l) -f'(l)) = \lambda((f-f')(l)) = (\lambda(f-f'))(l)$

[bot]

Последнее равенство лишнее. Хорошо, линейность есть.
Теперь посмотрите, как действует $f-f'$ на образующие.